D1843. Un bel alignement
Les trianglesABE et ACD sont isoc`eles (BC et DE anti-sym´etriques). On a donc :
BEC\ =π−CDB\ =π−Ab
⇒ B,C,D etE sont co-cycliques (cercle sym´etrique de (ABC) par rapport `a BC).
K, orthocentre deΓ, appartient `a ce cercle et on a : KA=KE(ABE isoc`ele),KA=KD(ACDisoc`ele)
⇒ K est le centre deΓ.
K est le milieu de l’arc DEsur (DBEC), doncP D etP E sont sym´etriques par rapport `a P A. Il en est de mˆeme de D et G d’une part, et de E et F d’autre part.
I =BG∩DEest l’inverse deP par rapport `aΓ.
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Q1: SoitH0 la 2`eme intersection deΓ et du cercle (ABC).
Sur (ABC), on a CH\0A=B.b
Sur Γ, on aGH\0A=GF A\ =AF D\ =B.b
⇒ C, G, H etH0 sont align´es.
On montre de mˆeme queF, B, H etH0 sont align´es.
DoncH =BF ∩CGetH0 sont confondus.
Q2: L’alignement B, I, J r´esulte de l’application du th´eor`eme de Pascal `a l’hexagone DEHF GAinscrit dansΓ.
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