1 Limite d’une fonction

XI. Limites

1 Limite d’une fonction

D´efinition 1. On dit qu’un fonction de variable r´eelle `a valeur r´eelles est d´efinie au voisinage de a^PR si il existe un r´eelδ ^¡0 tel que f soit d´efinie sur ^sa;a δ^r, sur ^saδ;a^r ou sur ^saδ, a δ^r.

Exercice 1. Montrer que la fonction lnest d´efinie au voisinage de 1 et au voisinage de 0.

D´efinition 2. On dit qu’une fonction de variable r´eelle `a valeur r´eelles est d´efinie au voisinage de ⁸ si il existe un r´eel M tel que f soit d´efinie sur ^sM; ^8r et on dit que f est d´efinie au voisinage de ⁸ si il existe un r´eel M tel que f soit d´efinie sur ^s8;M^r

Exercice 2. Montrer que la fonction f :x^ÞÑln^px²3^q est d´efinie au voisinage de ⁸. D´efinition 3. Limite finie en une valeur finie

On consid`ere une fonction f ^PFpI,Rq d´efinie au voisinage de a^PR, on dit que :

f admet une limite l ^P R en a si pour tout ǫ ^¡ 0 il existe δ ^¡ 0 tel que pour tout x ^P I avec

|xa^|¤δ on a ^|f^px^ql^|¤ǫ, on note alors lim

x^Ñaf^px^ql.

f admet une limite l^PR `a gauche en a si pour tout ǫ^¡0 il existe δ ^¡0 tel que pour tout x^PI avec ^|xa^|¤δ et x aon a ^|f^px^ql^|¤ǫ, on note alors_xlim

Ña x a

f^px^ql.

f admet une limite l ^PR `a droite en a si pour tout ǫ^¡ 0 il existe δ ^¡0 tel que pour tout x ^PI avec ^|xa^|¤δ et x^¡aon a ^|f^px^ql^|¤ǫ, on note alors_xlim

Ña x^¡a

f^px^ql.

l lǫ l ǫ

a aδ a δ

Exercice 3. On pose f^px^q2x 3, montrer que lim

x^Ñ1f^px^q5.

(on pourra proc´eder par r´esolution de l’in´equation^|f^px^q5^|¤ǫd’inconnuex)

Propri´et´e 1. Si une fonction admet une limite finie alors celle-ci est n´ecessairement unique.

Propri´et´e 2. Une fonctionf tend vers l ena si et seulement si la fonction fl tend vers 0 ena.

Remarque 1. Sif admet une limite len aelle admet a fortioriune limite l`a gauche en aet une limite l

`

a droite en a.

Contre-exemple 1. La fonction f : R Ñ R x ^ÞÑ

"

0 si x0 1 si x0

admet une limite `a gauche et `a droite en

0 mais n’admet pas de limite en0.

Propri´et´e 3. Si une fonction f ^PFpI,Rq admet une limite en a^PI alors lim

x^Ñaf^px^qf^pa^q. Propri´et´e 4. Une fonction admettant une limite finie en aest born´ee au voisinage de a.

D´efinition 4. Limite infinie en une valeur finie

On consid`ere une fonction f ^PFpI,Rq d´efinie au voisinage de a^PR, on dit que :

f tend vers ⁸ enasi pour tout M ^PRil existeδ ^¡0 tel que pour tout x^PI avec ^|xa^|¤δ on a f^px^q¥M, on note alors lim

x^Ñaf^px^{q 8}.

f tend vers⁸ enasi pour tout M ^PRil existeδ ^¡0 tel que pour tout x^PI avec ^|xa^|¤δ on a f^px^q¤M, on note alors lim

x^Ñaf^px^q8.

Remarque 2. Une fonction admettant une limite infinie en a n’est pas d´efinie ena.

Remarque 3. On peut ´egalement d´efinir les limites infinies `a gauche ou a droite de a.

Exercice 4. On pose f^px^q 1

x², montrer que lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^{q 8}.

(on pourra proc´eder par r´esolution de l’in´equationf^px^q¥M d’inconnue x)

Propri´et´e 5. Une fonctionf tend vers ⁸ ena si et seulement si la fonction f tend vers ⁸ ena.

D´efinition 5. Limite finie en l’infini

On consid`ere une fonction f ^PFpI,Rq d´efinie au voisinage de ⁸ ou ⁸, on dit que :

f tend vers l en ⁸ si pour tout ǫ^¡ 0 il existe M ^PR tel que pour tout x ^P I avec x ^¥ M on a

|f^px^ql^|¤ǫ, on note alors lim

x^{Ñ 8}f^px^ql.

f tend vers l en ⁸ si pour tout ǫ^¡ 0 il existe M ^PR tel que pour tout x ^P I avec x ^¤ M on a

|f^px^ql^|¤ǫ, on note alors lim

x^Ñ8f^px^ql.

Exercice 5. On pose f^px^q x

x 1, montrer que lim

x^{Ñ 8}f^px^q1.

(on pourra proc´eder par r´esolution de l’in´equation^|f^px^q1^|¤ǫd’inconnuex)

D´efinition 6. Limite infinie en l’infini

On consid`ere une fonction f ^PFpI,Rq d´efinie au voisinage de ⁸ ou ⁸, on dit que :

f tend vers ⁸ en ⁸ si pour tout M ^PR il existeN ^PR tel que pour tout x^PI avec x^¥N on a f^px^q¥M, on note alors lim

x^{Ñ 8}f^px^{q 8}.

f tend vers ⁸ en ⁸ si pour tout M ^PR il existeN ^PR tel que pour tout x^PI avec x^¥N on a f^px^q¤M, on note alors lim

x^{Ñ 8}f^px^q8. Exercice 6. On pose f^px^q1x, montrer que lim

x^{Ñ 8}f^px^q8.

(on pourra proc´eder par r´esolution de l’in´equationf^px^q¤M d’inconnue x)

Exercice 7. Donner la d´efinition d’une fonction f tendant vers ⁸ en⁸.

2 Op´ erations sur les limites, comparaison des limites

Propri´et´e 6. Limites et op´erations

On consid`ere deux fonctions f, g ^PFpI,Rq d´efinies au voisinage de a ^PR telles que lim

x^Ñaf^px^q l1 ^PR et

xlim^Ñag^px^ql2 ^PR, alors :

la fonction f g admet l1 l2 pour limite en a.

la fonction fg admet l1l2 pour limite en a.

Remarque 4. On peut ´etendre la propri´et´e `a la diff´erence et au quotient si la fonction au d´enominateur ne s’annule pas et si sa limite est non nulle.

On admet que l’on peut d´emontrer les autres propri´et´es des limites :

limx^Ñu^px^q l l l ^{8 8 8}

limx^Ñv^px^q l^{1 8 8 8 8 8}

limx^Ñ

ru^px^q v^px^qs l l^{1 8 8 8 8} ? limx^Ñu^px^q l l0 0 ⁸ limx^Ñv^px^q l^{1 8 8 8} limx^Ñ

ru^px^qv^px^qs ll^{1 8} ? ⁸

Le signe de la limite s’obtenant au moyen de la r`egle des signes pour la multiplication.

limx^Ñu^px^q l l0 ⁸ l ⁸ 0

limx^Ñv^px^q l¹0 0 (signe constant) l^{1 8 8} 0 limx^Ñ

u^px^q v^px^q

l

l^{1 8 8} 0 ? ?

Le signe de la limite s’obtenant au moyen de la r`egle des signes pour la division.

Exercice 8. D´eterminer la limite en ⁸ de la fonction f :x^ÞÑ

?

2 x

1

?

2x. Propri´et´e 7. Composition de limites

On consid`ere deux fonctionsf ^PFpI, J^q etg^PFpJ,Rq telles que lim

x^Ñaf^px^qb^PR et lim

y^Ñbg^py^q l^PRalors la fonction gf ^PFpI,Rq admetl pour limite en a.

Exercice 9. D´eterminer la limite de la fonction f :x^ÞÑ e^x21 en0.

Propri´et´e 8. Image d’une suite par une fonction

On consid`ere une fonction f <sup>P</sup> FpI,Rq d´efinie au voisinage de a <sup>P</sup> R et admettant une limite en a ainsi qu’une suite<sup>p</sup>u<sub>n</sub><sup>q</sup><sub>n</sub>PN `a valeurs dans I qui converge vers aalors la suite^pf^pu_n^qq_nPN converge vers lim

x^Ñaf^px^q. Exercice 10. On consid`ere une suite ^pu_n^q_nPN d´efinie par la relation de r´ecurrence u_n 1

u_n 1 u_n 2 pour toutn^PN. Si la suite^pun^qn^PN est bien d´efinie et converge, que peut-on dire de sa limite l?

Propri´et´e 9. Comparaison de limites

On consid`ere deux fonctions f, g ^PFpI,Rq d´efinies au voisinage de a ^PR telles que lim

x^Ñaf^px^q l1 ^PR et

xlim^Ñag^px^ql2 ^PR, si f^px^q¤g^px^q pour tout x^PI alors l1^¤l2.

Exercice 11. La propri´et´e est-elle encore v´erifi´ee si on remplace les in´egalit´es par des in´egalit´es strictes ?

3 Th´ eor` emes d’existence de limites

Th´eor`eme 1. Th´eor`eme d’encadrement

On consid`ere trois fonctionsf, g, h^PFpI,Rq d´efinies au voisinage de a^PR, alors :

si f^px^q¤g^px^q¤h^px^q pour tout x^PI et lim

x^Ñaf^px^q lim

x^Ñah^px^ql alors lim

x^Ñag^px^ql.

si f^px^q¤g^px^q pour tout x^PI et lim

x^Ñaf^px^{q 8} alors lim

x^Ñag^px^{q 8}.

si f^px^q¤g^px^q pour tout x^PI et lim

x^Ñag^px^q8 alors lim

x^Ñaf^px^q8. Exercice 12. D´eterminer la limite en ⁸ de la fonction f :x^ÞÑ sinx

x . Th´eor`eme 2. Th´eor`eme de la limite monotone

On consid`ere une fonction f ^PFpI,Rq croissante d´efinie au voisinage de ⁸, alors :

si la fonction f n’est pas major´ee on a lim

x^{Ñ 8}f^px^{q 8}.

si la fonction f est major´ee on a lim

x^{Ñ 8}f^px^ql^PR avecl plus petit majorant de f sur I.

Remarque 5. Ce th´eor`eme peut s’´etendre aux fonctions d´ecroissantes et `a une limite en ⁸.

4 Continuit´ e d’une fonction

D´efinition 7. Une fonction f ^PFpI,Rq admettant une limite finie en a^PI est dite continue en a, on a alors lim

x^Ñaf^px^q f^pa^q. Une fonction continue en tout point de I est dite continue sur I, on note CpI,Rq

l’ensemble des fonctions `a valeurs r´eelles continues sur I.

Exemple 1. On admet que les fonctions usuelles (fonctions puissances, exponentielles, logarithmes, circu- laires) sont continues sur leurs intervalles de d´efinition.

Exercice 13. Montrer que la fonction partie enti`ere n’est pas continue en 0.

Remarque 6. Une fonction dont la repr´esentation graphique peut se tracer sans lever le crayon est continue.

D´efinition 8. Une fonction f `a valeurs r´eelles d´efinie au voisinage de a<sup>P</sup>R mais pas en a et admettant des limites finies `a gauche et `a droite ena´egales peut se prolonger en une fonction f˜continue ena appel´ee prolongement par continuit´ede la fonction f d´efinie par f˜^px^q

# lim

x^Ña x a

f^px^q lim

x^Ña x^¡a

f^px^q sixa f^px^q sixa

.

Exercice 14. Montrer que la fonction f :x^ÞÑe^x21 peut se prolonger par continuit´e surR. Propri´et´e 10. Continuit´e et op´erations

On consid`ere deux fonctions u, v ^PCpI,Rq, alors les fonctions u v et uv sont continues surI.

Remarque 7. On peut ´etendre la propri´et´e `a la diff´erence et au quotient si la fonction au d´enominateur ne s’annule pas.

Exercice 15. Montrer que la fonction f :x^ÞÑ x²sinx

e^x 1 est continue surR. Propri´et´e 11. Composition de fonctions continues

On consid`ere deux fonctions u^PCpI, J^q etv^PCpJ,Rq, alors la fonctionvu est continue sur I.

Exercice 16. Montrer que la fonction f :x^ÞÑ

?

e^xx est continue surR.

5 Propri´ et´ es des fonctions continues

Th´eor`eme 3. Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

On consid`ere une fonction f `a valeurs r´eelles continue sur ^ra, b^s, alors pour tout r´eel y ^{P r}

ò

f^pa^q, f^pb^qs il existex0 ^Pra, b^stel que f^px0^qy.

a

x0 b

f^pa^q f^pb^q

Remarque 8. On en d´eduit qu’une fonction f `a valeurs r´eelles continue sur ^ra, b^s telle que f^pa^q et f^pb^q soient de signes contraires s’annule au moins une fois sur l’intervalle^ra, b^s.

Exercice 17. Montrer que la fonction f :x^ÞÑx³x 1 s’annule sur R. Propri´et´e 12. Image directe d’un intervalle par une fonction continue

L’image directe d’un intervalle par une fonction continue `a valeurs r´eelles est un intervalle, l’image directe d’un segment par une fonction continue `a valeurs r´eelles est un segment.

Exercice 18. D´eterminer l’image directe de l’intervalle ^s1; 2^s puis du segment ^r1; 2^s par la fonction carr´e.

Th´eor`eme 4. Th´eor`eme de la bijection

Une fonction `a valeurs r´eelles continue et strictement monotone sur un intervalle I est une bijection de I dans f^pI^q, son application r´eciproque est continue et strictement monotone sur f^pI^q de mˆeme sens de variation quef.

Exercice 19.Montrer que la fonction cosinus est bijective de^rπ; 0^sdans^r1; 1^set pr´eciser son application r´eciproque.

Corollaire 1. On consid`ere une fonction f `a valeurs r´eelles continue et strictement monotone sur ^ra, b^s, alors pour tout r´eely^Pr

ò

f^pa^q, f^pb^{q s} il existe un unique x0^Pra, b^s tel quef^px0^qy.

Exercice 20. Montrer que l’´equation x⁵ 5^px 1^q admet une unique solution r´eelle et en donner un encadrement `a l’unit´e.

6 Relations de comparaison

D´efinition 9. On consid`ere deux fonctions `a valeurs r´eellesf etgd´efinies et ne s’annulant pas au voisinage dea^PR, on dit que :

la fonctionf estdomin´eepar la fonctiongau voisinage deasi la fonction f

g est born´ee au voisinage de a, on notef

x^ÑaO^pg^q.

la fonction f est n´egligeable devant la fonction g au voisinage de a si lim

x^Ña

f^px^q

g^px^q 0, on note

f

x^Ñao^pg^q.

la fonction f est´equivalente `a la fonctiong au voisinage de asi lim

x^Ña

f^px^q

g^px^q 1, on notef

x^Ñag.

Remarque 9. On d´efinit de la mˆeme fa¸con les relations de comparaison au voisinage de ⁸ ou ⁸.

Exemple 2. x

x^{Ñ 8}o^px^2q, x²

x^Ñ0o^px^q etx

x^Ñ1x². Propri´et´e 13. Si f

x^Ñao^pg^q ou f

x^Ñag alors f

x^ÑaO^pg^q. Propri´et´e 14. f

x^Ñag´equivaut `a fg

x^Ñao^pg^q.

Exercice 21. Que signifie pour une fonction f `a valeurs r´eelles que f

x^Ña o^p1^q, que f

x^ÑaO^p1^q ou que

f

x^Ña1?

Propri´et´e 15. On consid`ere trois fonctions f, g et h `a valeurs r´eelles d´efinies et ne s’annulant pas au voisinage dea^PR :

si f

x^Ñag alors g

x^Ñaf. (sym´etrie)

si f

x^Ñag etg

x^Ñah alors f

x^Ñah. (transitivit´e)

Remarque 10. La propri´et´e reste valable au voisinage de ⁸ ou de ⁸.

Propri´et´e 16. Equivalent d’un produit et d’un quotient´

On consid`ere quatre fonctions f1, f2, g1 et g2 `a valeurs r´eelles d´efinies et ne s’annulant pas au voisinage de a^PR:

sif1

x^Ñag1 et f2

x^Ñag2 alors f1f2

x^Ñag1g2 et f1

f2

x^Ña

g1

g2

.

Remarque 11. La propri´et´e reste valable au voisinage de ⁸ ou de ⁸.

Exercice 22. D´eterminer la limite de la fonction f :x^ÞÑ 2x²1

x² x 1 en ⁸ en utilisant les ´equivalents.

Propri´et´e 17. Comparaison des fonctions usuelles

lnx

x^{Ñ 8}o^px^aq sia^¡0

x^a

x^{Ñ 8}o^pb^xq sib^¡1

Exercice 23. D´eterminer un ´equivalent de la fonction f :x^ÞÑ x² lnx

x²2^x au voisinage de ⁸.

Exercices suppl´ ementaires

Exercice 24

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ ln

1 x

1x

est d´efinie au voisinage de 0.

Exercice 25

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ ln

x² 1 x²1

est d´efinie au voisinage de ⁸ et au voisinage de ⁸.

Exercice 26

On consid`ere une fonctionf d´efinie surR, montrer que lim

x^Ñaf^px^ql lim

x^Ña

f^px^ql.

Exercice 27 (^Æ)

Montrer que toute fonction tendant vers 2 enaest minor´ee par 1 au voisinage de a.

Exercice 28

La fonctionpartie enti`ere admet-elle une limite `a gauche en 0, une limite `a droite en 0, une limite en 0 ?

Exercice 29 (^Æ)

La fonctionf :x^ÞÑt|x^|uadmet-elle une limite `a gauche en 0, une limite `a droite en 0, une limite en 0 ?

Exercice 30

On consid`ere une fonctionf d´efinie surR, montrer que lim

x^{Ñ 8}f^px^ql lim

x^{Ñ 8}

f^px^ql.

Exercice 31

Etudier la limite en 0 `a droite de la fonction´ f :x^ÞÑlnx 1 x. Exercice 32

Etudier la limite en´ ⁸ puis la limite en 0 `a droite de la fonction f :x^{ÞÑ p}2x ^?x^q10

px² 4x^q5 . Exercice 33

Etudier la limite en´ ⁸ de la fonction f :x^ÞÑarctan

1x² 1 x²

.

Exercice 34 (^Æ)

Etudier la limite en 0 de la fonction´ f :x^ÞÑ xe^x21 x² 1. Exercice 35 (^Æ)

Etudier la limite en´ ⁸ de la fonction f :x^ÞÑln^px² 1^qx.

Exercice 36 (^Æ)

Etudier la limite `´ a gauche et `a droite en 1 des fonctions f :x^ÞÑ x²3x 2

px1^q2 etg:x^ÞÑ x²3x 2 x²1 .

Exercice 37 (^Æ)

Etudier la limite en´ ⁸ de la fonction f :x^ÞÑ

?

x² xx.

Exercice 38 (^Æ)

Etudier la limite `´ a gauche et `a droite en 0 de la fonction f :x^ÞÑ

?

1 x

?

1x

x .

Exercice 39 (^Æ)

La fonction f :x^ÞÑxcosx admet-elle une limite en ⁸?

Exercice 40

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ x^tx^uest continue en 0.

Exercice 41 (^Æ)

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ

"

0 si x^¤0

xlnx si x^¡0 est continue surR. Exercice 42

Montrer que la fonction f :x ^ÞÑ x²1

x 1 peut se prolonger par continuit´e sur R en une fonction ˜f que l’on explicitera.

Exercice 43

La fonction f :x^{ÞÑ |}x^|

x peut-elle se prolonger par continuit´e en 0 ? Exercice 44 (^Æ)

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ x^t1_x^upeut se prolonger par continuit´e en 0.

Exercice 45

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ arcsinx

x 3e^x est d´efinie et continue sur^r1; 1^s. Exercice 46

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ ln^pe^xx^q est d´efinie et continue surR.

Exercice 47 (^Æ)

Montrer que la fonctionf :x^{ÞÑ t}x^u

a

x^tx^uest continue surR.

Exercice 48 (^Æ)

On consid`ere une fonction f ^P CpR,Rq admettant une limite finie en ⁸ et ⁸. Montrer que f est born´ee.

Exercice 49

Montrer que l’´equationx³x 10 admet une unique solution r´eelle et en donner un encadrement `a l’unit´e.

Exercice 50

D´eterminer le nombre de solutions r´eelles de l’´equation 8x⁷7x10.

Exercice 51 (^Æ)

Montrer que toute fonction f ^PCpr0; 1^s,^r0; 1^sq admet un point fixe.

(On pourra consid´erer la fonctiongd´efinie parg^px^qxf^px^q)

Exercice 52

D´eterminer l’image directe de l’intervalle ^s1; 1^rpar la fonctionf :x^ÞÑx⁴.

Exercice 53

D´eterminer l’image directe de l’intervalle ^r1; 1^s par la fonctionf :x^ÞÑx³x.

Exercice 54

Montrer que la fonction f :x^ÞÑ ln^px 1^q r´ealise une bijection de^r0; ^8r sur ^r0; ^8r et expliciter son application r´eciproqueg.

Exercice 55

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ 2x

x 1 r´ealise une bijection de^r0; 1^ssur^r0; 1^set expliciter son application r´eciproqueg.

Exercice 56 (^Æ)

Montrer que la fonction f : x ^ÞÑ x² 1

2x r´ealise une bijection de ^r1; ^8r sur ^r1; ^8r et expliciter son application r´eciproqueg.

Exercice 57 (^Æ)

Montrer que la fonctionf :x^ÞÑ x

1 ^|x^|r´ealise une bijection deRsur^s1; 1^ret expliciter son application r´eciproqueg.

Exercice 58 Montrer que e

?

x

8

o^pe^xq.

Exercice 59

On consid`ere la fonctionf :x^ÞÑ x³1 2x² 1.

D´eterminer un ´equivalent simple def au voisinage de ⁸.

Exercice 60 (^Æ)

On consid`ere la fonctionf :x^ÞÑ x³1 2x² 1.

D´eterminer un ´equivalent simple def au voisinage de 1.

Exercice 61 (^Æ)

On consid`ere trois fonctions f,g et h `a valeurs r´eelles d´efinies sur un voisinage de ⁸. Montrer que si f

8

o^pg^q etg

8

O^ph^q alorsf

8

o^ph^q.

Exercice 62 (^Æ)

D´eterminer un ´equivalent simple en ⁸ de la fonction f :x^ÞÑtxlnx^u.

Exercice 63 (^Æ)

D´eterminer un ´equivalent simple en ⁸ de la fonction f :x^ÞÑ

?

x² 1x.

Exercice 64 (^Æ)

On consid`ere deux fonctionsf,g `a valeurs r´eelles telles quef

8

g, a-t-on e^f

8

e^g?

Exercice 65 (^Æ)

Montrer que la fonction f : x ^ÞÑ xe^x r´ealise une bijection de ^r0; ^8r sur ^r0; ^8r et d´eterminer un

´equivalent au voisinage de 0 de son application r´eciproque g.

Exercice 66 (^Æ) Montrer que sif

a g alors les fonctions `a valeurs r´eelles f etg ont mˆeme signe au voisinage de a.

R´ eponses

1) On consid`ere les voisinages <sup>s1</sup><sub>2</sub>;<sup>3</sup><sub>2</sub><sup>r</sup>et<sup>s</sup>0; 1<sup>r</sup>. 2) On consid`ere le voisinage ^s

?

3; ^8r. 3) On consid`ere δ ₂^ǫ.

4) On consid`ere δ ^?1

M dans le cas M ^¡0 etδ quelconque sinon.

5) On consid`ere M ¹_ǫ 1.

6) On consid`ere N 1M.

7) La fonction f tend vers⁸ en ⁸si pour toutM ^PRil existeN ^PRtel que pour tout x^PI avec x^¤N on af^px^q¤M.

8)

?

2 2 . 9) 0.

10) On a l l 2

l 1 d’o`u l 1

?

5

2 .

11) On consid`ere la limite en ⁸de f :x^ÞÑ1

x etg:x^ÞÑ 1 x. 12) 0.

13) lim

x^Ñ0 x 0

tx^u1 et lim

x^Ñ0 x^¡0

tx^u0 donc la fonction partie enti`ere n’admet pas de limite en 0.

14) On remarque que lim

x^Ñ0f^px^q0.

15) f est de la forme u

v avec u etv continues surR etv ne s’annulant pas surR.

16) f est de la formevu avec u continue surR `a valeurs dansR etv continue sur R . 17) f est continue surRavec f^p2^q5 0 et f^p1^q1^¡0.

18) ^r0; 4^s. 19) arccos.

20) 1^¤x0^¤2 en ´etudiant les variations de la fonctionϕ:x^ÞÑx⁵5x 5.

21) lim

x^Ñaf^px^q0, f est born´ee au voisinage dea, lim

x^Ñaf^px^q1.

22) 2.

23) x² 2^x.

24) La fonction f est d´efinie sur^s1; 1^r.

25) La fonction f est d´efinie sur^s8;1^rYs1; ^8r. 26) On remarque que^|f^px^qpl^q||f^px^ql^|. 27) On utilise la d´efinition de la limite avec ǫ1.

28) On a lim

x^Ñ0 x 0

tx^u1 et lim

x^Ñ0 x^¡0

tx^u0, la fonctionf n’admet pas de limite en 0.

29) On a lim

x^Ñ0 x 0

f^px^q1 et lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^q1, la fonctionf n’admet pas de limite en 0 car f^p0^q0.

30) On remarque que^|f^px^qpl^q||f^px^ql^|. 31) lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^{q 8}.

32) lim 1024 et lim ¹ .

33) lim

x^{Ñ 8}f^px^qπ 4.

34) On poseX _x¹₂ d’o`u lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^q lim

X^{Ñ 8}

e^X

?

X

8 et lim

x^Ñ0 x 0

f^px^q lim

X^{Ñ 8}

e^X

?

X

8. 35) On af^px^qx

2lnx x 1

ln

1 1

x²

d’o`u lim

x^{Ñ 8}f^px^q8. 36) On a f^px^q x2

x1 d’o`u lim

x^Ñ1 x 1

f^px^{q 8} et lim

x^Ñ1 x^¡1

f^px^q8 de mˆemeg^px^q x2

x 1 d’o`u lim

x^Ñ1 x 1

g^px^q

xlim^Ñ1 x^¡1

g^px^q1 2. 37) On af^px^q x

?

x² x x d’o`u lim

x^{Ñ 8}f^px^q 1 2. 38) On af^px^q 2

?

1 x

?

1x pour x0 d’o`u lim

x^Ñ0 x 0

f^px^q lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^q1.

39) On pose u_n 2nπ et v_n ^p2n 1^qπ, si la fonction f admettait une limite l en ⁸ on aurait

n^Ñlim⁸f^pu_n^q lim

n^{Ñ 8}f^pv_n^ql.

40) On montre que lim

x^Ñ0 x 0

f^px^q lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^qf^p0^q. 41) On montre que lim

x^Ñ0f^px^qf^p0^q. 42) f˜:x^ÞÑx 1.

43) On a lim

x^Ñ0 x 0

f^px^q1 et lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^q1, la fonctionf n’admet pas de limite en 0.

44) On a 1x f^px^q¤1 six^¡0 et 1x^¡f^px^q¥1 six 0 d’o`u lim

x^Ñ0 x 0

f^px^q lim

x^Ñ0 x^¡0

f^px^q1.

45) On montre que la fonction v:x^ÞÑx 3e^x ne s’annule pas sur^r1; 1^s. 46) On af lnu avec u d´efinie et continue surR`a valeurs dans^s0; ^8r. 47) On pose a ^P Z, f est continue sur ^sa;a 1^r car f^px^q a

?

xa pour x ^{P s}a;a 1^r et de plus

xlim^Ña x a

f^px^qa1

?

1af^pa^q et lim_x

Ña x^¡a

f^px^qa

?

0af^pa^q.

48) On montre que f est born´ee pourx ^¤M1 et pour x^¥M2 puis si x1  x2 on consid`ere l’image du segment ^rx1;x2^s par la fonctionf continue surR.

49) On ´etudie les variations de la fonctionf :x^ÞÑx³x 1, f s’annule en α^Ps2,1^r. 50) On ´etudie les variations de la fonctionf :x^ÞÑ8x⁷7x1 et on remarque quef^p

?

2 2 ^q3

?

21^¡0, la fonction s’annule en α, β^Ps1; 0^retγ 1.

51) La fonction g est continue sur ^r0; 1^savec g^p0^{q ¤}0 et g^p1^q¥0 donc s’annule sur^r0; 1^s. 52) On af^ps1; 1^rqr0; 1^r.

53) On af^pr1; 1^sqr2

?

3 9 ;²

?

3 9 ^s. 54) g:y^ÞÑe^y1.

55) g:y^ÞÑ y 2y. 56) g:y^ÞÑy

a

y²1.

57) En divisant l’´etude sur R

etR , on montre quef est strictement croissante et quef^pRqs1; 1^r, l’application r´eciproque estg:y ^ÞÑ y

1 y .

59) On a f^px^q

8

1 2x.

60) On a f^px^q

1 x1.

61) On remarque que le produit d’un fonction born´ee au voisinage de ⁸par une fonction qui tend vers 0 en ⁸est une fonction qui tend vers 0 en ⁸.

62) On montre par encadrement que f^px^q

8

x.

63) On af^px^q 1

?

x² 1 x d’o`u f^px^q

8

1 2x.

64) On consid`ere le contre-exemple : f^px^qx etg^px^qx 1.

65) On a g^py^q

0 y.

66) La fonction f

g tendant vers 1 en a, on peut montrer qu’il existe un voisinage de asur lequel elle est positive.