Automate Fini Non-d´eterministe Th´eor`eme de Kleene

Automate Fini Non-d´ eterministe Th´ eor` eme de Kleene

Aspects Th´eoriques de l’Informatique Licence 3 informatique

S´ebastien Verel [email protected]

http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel

Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale Laboratoire LISIC Equipe OSMOSE

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Objectifs de la s´ eance 03

Connaitre la d´efinition d’un automate fini non-d´eternimiste Savoir d´eterminiser un automate

Savoir construire un automate `a ´etat fini reconnaissant un language rationnel simple

Connaˆıtre le th´eor`eme de Kleene

Questions principales du jour :

Comment d´efinir des automates reconnaissant un langage de mani`ere simple ?

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Objectifs de la s´ eance 03

Connaitre la d´efinition d’un automate fini non-d´eternimiste Savoir d´eterminiser un automate

Savoir construire un automate `a ´etat fini reconnaissant un language rationnel simple

Connaˆıtre le th´eor`eme de Kleene Questions principales du jour :

Comment d´efinir des automates reconnaissant un langage de mani`ere simple ?

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R´ ef´ erences

Rappels de r´ef´erences concernant les langages et les automates : www-igm.univ-mlv.fr/~Eberstel/Elements/Elements.

html

S. Julia, deptinfo.unice.fr/~julia/IT/

www.polytech.unice.fr/~claudine

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Plan

1 Introduction

2 Automate Fini Non-d´eterministe

3 D´eterminisation

4 Th´eor`eme de Kleene

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Equivalence expression r´ eguli` ere et langage rationnel

Th´eor`eme (admis)

Un langage est rationnel (ou r´egulier) si et seulement si

il est d´ecrit par une expression r´eguli`ere.

Cardinalit´e

L’ensemble des langages rationnels est d´enombrable. Remarque : il existe beaucoup de langage non rationnel...

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Equivalence expression r´ eguli` ere et langage rationnel

Th´eor`eme (admis)

Un langage est rationnel (ou r´egulier) si et seulement si

il est d´ecrit par une expression r´eguli`ere.

Cardinalit´e

L’ensemble des langages rationnels est d´enombrable.

Remarque : il existe beaucoup de langage non rationnel...

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Automate Fini D´ eterministe (AFD)

Automate Fini D´eterministe (AFD)

UnAutomate Fini D´eterministeest un quintuplet (Q,Σ,T,q₀,A) avec :

Σ est l’alphabet de l’automate,

Q un ensemble fini appel´eensemble des ´etats de l’automate, T est une application de Q×Σ dansQ, appel´ee lafonction de transition

q0 est un ´el´ement deQ, appel´e l’´etat initial

A est un sous-ensemble deQ, appel´e l’ensemble des ´etats acceptants.

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Automate Fini D´ eterministe (AFD)

Automate Fini D´eterministe (AFD)

UnAutomate Fini D´eterministeest un quintuplet (Q,Σ,T,q₀,A) avec :

Σ est l’alphabet de l’automate,

Q un ensemble fini appel´eensemble des ´etats de l’automate, T est une application de Q×Σ dans Q, appel´ee lafonction de transition

q0 est un ´el´ement deQ, appel´e l’´etat initial

A est un sous-ensemble deQ, appel´e l’ensemble des ´etats acceptants.

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Exemple

a

1 2

3 4 b

a

b b a

a,b

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Langage reconnu par un automate

fonction de transition it´er´ee

Lafonction de transition it´er´eeest l’application T^∗:Q×Σ^∗→Q d´efinie par :

base : si w =alors T^∗(q,w) =q induction : siw =w₀x avecx ∈Σ alors T^∗(q,w) =T(T^∗(q,w0),x)

Langage d´ecid´e

SoientM est un automate d’alphabet Σ etLun langage sur Σ M d´ecideL ssiL est l’ensemble des mots accept´es par M.

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Reconnaissance d’un langage de cardinal 1

Soit Σ un alphabet etL={u} un langage sur Σ de cardinal 1.

u s’´ecrit alors commeu =a₁a₂a₃. . .a_n avec∀i a_i ∈Σ.

Automate reconnaissant le langageL: a2

1 2 3

a1 an

... n+1

0

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Reconnaissance d’un langage de cardinal 1

Soit Σ un alphabet etL={u} un langage sur Σ de cardinal 1.

u s’´ecrit alors commeu =a₁a₂a₃. . .a_n avec∀i a_i ∈Σ.

Automate reconnaissant le langageL:

a2

1 2 3

a1 an

... n+1

0

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Reconnaissance d’un langage de cardinal 1

Soit Σ un alphabet etL={u} un langage sur Σ de cardinal 1.

u s’´ecrit alors commeu =a₁a₂a₃. . .a_n avec∀i a_i ∈Σ.

Automate reconnaissant le langageL: a2

1 2 3

a1 an

... n+1

0

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Quelques difficult´ es pratiques

Il n’est pas ”pratique” de devoir d´efinir toutes les transitions, on aimerait :

a2

1 2 3

a1 an

n+1

...

Comment construire un automate qui reconnait deux mots ? a2

1 2 3

a1 an

n+1

...

bn

1 2 3 ... n+1

b2 b1

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Quelques difficult´ es pratiques

Il n’est pas ”pratique” de devoir d´efinir toutes les transitions, on aimerait :

a2

1 2 3

a1 an

n+1

...

Comment construire un automate qui reconnait deux mots ?

a2

1 2 3

a1 an

n+1

...

bn

1 2 3 ... n+1

b2 b1

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Quelques difficult´ es pratiques

Il n’est pas ”pratique” de devoir d´efinir toutes les transitions, on aimerait :

a2

1 2 3

a1 an

n+1

...

Comment construire un automate qui reconnait deux mots ? a2

1 2 3

a1 an

... n+1 bn

1 2 3 ... n+1

b2 b1

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Plus g´ en´ eralement

Pour pouvoir d´efinir un automate qui reconnait un langage rationnel,

Il faudrait d´efinir un automate qui puisse reconnaitre :

la r´eunion de langages, la concat´enation de langages,

l’´etoile d’un langage (fermeture de Kleene).

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Plus g´ en´ eralement

Pour pouvoir d´efinir un automate qui reconnait un langage rationnel,

Il faudrait d´efinir un automate qui puisse reconnaitre : la r´eunion de langages,

la concat´enation de langages,

l’´etoile d’un langage (fermeture de Kleene).

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Plus g´ en´ eralement

Pour pouvoir d´efinir un automate qui reconnait un langage rationnel,

Il faudrait d´efinir un automate qui puisse reconnaitre : la r´eunion de langages,

la concat´enation de langages,

l’´etoile d’un langage (fermeture de Kleene).

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Plus g´ en´ eralement

Pour pouvoir d´efinir un automate qui reconnait un langage rationnel,

Il faudrait d´efinir un automate qui puisse reconnaitre : la r´eunion de langages,

la concat´enation de langages,

l’´etoile d’un langage (fermeture de Kleene).

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Introduction de non-d´ eterministes

Non-d´eterministe

En informatique,non-d´eterministe est souvent associ´e `a

”plusieurs choix possibles” par oppositiond´eterministeo`u l’op´eration ou l’action `a effectuer est unique,i.e. compl`etement d´etermin´e par l’´etat actuel du syst`eme (sans ambiguit´e).

Non-d´eterministe dans les automates

Plusieurs sources de non-d´eterministe dans les automates : Absence de transition,

Plusieurs transitions pour une mˆeme lettre, Plusieurs ´etats initiaux,

des transitions sur des mots vides : -transitions.

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Introduction de non-d´ eterministes

Non-d´eterministe

En informatique,non-d´eterministe est souvent associ´e `a

”plusieurs choix possibles” par oppositiond´eterministeo`u l’op´eration ou l’action `a effectuer est unique,i.e. compl`etement d´etermin´e par l’´etat actuel du syst`eme (sans ambiguit´e).

Non-d´eterministe dans les automates

Plusieurs sources de non-d´eterministe dans les automates : Absence de transition,

Plusieurs transitions pour une mˆeme lettre, Plusieurs ´etats initiaux,

des transitions sur des mots vides : -transitions.

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Absence de transition

lecture debbba

b

1 2

3 b

a

a

S’il n’y a plus de transition possible

et que le mot est encore en cours de lecture Alors le mot est refus´e

Remarque : remplace la technique de l’´etat ”puit”

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Absence de transition

lecture debbba

b

1 2

3 b

a

a

S’il n’y a plus de transition possible

et que le mot est encore en cours de lecture Alors le mot est refus´e

Remarque : remplace la technique de l’´etat ”puit”

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Plusieurs transitions

Lecture deaabaababet de aaaaaba

4

1 2

a,b a

a 3

b

Le mot est accept´e lorsqu’il existe au moins une lecture menant `a un ´etat acceptant.

Cons´equence : Il faut essayer tous les lectures possibles pour ˆetre sˆur que le mot est refus´e

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Plusieurs transitions

Lecture deaabaababet de aaaaaba

4

1 2

a,b a

a 3

b

Le mot est accept´e lorsqu’il existe au moins une lecture menant `a un ´etat acceptant.

Cons´equence : Il faut essayer tous les lectures possibles pour ˆetre sˆur que le mot est refus´e

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Plusieurs ´ etats initiaux

a2

1 2 3

a1 an

n+1

...

bn

1 2 3 ... n+1

b2 b1

Le mot est accept´e lorsqu’il existe une lecture `a partir de l’un des

´etats initiaux menant `a un ´etat acceptant.

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-transistions

1 2

a b

Une-transistion est une transition par lecture du mot vide.

Pendant la lecture d’un mot, il est possible de choisir d’effectuer la transition sans lire aucune lettre.

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D´ efinition AFN

Automate Fini Non-d´eterministe (AFN)

UnAutomate Fini Non-d´eterministe est un quintuplet (Q,Σ,T,I,A) o`u :

Σ est l’alphabet de l’automate,

Q un ensemble fini appel´eensemble des ´etats de l’automate, T est une application de Q×Σ dans P(Q), appel´ee la fonction de transition

I est un sous-ensemble de Q, appel´e l’ensembledes ´etats initiaux

A est un sous-ensemble deQ, appel´e l’ensemble des ´etats acceptants.

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Exemple

a b

→ 1 - 2

2 - 4

3 3 3

4 4,7 4

5 4 -

→ 6 5 -

7 3 -

7

a,b

a a

a,b

3 1

a a b

b 2

4

5 6

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Lecture / reconnaissance

Lecture

SoientM = (Q,Σ,T,I,A) un AFN etu =x₁x₂. . .x_l un mot sur Σ.

Une lecture deu par M est une suite d’´etats (q₀,q₁, . . . ,q_l) v´erifiant :

i q₀∈I, et

ii q_i ∈T(qi−1,x_i) pour 1≤i ≤l.

Acceptation

Le motu est accept´e par M s’il existe au moins une lecture de u parM qui se termine par un ´etat acceptant.

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Lecture / reconnaissance

Lecture

SoientM = (Q,Σ,T,I,A) un AFN etu =x₁x₂. . .x_l un mot sur Σ.

Une lecture deu par M est une suite d’´etats (q₀,q₁, . . . ,q_l) v´erifiant :

i q₀∈I, et

ii q_i ∈T(qi−1,x_i) pour 1≤i ≤l.

Acceptation

Le motu est accept´e par M s’il existe au moins une lecture de u parM qui se termine par un ´etat acceptant.

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Equivalence d´ eterministe / non-d´ eterministe

D´efinition ´equivalence

SoientM et M⁰ deux automates. On dit que M etM⁰ sont

´equivalents s’ils acceptent et refusent exactement les mˆemes mots.

Equivalence : D´eterministe⇒ Non-d´eterministe

L’automate d´eterministe M = (Q,Σ,T,q0,A) est ´equivalent `a l’automate non-d´eterministeM = (Q,Σ,T⁰,{q₀},A) avec T⁰(q,x) ={T(q,x)}.

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Equivalence d´ eterministe / non-d´ eterministe

D´efinition ´equivalence

SoientM et M⁰ deux automates. On dit que M etM⁰ sont

´equivalents s’ils acceptent et refusent exactement les mˆemes mots.

Equivalence : D´eterministe⇒ Non-d´eterministe

L’automate d´eterministe M = (Q,Σ,T,q0,A) est ´equivalent `a l’automate non-d´eterministeM = (Q,Σ,T⁰,{q₀},A) avec T⁰(q,x) ={T(q,x)}.

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Equivalence d´ eterministe / non-d´ eterministe

Equivalence : Non-d´eterministe ⇒D´eterministe (admis)

SoientM = (Q,Σ,T,I,A) un AFN. Alors M est ´equivalent l’AFD M⁰ d´efinit par M⁰ = (P(Q),Σ,T⁰,I,A⁰) avec :

T⁰(X,x) =∪_q∈XT(q,x) A⁰ ={X ∈ P(Q) |X ∩A6=∅}

Remarques :

Un ´etat dans l’automate d´eterministe est un ensemble.

Un ´etat pourM⁰ est acceptant lorsqu’il contient un ´etat acceptant pour M.

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Algorithme de d´ eterminisation

Les mots se terminant par a :

a b

→ 0 0,1 0

1 - -

a,b

0

a 1

AFD ´equivalent :

a b

→ 0 0,1 0 0,1 0,1 0

On part de l’´etat initial et pour chaque ´etat suivant, on r´eunit l’ensemble des ´etats atteignables depuis cet ´etat.

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Algorithme de d´ eterminisation

Les mots se terminant par a :

a b

→ 0 0,1 0

1 - -

a,b

0

a 1

AFD ´equivalent :

a b

→ 0 0,1 0 0,1 0,1 0

On part de l’´etat initial et pour chaque ´etat suivant, on r´eunit l’ensemble des ´etats atteignables depuis cet ´etat.

Introduction Automate Fini Non-d´eterministe D´eterminisation Th´eor`eme de Kleene

Algorithme de d´ eterminisation

Les mots se terminant par a :

a b

→ 0 0,1 0

1 - -

a,b

0

a 1

AFD ´equivalent :

a b

→ 0 0,1 0 0,1 0,1 0

On part de l’´etat initial et pour chaque ´etat suivant, on r´eunit l’ensemble des ´etats atteignables depuis cet ´etat.

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Algorithme de d´ eterminisation

a b

→ 0 0 2

→ 1 2 1

2 - -

On regroupe les ´etats initiaux dans un mˆeme ensemble :

a b

→ 0,1 0,2 1,2

0,2 0 2

1,2 2 1

0 0 2

2

1 2 1

est un ´etat ”puit”

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Algorithme de d´ eterminisation

a b

→ 0 0 2

→ 1 2 1

2 - -

On regroupe les ´etats initiaux dans un mˆeme ensemble :

a b

→ 0,1 0,2 1,2

0,2 0 2

1,2 2 1

0 0 2

2

1 2 1

est un ´etat ”puit”

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Et les -transistions ?

1 2

a b

Une-transistion est une transition sur un mot vide.

Pendant la lecture d’un mot, il est possible de choisir d’effectuer la transition sans lire aucune lettre.

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D´ efinition Σ

D´efinir les -transitions consiste `a d´efinir un alphabet Σ<sub>@</sub> o`u il existe une lettre suppl´ementaire correspondant `a.

D´efinition de Σ@

Σ_@ = Σ∪ {@}

Notonsπ@ : Σ^∗_@→Σ^∗ la fonction (projection) qui remplace : chaque lettre de Σ par elle-mˆeme

@ par le mot vide.

Exemple

Si Σ ={a,b} alors Σ_@ ={a,b,@}

etπ@(@aa@b@@b) =aabb

Remarque :@repr´esente le mot vide ,π_@(u) sous-mot de u

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D´ efinition AFN

AFN

UnAutomate Fini Non-d´eterministe avec -transitions est un quintuplet (Q,Σ,T,I,A) o`u :

Σ est l’alphabet de l’automate,

Q un ensemble fini appel´eensemble des ´etats de l’automate, T est une application de Q× Σ_@ dans P(Q), appel´ee la fonction de transition

I est un sous-ensemble de Q, appel´e l’ensemble des ´etats initiaux

A est un sous-ensemble deQ, appel´e l’ensemble des ´etats acceptants.

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Acceptation

Acceptation

Un motu sur Σ est accept´e par l’AFN (Q,Σ,T,I,A) s’il existe au moins un motu@ sur Σ@ qui est accept´e par l’AFN

(Q,Σ_@,T,I,A) et tel que u =π_@(u_@).

Intuitivement, un mot est accept´e s’il existe un parcours de l’automate avec-transitions ”spontan´ees”

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Equivalence AFN

/ AFN

Equivalence (admis)

SoientM = (Q,Σ,T,I,A) un AFN. Alors M est ´equivalent l’AFN M⁰ d´efinit par M⁰ = (Q,Σ,T⁰,I⁰,A⁰) avec :

T⁰(q,x) =∪_q⁰_∈cl(q)T(q⁰,x) I⁰ =∪_q∈Icl(q)

A⁰ ={q |cl(q)∩A6=∅}

cl(q) est la clˆoture (union des it´er´es) de q par -transitions, c’est-`a-dire l’ensemble des ´etats atteignables par-transitions it´er´ees (cf. suite).

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Equivalence AFN

/ AFN

Cloture deq

cl(q) est la cloture deq par-transitions, c’est-`a-dire l’ensemble des ´etats atteignables par-transitions it´er´ees.

Cloture : D´efinition ascendante

cl(q) =∪_i∈INXi

avec :

X0 ={q}

X_i+1 =X_i ∪ {q⁰ :q⁰ =T(q_i,@) avec i ∈X_i} Cloture : D´efinition descendante

cl(q) =∩{X : q∈X et X stable par-transistion}

On dit queX ⊂ P(Q) est stable par -transition siT(X,@)⊂X.

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Algorithme de d´ eterminisation

a b

→ 1 1 - 2

2 - 2 -

1 2

a b

AFN ´equivalent : cl(1) ={1,2}

a b

→ 1 1 2

→ 2 - 2

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Algorithme de d´ eterminisation

a b

→ 1 1 - 2

2 - 2 -

1 2

a b

AFN ´equivalent : cl(1) ={1,2}

a b

→ 1 1 2

→ 2 - 2

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Question

Quel rapport entre les langages reconnus par un Automate Fini et les langages d´ecrits par une expression r´eguli`ere (langage

rationnel) ?

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Th´ eor` eme de Kleene

Th´eor`eme de Kleene (admis...)

Un langage sur un alphabet Σ est rationnel si et seulement si il est reconnu par un automate fini.

Id´ee de la d´emonstration :

On peut construire de mani`ere inductive l’ensemble des langages rationnels et les automates reconnaissant ces langages.

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Union de langages rationnels

Soient deux automates finis d´eterministes M₁ etM₂ reconnaissant respectivement les langagesL1 etL2

L1∪L2 est reconnu par :

On ajoute des-transitions entre un nouvel ´etat initial et les ´etats initiaux deM₁ et de M₂

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Produit de concat´ enation de langages rationnels

Soient deux automates finis d´eterministes M1 etM2

reconnaissant respectivement les langagesL₁ etL₂ L1.L2 est reconnu par :

On ajoute des-transitions entre les ´etats acceptants deM₁ et l’´etat intial deM2

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Etoile (cloture de Kleene) de langages rationnels

Soit un automate fini d´eterministe M reconnaissant le langageL L^∗ est reconnu par :

On ajoute des-transitions entre les ´etats finaux et le nouvel ´etat initial

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Conclusion (1)

A chaque langage rationnel est associ´e un automate fini, et r´eciproquement.

Les automates sont des machines abstraites capables de r´ealiser des calculs sur des mots :

entr´ee : mot (donn´ee du probl`eme) sortie : oui/non (une d´ecision) Lien tr`es fort entre langage et machine :

Langage : d´efinit un ensemble de mots Machine : calcul un ensemble de mots

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Conclusion (2)

Il est possible de d´efinir d’autres machines abstraites qui permettent de d´efinir d’autres classes de langages.

L’expressivit´e du langage et la capacit´e de calcul de la machine sont alors diff´erentes.

Les questions que l’on se pose sont alors les mˆemes : mode de lecture,

description alg´ebrique langage (souvent `a l’aide d’une d´efinition inductive),

´

equivalence avec d’autres classes de langages,

complexit´e de calcul d’une machine reconnaissant le langage.

Par exemple, on peut remplacer automate par machine de Turing...