usage de la calculatrice interdite.
C’est un bon entraînement pour les concours de s’imposer de faire tous les calculs (produit de matrice , déterminant) à la main et de rédiger les calculs dans cet esprit sur la copie.
Pour préparer aussi une épreuve avec machine , et éviter de partir sur une fausse piste , utiliser ensuite votre machine pour voir ses possibilités et refaire le calcul à la machine et voir dans quels cas travailler à la machine est plus lent (plus rapide) que travailler à la main.
Dans toute l’épreuve,
- nest un entier naturel .
- Mn(R)désigne l’espace vectoriel des matrices à coe¢ cients réels ànlignes etncolonnes, - on identi…era la matriceA2 Mn(R)et l’endomorphismefA deRn canoniquement associé, - In est la matrice identité etOn la matrice nulle deMn(R).
- on notetAla matrice transposée deA2 Mn(R)
:On admettra que si(un)est une suite convergente de réels etAune matrice indépendante den, lim
n!+1(unA) = lim
n!+1(un)A
Questions de cours.
Dans les questions de coursnest un entier naturel supérieur ou égal à1:
1. Donner la dé…nition de deux matrices semblables.
2. Chacune des a¢ rmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? On justi…era la réponse par une démonstration ou un contre-exemple dansMn(R). On pourra être amené à discuter selon les valeurs de n.
1. Deux matrices semblables ont même rang.
2. Deux matrices ayant le même rang sont semblables.
3. Deux matrices semblables ont le même déterminant.
4. Deux matrices ayant le même déterminant sont semblables.
5. SiA2 Mn(R)véri…eA2+ 5A 6In=On alorsRn= ker(A+In) ker(A 6In).
et les dernières questions pour les 5/2
6. SiA2 Mn(R)véri…eA2 5A 6In=On alorsRn= ker(A+In) ker(A 6In) 7. Deux matrices semblables ont le même polynôme carctéristique
8. Deux matrices ayant le même polynôme carctéristique sont semblables.
Problème.
Dans tour le problème ,nest un entier naturel supérieur ou égal à2,
SoitA2 Mn+1(R). On noteai;j le coe¢ cient deA situé sur lai-ème ligne et laj-ème colonne. On suppose que pour tous i; j2 f1; : : : ; n+ 1g on a
ai;j= 8>
><
>>
:
0 sii=j isij =i+ 1 n i 2sij=i 1
0si ji jj>1 Ainsi, par exemple, pourn= 5:
A= 0 BB BB BB
@
0 1 0 0 0 0 5 0 2 0 0 0 0 4 0 3 0 0 0 0 3 0 4 0 0 0 0 2 0 5 0 0 0 0 1 0
1 CC CC CC A En…n, dans tout le problème, on noteE=Rn+1.
Partie I.
On prend dans cette partie n= 2.
1. SoitB =tAA.
1. CalculerB .
2. (3/2) Montrer queB est semblable àD= 0
@ 0 0 0 0 2 0 0 0 8
1
Aet donner une matriceP inversible telle queB=P DP 1 3. (5/2) : Montrer que B est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres et donner une matrice
diagonale D et une matrice orthogonaleP telles queB =P DP 1 2. (5/2) SoitC l’ensemble des pointsM(x; y; z)deR3 dé…ni par
2x2+ 4xz+y2+ 2z2= 1 1. Donner la nature deC et ses éléments de symétrie.
2. Déterminer les intersections deC avec chacun des trois plans d’équationx= 0,y= 0,z= 0, notées respectivement C1; C2 etC3.
3. Donner une représentation graphique de chacune de ces intersections et une allure de C. 3. Soitp2N.
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xp parX3 10X2+ 16X.
2. Justi…er queB3 10B2+ 16B=O3. La matriceB est-elle inversible ? Si oui, déterminer son inverse.
3. Déterminer les réelsap etbp tels que
8p2N ; Bp=apB2+bpB 4. SoitTp=
Xp k=0
1
k!Bk. Véri…er que 8p2N, Tp est combinaison linéaire deIn+1,B etB2. Déterminer lim
p!+1Tp. (Exprimer le résultat comme combinaison linéaire de I3; B; B2 , puis calculer explicitement les 9 coe¢ cients)
Partie II.
On prend dans cette partie n= 3.
SoitB= (e1; e2; e3; e4)la base canonique deEetf l’endomorphisme deEdont la matrice dans la baseBestA. On rappelle quef0=idE et pour toutk2N; fk+1=fk f.
1. Pour touti2 f0;1;2;3g, on poseui+1=fi(e1). Montrer que la familleU = (u1; u2; u3; u4)est une base deE.
2. Ecrire la matriceM def dans la baseU. On prendP =
0 BB
@
1 1 1 1
3 1 1 3
3 1 1 3
1 1 1 1
1 CC A.
3. Calculer det(P). Il existe donc une baseV = (v1; v2; v3; v4)telle queP =M atB(V) 4. Déterminer la matrice D def dans la baseV .
5. On poseK= 1 8
0 BB
@
1 1 1 1
3 1 1 3
3 1 1 3
1 1 1 1
1 CC
A. Existe-t-il une matriceQ2GL4(R)telle queKAQ=D? Si oui, en déterminer une.
6. Déterminer toutes les fonctionsx; y; z etude la variable réellet, de classeC1 surRqui véri…ent le système di¤érentiel
8t2R 8>
><
>>
:
x0(t) =y(t) y0(t) = 3x(t) + 2z(t) z0(t) = 2y(t) + 3u(t)
u0(t) =z(t)
2
Partie III.
On rappelle quenest un entier supérieur ou égal à2et on note En=Rn[X].
Soitg l’application dé…nie par :
8Q2En; g(Q) =nXQ (X2 1)Q0 oùQ0 désigne le polynôme dérivé du polynômeQ.
1. Véri…er queg est un endomorphisme deEn et donner sa matrice dans la base canoniqueBc= (1; X; : : : ; Xn)deEn. 2. SoitE l’équation di¤érentielle :
(x2 1)y0(x) + ( nx)y(x) = 0 où est un réel quelconque.
1. Résoudre l’équation di¤érentielle E pour x2] 1;1[.
2. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel l’existence de solutions polynômiales non nulles deE sur] 1;1[.
3. Déterminer les réels et les polynômes non nulsP véri…antg(P ) = P 4. Montrer qu’il existe une matrice diagonaleD semblable àA.
5. Calculer le déterminant de la matriceA. (on exprimera le résultat à l’aide de factoriels)
Partie IV.
On considère l’équation di¤érentielleF : y00(x) y(x) = 0et on note - y1 la solution deF qui véri…ey1(0) = 1 ety10(0) = 0
- y2 la solution deF qui véri…ey1(0) = 0 ety10(0) = 1
Soient pour toutk2 f0; : : : ; nget toutx2R,gk(x) = (y1(x))n k(y2(x))k et G= (g0; : : : ; gn).
1. Exprimer y1 ety2à l’aide des fonctionschet sh.
2. Prouver queG= Vect(G)est un espace vectoriel de dimensionn+ 1 dontG est une base.
3. Soit l’endomorphisme deC1(R;R)qui à une fonctionhassocie (h) =h0.
1. Montrer queGest stable par . induit donc surGun endomorphisme que l’on notera .
2. On note, pour tout m 2 N, 'm l’application dé…nie par 8x 2 R; 'm(x) = e(2m n)x. Prouver que la famille F = ('m; m2 f0; : : : ; ng)est une base deG.
On pourra montrer que tout élément deG est combinaison linéaire d’éléments deF. 3. Ecrire les matricesS de dans la baseG etS0 de dans la baseF
4. Quels résultats retrouve-t-on ?
3
