1. Pour quelques valeurs de n ∈ N , calculer le d´ eveloppement en fraction continue de

Pr´ eparation ` a l’agr´ egation de Math´ ematiques — Option C : alg` ebre et calcul formel O. Marguin, 11/05/11

Fractions continues — Exercices

Exercice 1

1. Pour quelques valeurs de n ∈ N , calculer le d´ eveloppement en fraction continue de

√ n ² + 1 (on pourra utiliser la fonction cfrac du package numtheory ).

2. En d´ eduire la forme g´ en´ erale du d´ eveloppement en fraction continue de √

n ² + 1 pour n ∈ N .

Exercice 2 : approximants de Pad´ e

Soit f une fonction num´ erique d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0. Par analogie avec le d´ eveloppement en fraction continue des nombres r´ eels, on cherche ` a

´ ecrire f sous la forme :

f ( x ) = a 0 + x ⁿ

a 1 + x ⁿ

a 2 + x ⁿ

a 3 + · · ·

(1)

o` u a 0 ∈ R et, pour i ≥ 1, a i ∈ R et n i ∈ N . On appelle approximant de Pad´e d’indice k de f la fraction rationnelle obtenue en tronquant (1) ` a l’indice k :

P k,f ( x ) = a 0 + x ⁿ

a 1 + x ⁿ

a 2 + x ⁿ

· · · + x ⁿ

a k

1. Ecrire une proc´ edure donnant l’approximant de Pad´ e d’indice k d’une fonction, s’il existe.

2. Tester avec la fonction tangente. Pour v´ erification : P 4 , tan ( x ) = x

1 + x ²

− 3 + x ² 5 + x ²

− 7

= − 10 x ³ + 105 x x ⁴ − 45 x ² + 105

3. Comparer le graphe de la fonction tangente avec les graphes de ses approximants de

petits indices (on constatera qu’on obtient une bonne approximation mˆ eme au voisinage

des pˆ oles, ce qui aurait ´ et´ e impossible avec une approximation polynˆ omiale).