I - D´eveloppement en fraction continue d’un rationnel.

SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SUR LES FRACTIONS CONTINUES

I - D´eveloppement en fraction continue d’un rationnel.

Soit r = a

b ∈ Q \ Z donn´e sous forme irr´eductible, on appelle d´eveloppement en fraction continue d’un rationnel l’´ecriture :

r = a 0 + b 1

a 1 + b 2

. .. + b n−1

a n −1 + b n

a n

.

(1) Montrer que, si l’on impose les conditions a 0 ∈ Z, a n > 1, a k > 1, b k = 1 pour k ^> 1 alors l’´ecriture ci-dessus est possible et est unique, on dit que la fraction continue est sous forme normale. Quel algorithme permet d’avoir cette ´ecriture ?

(2) Dans le cas o` u tous les b k sont ´egaux `a 1, montrer que a 0 1

1 0

a 1 1 1 0

. . .

a n 1 1 0

=

α γ β δ

o` u r = α β . On notera par la suite r = [a 0 ; b 1

a 1

, . . . b n

a n

] le d´eveloppement de r en fraction continue.

(3) Pour k ∈ [1, n], on appelle r k = [a 0 ; b 1

a 1

, . . . , b k

a k

] la k-i´eme r´eduite de r. r k = P k

Q k

o` u a 0 1

1 0

a 1 1 b 1 0

. . .

a k 1 b k 0

=

P k P k −1

Q k Q k −1

.

a) ´ Ecrire les relations de r´ecurrence liant P k , P k −1 , P k −2 et Q k , Q k −1 , Q k −2 . b) Montrer que P k

Q k − P k −1

Q k−1

= ( − 1) ^{k −1} b 1 b 2 . . . b k

Q k−1 Q k

.

II - D´eveloppement en fraction continue normale d’un irrationnel.

On appelle F = { (u n ) n ∈N o` u u 0 ∈ Z et u n ∈ N ^∗ pour n ^> 1 } et I = R \ Q l’ensemble des irrationnels. On utilisera les r´esultats de la partie I. .

Pour u ∈ F , on notera M k (u) =

u k 1 1 0

, R n,k (u) = M n (u) . . . M n+k (u); si n = 0, on abr´egera : R 0 ,k (u) = R k (u) et sa premi`ere colonne sera not´ee

P k (u) Q k (u)

. Pour M =

a b c d

∈ M ² ( Z ), det M 6 = 0 et x ∈ I , on d´efinit M ∗ x = ax + b

cx + d

(1) Montrer que ∀ k ∈ N, Q k (u) ∈ N ^∗ et que ∀ k ∈ N ^∗ , R k (u) =

P k (u) P k−1 (u) Q k (u) Q k−1 (u)

. On ´ecrira r k (u) = P k (u)

Q k (u) .

1

2 SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SUR LES FRACTIONS CONTINUES

(2) Pour k ^> 1, calculer P k (u).Q k −1 (u) − P k −1 (u).Q k (u).

Montrer que la suite (Q k (u)) k ∈N

est strictement croissante et que les suites (r 2 k (u)), (r 2 k +1 (u)) sont adjacentes.

On note r(u) la limite de la suite (r n (u)).

(3) a) Montrer que | r(u) − r k (u) | < 1

Q k (u) ² pour k ^> 1. En d´eduire que r(u) ∈ I . b) Montrer que, pour (c, d) ∈ Z × N ^∗ , si

c

d − r(u)

< | r k (u) − r(u) | alors d > Q k (u).

(4) Pour x ∈ I , on d´efinit f(x) = 1

x − [x] ∈ I . On pose alors u k (x) = f ^k (x)

(compos´e k-i`eme de f en x), u(x) = (u k (x)) k ∈N et u 0 (x) = [x].

a) Prouver que u(x) ∈ F . On notera u `a la place de u(x) dans ce 4.

b) Montrer que x = P k (u)f ^{k +1} (x) + P k−1 (u) Q k (u)f ^{k +1} (x) + Q k −1 (u) =

P k (u) P k −1 (u) Q k (u) Q k −1 (u)

∗ f ^k+1 (u) pour k ^> 1.

En d´eduire que r 2k (u) < x < r 2k+1 (u) puis que x = r(u).

u s’appelle le d´eveloppement en fraction continue normale de x que l’on ´ecrira x = [u 0 ; 1

u 1

, . . . , 1 u n

, . . .].

c) Si on connaˆıt le d´eveloppement en fraction continue normale de x, indiquer comment obtenir les d´eveloppements en fraction continue normale de x + a, a ∈ Z, f ^k (x), − x,

1 x .

III - Th´eor`eme de Lagrange.

On consid`ere ici l’ensemble P des ´el´ements de F p´eriodiques `a partir d’un certain rang : P = { (u n ) ∈ F|∃ N ∈ N, ∃ p ∈ N ^∗ , ∀ n ^> N, u n + p = u n } .

(1) Si u ∈ P , prouver que r(u) est racine d’une ´equation alg´ebrique de degr´e 2 `a coefficients entiers.

On s’int´eresse maintenant `a la r´eciproque : si x est un irrationnel racine d’une ´equation alg´ebrique de degr´e 2 `a coefficients dans Z alors le d´eveloppement de x en fraction continue normale est p´eriodique. On notera P k `a la place de P k (u), f <sup>k</sup> `a la place de f ^k (x) etc.

Soit T (X) = αX ² + βX + γ = 0 cette ´equation, on pose ∆ = β ² − 4αγ . (2) ` A l’aide de la relation x = P k f ^k+1 + P k −1

Q k f ^k+1 + Q k −1

, trouver pour tout k ∈ N un triplet (α k , β k , γ k ) ∈ Z ³ tel que α k (f ^k ) ² + β k f ^k + γ k = 0, on pose ∆ k = β _k ² − 4α k γ k .

(3) Montrer que les triplets (α k , β k , γ k ) k∈N sont en nombre fini (on d´emontrera et on utilisera la relation β _k ² − 4α k γ k = β ² − 4αβ).

En d´eduire le th´eor`eme de Lagrange.

(4) D´eterminer les d´eveloppements en fraction continue des r´eels : 1 + √

5

2 , √

5, √ 41, √

a ² + 1, √

a ² + 2, 1 2

h a + √

a ² + 4b i

, (a, b) ∈ (N ^∗ ) ² . IV - D´eveloppement des fonctions en fraction continue.

(1) Soit f (x) = c 10 + c 11 x + · · · + c 1n

x ⁿ

c 00 + c 01 x + · · · + c 0 n

x ⁿ

une fraction rationnelle, montrer que l’on peut

´ecrire

f (x) = [0; c 10

c 00

, c 20 x c 10

, . . . , c n0 x c n −1 , 0

]

SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SUR LES FRACTIONS CONTINUES 3

o` u les coefficients c jk se calculent par r´ecurrence avec la formule c jk = −

c j −2 , 0 c j −2 ,k +1

c j −1 , 0 c j −1 ,k +1

n ´etant un entier `a d´eterminer.

(2) a) Lambert a obtenu le d´eveloppement suivant pour tan x : tan x = [0; x

1 , − x ²

3 , . . . , − x ² 2n + 1 , . . .]

convergent en tout point de R \ (π/2 + πZ).

Ecrire un algorithme permettant de calculer les r´eduites de tan ´ x.

Tester la pr´ecision obtenue en comparant les valeurs obtenues pour tan x, x = 0, 1 × k, k ∈ [1, 10], n = 5 (on donnera l’erreur relative tan x − t 5 (x)

tan x o` u t 5 d´esigne la 5-i`eme r´eduite.

b) Euler a obtenu pour la fonction exp le d´eveloppement suivant, valable pour toute valeur r´eelle ou complexe :

exp x = [0; 1 1 , − 2x

2 + x , x ² 6 , x ²

10 , . . . , x ²

4n + 2 , . . .].

R´epondre aux mˆemes questions qu’au a).