(b) Avec le d´eveloppement limit´e (1) on obtient ici 1 2∆t2x00(τ

Solutions exercicesExp´eriences Num´eriques- Master PhyFA Solution Dynamique mol´eculaire – algorithmes d’int´egration

1. Sch´ema de St¨ormer-Verlet On part d´eveloppement limit´e

x(t)≈x(τ) + (t−τ)x⁰(τ) +1

2(t−τ)²x⁰⁰(τ). (1) (a) Avec le d´eveloppement limit´e (1) on peut donc ´etablir les approxi-

mations 1

2∆t²x⁰⁰(τ) + ∆tx⁰(τ) +x(τ) =x(τ + ∆t) 1

2∆t²x⁰⁰(τ)−∆tx⁰(τ) +x(τ) =x(τ −∆t)

Interpr´etant ces approximations comme ´equations, on obtient x⁰(τ)≈ x(τ + ∆t)−x(τ−∆t)

2∆t ,

x⁰⁰(τ)≈ x(τ + ∆t)−2x(τ) +x(τ −∆t)

∆t² .

(b) Avec le d´eveloppement limit´e (1) on obtient ici 1

2∆t²x⁰⁰(τ) + ∆tx⁰(τ) +x(τ)≈x(τ + ∆t), 2∆t²x⁰⁰(τ) + 2∆tx⁰(τ) +x(τ)≈x(τ + 2∆t), tel que

x⁰(τ)≈ −x(τ + 2∆t) + 4x(τ + ∆t)−3x(τ)

2∆t ,

x⁰⁰(τ)≈ x(τ+ 2∆t)−2x(τ+ ∆t) +x(τ)

∆t² .

(c) Avec le d´eveloppement limit´e (1) on obtient 1

2∆t²x⁰⁰(τ)−∆tx⁰(τ) +x(τ)≈x(τ −∆t), 2∆t²x⁰⁰(τ)−2∆tx⁰(τ) +x(τ)≈x(τ −2∆t), et par cons´equent

x⁰(τ)≈ x(τ −2∆t)−4x(τ−∆t) + 3x(τ)

2∆t ,

x⁰⁰(τ)≈ x(τ −2∆t)−2x(τ−∆t) +x(τ)

∆t² .

2. Algorithme de Verlet et algorithme “Velocity-Verlet”

On part de l’int´egrateur MD pour l’algorithme de St ¨ormer-Verlet clas- sique (icin≡n∆tetc.)

x(n+ 1) = 2x(n)−x(n−1) +∆t²

M F(n), (2)

o `uF(n)≡F(x(n)), et l’expression pour la vitesse `a l’instantn, v(n)≡x(n) =˙ x(n+ 1)−x(n−1)

2∆t . (3)

(a) Partant de l’´eq. (2) on ´ecrit

x(n+ 1) = 2x(n)−x(n−1) +v(n)∆t− v(n)

| {z }

(3)

∆t+∆t² M F(n)

= 2x(n)−x(n−1) +v(n)∆t− x(n+ 1)−x(n−1)

2∆t ∆t+∆t² M F(n)

= ∆t²F(n)

M + ∆tv(n)−1

2x(n−1) + 2x(n)−1

2 x(n+ 1)

| {z }

(2)

= ∆t²F(n)

M + ∆tv(n)−1

2x(n−1) + 2x(n)−1 2

2x(n)−x(n−1) +∆t² M F(n)

=x(n) +v(n)∆t+∆t² 2MF(n).

Ceci est l’algorithme “Velocity Verlet” pour la progression des posi- tions,

x(n+ 1) =x(n) +v(n)∆t+∆t²

2MF(n) (b) Partant de l’´eq. (3) on ´ecrit

v(n+ 1) = x(n+ 2)−x(n)

2∆t =v(n) +















(2), n→n+1

z }| { x(n+ 2) −x(n)

2∆t − v(n)

| {z }

(3)















=v(n) +

2x(n+ 1)−x(n) +∆t²

M F(n+ 1) −x(n)

2∆t − x(n+ 1)−x(n−1)

2∆t

=

∆t²F(n+1)

M + 2∆tv(n) +x(n−1)−2x(n) +

(2)

z }| { x(n+ 1) 2∆t

=v(n) + ∆t

2M F(x(n)) +F(x(n+ 1)) .

On obtient donc l’algorithme “Velocity Verlet” pour la progression des vitesses,

v(n+ 1) =v(n) + ∆t

2M F(x(n)) +F(x(n+ 1))

Solutions exercicesExp´eriences Num´eriques- Master PhyFA Principe de Gauss – Dynamique mol´eculaire du non-´equilibre

On consid`ere un syst`eme deN particules (points de masse) qui interagissent via un potentielV(r₁, . . . ,r_N).

1. Partant de l’´equation de Newton

m_α¨r_α =−∂V

∂r_α

on obtient par multiplication scalaire avec la vitesse¨r_α et sommation sur les particules

N

X

α=1

m_α¨r_α·r˙_α=−

N

X

α=1

∂V

∂rα

·r˙_α. Ceci peut ˆetre ´ecrit sous la forme ´equivalente

d dt

N

X

α=1

1 2mαr˙²_α

!

= d

dtV(r1(t), . . . ,rN(t)) ou bien comme

d dt













N

X

α=1

1

2mαr˙²_α+V(r1(t), . . . ,rN(t))

| {z }

T+V













= 0.

L’´energie totale,T+V, est donc constante,T+V =E.

2. En d´erivant la contrainte impos´ee,

N

X

α=1

1

2m_αr˙²_α = 3

2N k_BT, (4)

par rapport `a t, on obtient la contrainte correspondante pour les acc´el´erations,

g(¨r₁, . . . ,¨r_N) =

N

X

α=1

m_αr˙_α·¨r_α= 0. (5) Les ´equations de mouvement sont donc obtenues en minimisant la fonction cible,

Q˜ =

N

X

α=1

1

m_α (mα¨rα−Fα)²+µg(¨r1, . . . ,¨rN), (6) par rapport aux acc´el´erations et par rapport `aµ, o `uFα=−∂V /∂r_α. La minimisation par rapport aux acc´el´erations donne

¨r_β = F_β

m_β −µr˙_β, β= 1, . . . , N (7)

et celle par rapport `aµm`ene simplement `a la contrainte (5). En ins´erant la forme g´en´erale (7) pour les acc´el´erations dans la contrainte (5) on obtient une ´equation pourµ,

N

X

α=1

mαr˙α· Fα

m_α −µ˙rα

= 0.

Utilisant la contrainte (4) pour l’´energie cin´etique, ceci donne

µ=

N

X

α=1

r˙α·Fα

3N kBT (8)

On note que le syst`eme est frein´e siµ > 0et acc´el´er´e si µ < 0. Pour µ= 0la contrainte est respect´ee et le thermostat n’agit pas.

3. Imposant formellement la constance de l’´energie,

N

X

α=1

1

2m_αr˙²_α+V(r₁, . . . ,r_N) =E, (9) m`ene ici `a la contrainte

g(¨r1, . . . ,¨rN) =

N

X

α=1

(mα¨rα−Fα)·r˙α = 0, (10) pour les acc´el´erations, o `uFα=−∂V /∂r<sub>α</sub>. La fonction cible `a minimiser a donc la mˆeme forme (6) que dans le cas de l’ensemble isocin´etique et par cons´equent la forme g´en´erale des ´equations de mouvement est la mˆeme,

¨rβ = F_β

m_β −µr˙β, β= 1, . . . , N (11) utilisation des ces expressions dans la contrainte (10) pour les acc´el´erations m`ene `a

N

X

α=1

mα

Fα

mα

−µ˙rα

−Fα

·r˙α=−µ

N

X

α=1

mαr˙α·r˙α = 0.

CommePN

α=1m_αr˙_α·r˙_α= 2T ≥0, il suit que

µ= 0 (12)

La force de contrainte est ici nulle, parce que la contrainte est respect´ee

“automatiquement” et n’est donc pas une contrainte, mais une loi de conservation.

4. A partir de la contrainte impos´ee on d´erive la contrainte g(¨r₁, . . . ,¨r_N) = 1

N

N

X

α=1

m_αn·¨r_α= 0 pour les acc´el´erations et la minimisation de la fonction cible

Q˜ =

N

X

α=1

1

m_α (mα¨rα−Fα)²+µg(¨r1, . . . ,¨r_N) par rapport aux acc´el´erations m`ene `a

¨

r_β = Fβ

m_β −µn, β= 1, . . . , N . (13) Insertion de cette forme g´en´erale des acc´el´erations donne une ´equation pourµ,

1 N

N

X

α=1

mαn· Fα

m_α −µn

= 0, dont la solution est

µ= 1 M

N

X

α=1

n·F_α (14)

o `uM =PN

α=1m_αest la masse totale. L’´equation de mouvement finale est donc

¨

r_β = Fβ

m_β − 1 M

N

X

α=1

(n·F_α)n

| {z }

a

, β= 1, . . . , N . (15)

On reconnait quea est l’acc´el´eration du centre de masse en direction den.