Soit m un réel donné. L'objet de ce problème est de discuter suivant la valeur du para- mètre m du nombre de solutions dans [0, π] de l'équation E

MPSI B Année 2015-2016. DS 2 le 16/10/15 4 novembre 2019

Exercice 1.

Soit m un réel donné. L'objet de ce problème est de discuter suivant la valeur du para- mètre m du nombre de solutions dans [0, π] de l'équation E

d'inconnue x

E

: cos(2x) + 2(1 − m) cos x + 1 + 4m = 0 On introduit pour cela une fonction auxiliaire

ϕ :







R \ {2} → R t 7→ t

+ t

t − 2

1. Calculer et factoriser ϕ

. Former le tableau de variations de ϕ et tracer son graphe.

2. Déterminer un intervalle I tel que

E

admet une solution dans R ⇔ m ∈ ϕ(I) 3. Discuter suivant m du nombre de solutions de E

dans [0, π] .

Exercice 2.

On se propose d'étudier la fonction f dénie par : f (x) = arccos 1 − x

1 + x

+ arcsin 2x 1 + x

1. Montrer que f est dénie dans R.

2. a. Pour u ∈ [−1, 1] , préciser arccos(−u) et arcsin(−u) en fonction de arcsin u et de arccos u .

b. Soit x un réel non nul, calculer f ( 1

x ) + f (−x) 3. Si x = tan θ , exprimer

1 − x

1 + x

2x 1 + x

en fonction de θ .

4. En dégageant les cas pertinents pour x , simplier f (x) . Tracer le graphe de f .

Exercice 3.

Soit E et F deux ensembles, f une fonction injective de E dans F et g une fonction injective de F dans E .

Dans ce texte, pour toute partie A de E , on désigne par E \ A le complémentaire de A dans E . De même, pour toute partie X de F , on désigne par F \ X le complémentaire de X dans F .

On dénit une partie H de P (E) par :

∀A ∈ P(E), A ∈ H ⇔ g(F \ f (A)) ⊂ E \ A.

1. Question de cours (image directe, image réciproque).

Soit A ⊂ E , X ⊂ F , b ∈ E , y ∈ F .

Caractériser la propriété y ∈ f (A) à l'aide d'un quanticateur. Caractériser la propriété b ∈ g(X ) à l'aide d'un quanticateur. Caractériser b ∈ f

(X) . Caractériser x ∈ g

(A) .

2. Dans cette question, on suppose qu'il existe B ⊂ E telle que E \ B = g(F \ f (B)).

On dénit des fonctions f

et g

:

f

:

( B → f (B)

b 7→ f (b) g

:

( F \ f (B) → E \ B x 7→ g(x) . a. Montrer que, f

et g

sont bijectives.

b. On dénit des fonctions ϕ et ψ par :

ϕ :



 

  E → F

a 7→

( f

(a) si a ∈ B g

(a) si a / ∈ B

, ψ :



 

  F → E

x 7→

( f

(x) si x ∈ f (B) g

(x) si x / ∈ f (B) Montrer qu'elles sont bijectives.

3. a. Soit A ∈ P(E) , compléter la proposition suivante

A ∈ H ⇔ (∀x ∈ F, x / ∈ ? ⇒ g(x) ? ?) . Puis démontrer cette équivalence

.

1

Toute rédaction prétendant démontrer en même temps les deux implications sera considérée incorrecte sans être lue !

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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MPSI B Année 2015-2016. DS 2 le 16/10/15 4 novembre 2019

b. Montrer que, pour tout A ∈ P(E) ,

A ∈ H ⇔ g

(A) ⊂ f (A).

4. a. Montrer que ∅ ∈ H . Montrer que E \ g(F ) ∈ H . b. On note

B = [

A∈H

A.

Montrer

g

(B) = [

A∈H

g

(A), f (B) = [

A∈H

f (A).

En déduire que B ∈ H .

5. a. Pour tout a ∈ E , montrer que a / ∈ B ⇒ B ∪ {a} ∈ H / . b. Montrer que E \ B = g(F \ f (B)) .

6. Démontrer le théorème de Cantor-Bernstein

Deux ensembles étant donnés, s'il existe des applications injectives entre chacun des deux alors il existe des applications bijectives entre chacun des deux.

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