Universit´e de Rouen
L2 de Math´ematiques - Informatiques Ann´ee 2004-2005
Initiation `a l’Analyse Num´erique et Maple Examen du 24 juin 2005, dur´ee 2h
L’usage de la calculatrice est autoris´e. L’usage de tout document est interdit.
Exercice 1. Questions de cours.
(a) Donner la d´efinition de la formule de Newton-Cotes ferm´ee `an+ 1 points de l’intervalle [a, b].
(b) Donner la d´efinition de l’ordre d’une formule de quadrature.
Exercice 2. Soit la matriceAd´efinie par
A= 0 B B
@
2 −1 α 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 1
1 C C A ,
o`uαest un param`etre r´eel variable.
(a) Discuter selon la valeur deαde l’existence de la d´ecompositionLU de la matriceA.
(b) On prendα= 0. D´eterminer la d´ecompositionLU de la matriceA[donner les ´etapes du calcul]. R´esoudre en utilisant la d´ecompositionLU le syst`emeAx=bavectb= (−1,0,1,2).
Exercice 3. Soitλ >0. On veut r´esoudre l’´equation suivante
(1) λexp(x) =x
(a) Discuter du nombre de racines en fonction de la valeur deλ.
(b) Dans le cas o`u l’´equation (1) admet deux racines positivesr1 < r2, on se propose d’approcher num´eriquementr1 etr2. On propose deux m´ethodes it´eratives du typex0 bien choisi etxn+1=g(xn), pour toutn∈N, avec
g1(x) =λexp(x), g2(x) = ln(x)−ln(λ).
Pour chaque m´ethode et chaque racine, on montrera, soit la possibilit´e de converger, soit la divergence de la suite d´efinie par les m´ethodes it´eratives.
(c) On prendλ= 1/10. Approcher num´eriquement la valeur der1avec la m´ethode de votre choix. On donnera une valeurx0
en justifiant ce choix i.e. en d´emontrant que pour votre choix dex0 la m´ethode it´erative choisie converge versr1. A l’aide de la calculatrice donnerx0,x1,x2,x3 etx4.
Exercice 4. Soientaetbdeux r´eels tels quea < betf∈ C1(I) o`uI= [a, b]. Soient (xn) et (yn) deux suites de r´eels telles que
∀n∈N a < xn< yn< b, lim
n→+∞xn=a, lim
n→+∞yn=b.
Pour toutn∈N, on notePn le polynˆome d’interpolation de Lagrange def aux quatre pointsa,xn,ynetbet on d´efinit les r´eels
An=f(xn)−f(a)
xn−a , Bn= f(yn)−f(xn) yn−xn
, Cn= f(b)−f(yn) b−yn
.
(a) `A l’aide de la m´ethode des diff´erences divis´ees (avec comme«colonne de d´epart»les points d’interpolationa,xn,yn et b) montrer quePns’´ecrit sous la forme
Pn(x) =f(a) +αn(x−a) +βn(x−a)(x−xn) +γn(x−a)(x−xn)(x−yn) et donner les expressions deαn,βnetγnen fonction notamment deAn,BnetCn.
(b) Calculer, en fonction def etf0, les limites deAn,BnetCnquandntend vers +∞puis celles deαn,βnetγn. (c) On d´efinit le polynˆomeQpar,∀x∈I,
Q(x) = f(a) + (x−a)f0(a) + (x−a)2“f(b)−f(a)
(b−a)2 − f0(a) b−a
”
+ (x−a)2(x−b)“ f0(b)
(b−a)2 −2f(b)−f(a)
(b−a)3 + f0(a) (b−a)2
”
A l’aide de la question (b) ´` etablir que, pour toutx∈I, la quantit´e|Pn(x)−Q(x)|tend vers 0 quandntend vers +∞.
(d) CalculerQ(a),Q(b),Q0(a) etQ0(b) en fonction defetf0. Quel est ce polynˆomeQ? (justifier soigneusement votre r´eponse) (e) On suppose d´esormais que f ∈ C4(I). On poseM = maxt∈I|f(4)(t)|. Retrouver uniquement `a l’aide de l’estimation de
l’erreur|f(x)−Pn(x)|donn´ee par le cours, l’estimation de l’erreur|f(x)−Q(x)|pour toutx∈I.
(f) Donner la meilleure constantek1 telle que∀x∈I, |f(x)−Q(x)| ≤k1M.(k1 ne d´epend que deaet deb.)
(Question bonus) Montrer que Zb
a
(f00(x)−Q00(x))2dx ≤ (b−a)5
720 M2.[Indication : int´egrer par parties et utiliser la conclusion de (e)]
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