x→ lim 0 + ln(x) = −∞et lim

Cours sur la fontion exponentielle

Problématique

D'aprèsleourssurlafontion

ln

^{, onsait que:}

Propriété:Lafontion

ln

^estdéniesurl'intervalle

]0; + ∞ [

^{,elleestontinue,stritementroissante,deplus}

x→ lim 0 ⁺ ln(x) = −∞

et

lim

x→ + ∞ ln(x) = + ∞

.Commeonlevoit surlegraphique:

a |

| b

x y

y = ln(x)

D'aprèslethéorèmedesvaleursintermédiaires,pourtout

b ∈ R

^{ilexisteununiqueréel}

a > 0

^telque

ln(a) = b

^.

C'estàdirequetout réel

b

^{admetununiqueantéédentparlafontion}

ln

^.

Cetantéédent

a

^estappelé l'exponentielle de

b

^{,et noté}

exp(b)

^ou

e ^b

^.

Définition :Pourtout

b ∈ R

^{ilexisteununiqueréel}

a > 0

^telque

ln(a) = b

^.Cenombre

a

^{est appelé l'ex-}

ponentielle de

b

^{,et noté}

exp(b)

^ou

e ^b

^.

L'objetdeehapitreestd'étudierlespropriétésdeette fontion

exp

^{quiintervientdansdenombreuxphéno-}

mèneséonomiques,biologiquesouhimiques.

1 °) Dénition de la fontion exponentiell e

Définition : fontionexponentielle

Lafontion

f

^déniesur

R

^par

f (x) = e ^x

^{estlafontionvériant}

ln(e ^x ) = x

^pourtout

x ∈ R

^.Ellevérie

e ^x > 0

pourtout

x

^réel.

2 °) Propriétés de la fontion exponentiell e

Propriété:valeursremarquables

Ona

exp(0) = e ⁰ = 1

^et

exp(1) = e ¹ = e

^.

Propriété:règlesdealul

Pourpourtousnombres

a

^et

b

^{réels, lafontion}

exp

^vérie:

e ^{a + b} = e ^a × e ^b e ^a×b = (e ^a ) ^b e ^−a = 1

e ^a e ^a−b = e ^a

e ^b ln(e ^x ) = x

^si

x ∈ R e ^{ln( x )} = x

^si

x > 0

pourtout

x ∈ R

^et

y > 0

^{, ona}

y = e ^x ⇐⇒ ln(y) = x

Propriété:variations

Lafontion

exp

^{est dérivablesur}

R

^{,elleapourdérivée}

exp(x) ^′ = exp(x)

^.

Lafontion

exp

^{est stritementroissantesur}

R

^.

Pour

a

^et

b

^{deuxnombresstritementpositifs,ona e}

^a = e ^b ⇐⇒ a = b

^et

e ^a < e ^b ⇐⇒ a < b

Propriété:limitesdelafontion

exp

x→−∞ lim e ^x = 0 ⁺

^et

lim

x→ + ∞ e ^x = + ∞

Propriété:tableaudevariationsdelafontion

exp

Onpeutrésumerlespropriétéspréédentesdanssontableaudevariations:

x

signede

e ^{x ′} = e ^x

variationsde

e ^x

−∞

0

0

1

+ ∞

+ ∞ +

Etonpeuttraerlegraphedelafontion:

| 1

x

y y = e ^x

La fontionexponentielle est aratérisée parune roissane"très rapide",'est à dire qu'elletend vers

+ ∞

lorsque

x

^tendvers

+ ∞

,etetteroissanesefaitbeauoupplusrapidementquetouteslesfontionspuissanes etpolynmes( fours surleslimiteset lesrèglesderoissanesomparées).

Propriétés: dérivéeset primitivesliéesàlafontionexponentielle

intervalle

I

^fontion

f (x)

^dérivée

f ^′ (x)

R exp(x) = e ^x exp(x) = e ^x

si

u(x)

^{estunefontion}

exp(u(x)) = e ^{u ( x )} u ^′ (x) exp(u(x)) = u ^′ (x)e ^{u ( x )}

intervalle

I

^fontion

f(x)

^Primitive

F (x)

R exp(x) = e ^x exp(x) = e ^x

si

u(x)

^{estune fontion}

u ^′ (x)e ^{u ( x )} e ^{u ( x )}