cours sur les dérivées

Ch...: La dérivation

I- Le nombre dérivé:

1) L'accroissement moyen:

Soit une fonction f définie sur un intervalle I; a et a + h sont deux réels de cet intervalle avec h non nul, mais proche de 0.

L'accroissement moyen (appelé aussi taux de variation) de f entre a et a + h est le rapport:

Remarque:

Cet accroissement moyen est égal au coefficient directeur m d'une fonction affine f.

2) Nombre dérivé d'une fonction en un point:

Définition:

Soit une fonction f définie sur un intervalle I; a et a + h sont deux réels de I où h est non nul.

Si lim fah−fa h

h0

est réelle, alors...

Le réel obtenu s'appelle le nombre dérivé de f en a et est noté ....

Exemple: La fonction f définie ℝ par fx=x³−7 est-elle dérivable en a = 2 ?

3) Interprétation géométrique du nombre dérivé:

Soit C la courbe représentative d'une fonction f, dérivable en a.

On considère le point A(a; f(a)) et le point M(a+h; f(a+h)).

Quel est le coefficient directeur de la droite (AM)?

Lorsque h tend vers 0, le point M...du point A.

Le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers...

La droite (AM) devient... à la courbe C.

Propriété:

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C d'une fonction f à un point d'abscisse a est le nombre dérivé f'(a).

L'équation de la tangente :

Si f est dérivable en a, le coefficient directeur m de la tangente est ....

L'équation de la tangente est donc de la forme: y = ...

Le point de coordonnées (a; f(a)) appartient à la tangente T et aussi à C.

Les coordonnées (a; f(a)) vérifient donc l'équation y = f'(a)x + p.

D'où: f(a) = ... <=> p = f(a) – ...

Par conséquent, l'équation de la tangente est donc:

y = ...

L'équation d'un tangent à une courbe en a s'écrit: y = f'(a)(x-a) + f(a) II- Approximation affine:

1. Fonctions dérivées:

Soit la fonction f définie par f(x) = x² +3x – 4

Cette fonction est-elle dérivable en a réel quelconque?

Définir maintenant une nouvelle fonction, qui à x associe le nombre dérivé f'(x):

La fonction dérivée f' de f est une fonction, qui à tout x associe son nombre dérivé f'(x).

Définition:

On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.

Tableau des dérivées des fonctions usuelles: (à compléter après démonstration)

Fonction f Fonction dérivée f' définie sur

f(x) = k f'(x) =... ...

f(x) = ax + b f'(x) =... ...

f(x) = xⁿn1 f'(x) =... ...

f(x) = 1

xⁿn1 f'(x) =... ...

f(x) =



f(x) = cos(x) f'(x) = ... ...

f(x) = sin(x) f'x) = ... ...

...

2) Approximation affine associée à une fonction:

Démonstration:

Pour h non nul, on pose:

h=fah−fa

h −f 'a

Que peut on dire du quotient fah−fa

h quand h tend vers 0 et qu'il admet une limite réelle ?

En déduire que h tend vers 0

Donner l'expression littérale de hh :

En déduire l'expression littérale de f(a+h):

Interprétation graphique:

Dans un repère, C est la courbe représentative de la fonction f et T la tangente à C au point A d'abscisse a.

N est le projeté orthogonal de M sur T.

Le point A a pour coordonnées...

Le point M a pour coordonnées...

Soient A' (a+h, f(a)) et O' (a+h;0)

Quelle est la longueur présente sur le schéma qui matérialise l'écart entre la tangente et le point de contact de la tangente ?

L'objectif de ce qui suit est de déterminer sa valeur:

Géométriquement, que vaut NM ?

Remplacer les distances O'M et O'N par les valeurs de l'énoncé.

On se propose de calculer la distance A'N:

Énoncer la relation entre le coefficient directeur, x et y (en précisant à quoi correspondent ces notations)

En déduire la valeur de y donc AN = ...

Bilan:

NM = ...

Vérifier ensuite que hh=NM .

Propriété:

Soit une fonction f définie sur un intervalle I et a un réel de I.

Si f est dérivable en a, alors il existe une fonction  telle que pour tout réel h, avec a+ h dans I:

f(a + h) = f(a) + hf'(a) + hh

Définition:

On dit que f(a)+hf'(a) est l'approximation affine de f(a + h) pour h proche de 0, associé à la fonction f.

3) La méthode d'Euler:

f est une fonction dérivable sur un intervalle I dont la fonction dérivée f' est connue. Dans un repère, C est la représentative de f.

A partir d'un point M0(x0;y0) connu de C, la méthode d'Euler permet de tracer une ligne polygonale qui représente approximativement la courbe C.

Principe:

1. On place M0(x0;y0). On choisit un pas h non nul, et proche de 0.

2. On pose x1 = x0 + h, alors:

fx₀h≈fx₀hf 'x₀ .

On pose y1 = y0 + hf'(x0) et on place le point M1(x1;y1).

3. On pose x2 = x1 + h, alors:

fx₁h≈fx₁hf 'x₁ .

On pose y2 = y1 + hf'(x1) et on place le point M2(x2;y2).

Ainsi de suite...

4. On tracer les segments [M0M1]; [M1M2]...

Exemple: f est une fonction dérivable sur [0;1] telle que: f(0) = 1 et pour tout réel x de [0;1], f'(x) = x.

Appliquer la méthode d'Euler pour tracer dans un repère une ligne polygonale qui représente approximativement la courbe représentative de f.

...

III- Dérivées et opérations:

Dans tout ce qui suit, I désigne un intervalle ou une réunion d'intervalles.

1) Somme de fonctions:

Propriété 1:

Si f = u + v où u et v sont deux fonctions dérivables sur I:

- la fonction f est dérivable sur I

- f' = u' + v' autrement dit, ∀x , x∈I , f 'x=u 'xv 'x Démonstration:

Pour tout a de I, fah−fa

h =uahvah−ua−va

h =uah−ua

h vah−va

h .

Si h tend vers 0, uah−ua

h tend vers u'(a) et vah−va

h tend vers vers v'(a) puisque u et v sont toutes deux dérivables en a, et donc leur somme tend vers u'(a) + v'(a).

Ainsi f est dérivable en a et f'(a) = u'(a) + v'(a)

...

Exemple: Soit fx=x²



Déterminer u(x) et v(x), puis la fonction dérivée f' de f.

2) Produit de fonctions:

Propriété 2:

Si f=u où  est une constante réelle et u une fonction dérivable sur I:

- la fonction f est dérivable sur I

- f '=u' autrement dit, ∀x , x∈I , f 'x=u'x . Démonstration:

...

Exemple:

Soit fa=2x³−4x²5x−3 . Déterminer u(x), v(x), w(x) et t(x). En déduire f'(x).

Propriété 3:

Toute fonction polynôme est dérivable sur ℝ Propriété 4:

Si f = uv où les fonctions u et v sont dérivables sur I:

- f est dérivable sur I

- f' = u'v + uv', autrement dit ∀x , x∈I , f 'x=u 'xvxuxv 'x . Démonstration:

Ici fah−fa

h =uahvah−uava

h . Transformer en ajoutant et en retranchant au numérateur u(a)v(a+h). D'où:

On en déduit que:...

Soit fah−fa

h =uah−ua

h X ...

Quand h tend vers 0, ... tend vers u'(a) et ... tend vers v'(a) puisque u et v sont dérivables en a.

On admet que vah≈vav 'ah pour h voisin de 0, et on peut déduire que quand h tend vers 0, v(a+h) tend vers...

De ce fait, fah−fa

h tend vers...

...

Exemple:

Soit f(x) = x² cos(x). On est dans le cas de P3 car f = uv. Déterminer u(x) et v(x) ainsi que leurs dérivées respectives.

En déduire l'écriture algébrique de la fonction f', dérivée de f.

3) Inverse d'une fonction:

Propriété 5:

Si f=1

u où u est une fonction dérivable sur I, u ne s'annulant pas sur D:

- f est dérivable sur I - f '=−u'

u²

Démonstration:

Écrire le taux d'accroissement de f entre a et a+h en prenant comme fonction f celle de P5. Transformer pour séparer le taux de variations de u et le « reste ».

Quand h tend vers 0, uah−ua

h tend vers ... puisque ...

On admet que uah≈uau'ah , on peut donc déduire que quand h tend vers 0, u(a+h) tend vers ...

Ainsi u(a+h)u(a) tend vers ...

Comme u ne s'annule pas sur I, ua²≠0 donc fah−fa

h tend vers ...

Donc: ...

...

Exemple:

Soit fx= 1

2x−5 . Donner la forme de f en précisant u(x). En déduire f'(x).

4) Quotient de fonctions:

Propriété 6:

Si f=u

v où u et v sont dérivables sur I, v ne s'annulant pas sur I:

- f est dérivable sur I - f '=u' v−uv '

v² , autrement dit ∀x , x∈I , f 'x=u'xvx−uxv 'x

vx² . Démonstration:

...

...

Exemple:

Soit la fonction rationnelle f définie sur ℝ - {-1;1} par: fx= 4x

x²−1 . Déterminer la fonction f'(x) en appliquant P6.

5) Composée du type f(x) = u(ax+b):

Propriété 7: (admise)

Soit f(x) = u(ax+b) où a et b sont des constantes réelles et u une fonction dérivable sur I:

f est dérivable en tout réel x tel que axb∈I , avec f'(x) = a u'(ax+b)

Exemple:

Soit la fonction f définie sur [2; ∞ [ par fx=



Solution:

La fonction f est la composée de x ... suivie de u(x) = .... (fonction racine carrée où X=... ) On a donc f(x) = u(3x – 6) qui est de la forme u(ax+b) où a = ... et b = ...

Or u est une fonction de référence dont on sait qu'elle est dérivable sur...

Donc (par P7), f est dérivable en tout réel x tel que 3x – 6 ...

Donc x > ...

On en déduit que f est dérivable en tout réel x > 2, donc sur l'intervalle...

De plus, pour tout x > 2, f'(x) = au'(ax+b) c'est-à-dire f'(x) = 3u'(3x – 6).

Déterminer u'(3x – 6) et conclure.

Formulaire:

➢ Équation de la tangente:

f est dérivable en a. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est:

y = f'(a)(x – a) + f(a)

➢ Fonctions usuelles:

f(x) f'(x) F est dérivable sur l'intervalle:

 0 ℝ

x 1 ℝ

xⁿ (n entier naturel et

supérieur à 2) nxⁿ⁻¹ ℝ

1

x −1

x²

ℝ - {0}



2



ℝ *+

Cos(x) - Sin(x) ℝ

Sin(x) Cos (x) ℝ

➢ Opérations sur les fonctions:

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I

● u + v dérivable sur I : (u+v)' = u' + v'

● u∈ℝ '' '' '' : u'=u '

● uv '' '' '' : (uv)' = u'v – uv'

● u² '' '' '' : (u²)' = 2uu'

● Si v(x) est non nul sur I, alors 1

v est dérivable sur I : 1

v'=−v ' v²

● Si '' '' '' '' '' '' '' u

v'=u' v−uv ' v²

➢ Fonctions de type: f(x) = u°v où v(x) = ax + b, a non nul:

f est dérivable sur I, J ensemble des réels x tel que axb⊂I f(x) = u(ax + b) est dérivable sur J : f'(x) = au(ax + b)