A. Étude de la fonction f

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/22

E3A Maths A PC 2007 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Romain Cosset (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

L’épreuve se décompose en deux parties non indépendantes mais qui peuvent être traitées séparément en admettant les résultats des questions précédentes. Le problème contient plusieurs questions de cours, et d’autres qui en sont très proches. Attention aux notations de l’énoncé : la lettretest utilisée pour désigner une variable mais aussi une fonction.

• La première partie étudie la fonctionx7→ f(x) = x/(e^x−1). En particulier, on la regarde autour de 0 et on montre qu’elle est C^∞ sur R. On dessine également son graphe. Les questions A.1 et A.5 sont largement indépendantes du reste du problème ; elles font intervenir la théorie des équations différentielles et les intégrales impropres.

• Le but de la seconde partie est d’étudier le développement en série entière en0 de la fonctionf. Celui-ci permet de définir les nombres de BernoulliBn par

∀x∈]−2π; 2π[ f(x) =

+∞

P

n=0

Bn

xⁿ n!

Les deux premières questions sont indépendantes l’une de l’autre et permettent de prouver des résultats intermédiaires utilisés à la question B.3. La première question repose sur les propriétés des séries de Fourier tandis que par la suite on utilise les propriétés des séries entières. Finalement, on trouve la valeur de la sérieζ(2) =P

1/k².

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Indications

Partie A

A.1.a Se ramener à une équation différentielle linéaire du premier ordre et appliquer la méthode de la variation de la constante.

A.1.b Un développement limité au premier ordre en 0def permet de montrer la dérivabilité en0.

A.2.b Revenir à la définition de continuité et dérivabilité. Exhiber un contre- exemple pourf deux fois dérivable.

A.2.c Il est possible d’utiliser la question A.1.

A.3.b Exprimerf^′ en fonction deget utiliser A.3.a.

A.3.d Utiliser les questions A.3.b et A.3.c pour avoir l’allure de la courbe (C).

La question A.2.d la précise autour de0.

A.4.a Utiliser l’expression deth (u)en fonction dee^u et e⁻^u. Multiplier le numé- rateur et le dénominateur pare^x/2pour simplifier le second membre.

A.5.b Poser u = e⁻^x. Attention au changement de variables dans une intégrale impropre, se ramener à un segment.

A.5.c Pourk6= 0, utiliser une intégration par parties.

Partie B B.1.b Poseru^′(t) = ch (a t)etv(t) = cos(n t).

B.1.c Remarquer que la fonction ga est impaire. Utiliser la question B.1.b pour calculer les coefficientsanen faisant attention au fait quea0n’est pas défini par la même formule.

B.1.e Utiliser la convergence de la série de Fourier dega enπ.

B.2.b Ne pas hésiter à faire un dessin pour le théorème de comparaison série- intégrale. L’inégalité 1 6 ζ(p) ne peut pas se déduire de l’inégalité précé- dente.

B.2.c Utiliser la majoration de ζ(p) obtenue à la question B.2.b. Remarquer que 1 + 1/(p−1)62 pourp>2.

B.2.d Remarquer qu’une des sommes est finie.

B.3.d Utiliser la question B.3.c autour de0. En dehors de0reprendre la définition def.

B.3.e Comparer les valeurs de f^′′(0)trouvées aux questions A.2.a et B.3.d.

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A. Étude de la fonction f

A.1 Solution d’une équation différentielle

A.1.a Soit(E)l’équation différentielle linéaire suivante :

(e^x−1)y^′+ e^xy= 1 (E)

Les intervalles de résolution de cette équation sont ceux pour lesquels le termee^x−1 ne s’annule pas, c’est-à-dire]⁻∞; 0 [et] 0 ;⁺∞[.

Résolvons l’équation sur] 0 ;⁺∞[. Il est possible de diviser par e^x−1 pour obtenir une équation linéaire du premier ordre :

y^′+ e^x

e^x−1y= 1 e^x−1

L’équation homogène associée esty^′+ e^x/(e^x−1)y= 0dont les solutions sont y0(x) = A exp

− Z x

x0

e^t e^t−1 dt

avec A une constante etx0 >0. Calculons l’intégrale grâce au changement de va- riablesu= e^t:

Z x

x0

e^t e^t−1 dt =

Z ^e

x

e^x0

du u−1

= ln(e^x−1)−C^te

Les solutions de l’équation homogène sur] 0 ;⁺∞[sont de la forme y0(x) = A^′ exp −ln(e^x−1)

= A^′ 1 e^x−1

Pour résoudre l’équation non homogène, appliquons la méthode de la variation de la constante. Cherchons une solution de(E)sous la formey(x) = B(x)y0(x)avecB(x) une fonction qui vérifie pour toutxdans] 0 ;⁺∞[

B^′(x)y0(x) = 1 e^x−1 B^′(x) = 1

A^′

Il est possible de redémontrer cette dernière égalité en écrivant que la fonction x7→y(x) = B(x)y0(x)oùy0(x) = B(x)A^′/(e^x−1)est solution de l’équation différentielle(E):

(e^x−1)B^′(x)A^′(e^x−1)−B(x)A^′e^x

(e^x−1)² + e^xB(x)A^′ e^x−1 = 1 B^′(x)A^′−B(x)A^′e^x

e^x−1 + e^xB(x)A^′ e^x−1 = 1 En simplifiant B^′(x)A^′= 1

alors B(x) = x

A^′ + C^te

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En conclusion,

Les solutions de l’équation différentielle (E)sur ] 0 ;⁺∞[sont les fonctions du type

y(x) = (x+a) 1 e^x−1 oùaest une constante réelle.

Par le même type de calculs (x0 étant strictement négatif), on trouve les solutions sur le second intervalle :

Les solutions de l’équation différentielle (E)sur]⁻∞; 0 [ sont les fonctions du type

y(x) = (x+a^′) 1 e^x−1 oùa^′ est une constante réelle.

Une autre méthode pour trouver les solutions de l’équation différentielle(E) est de remarquer que cette dernière s’écrit

(e^x−1)y^′

= 1

On peut alors intégrer cette équation sur les deux intervalles de résolution : (e^x−1)y(x) =x+a

D’où y(x) = x+a

e^x−1

A.1.b Les solutions trouvées à la question précédente sont toutes de classeC¹ sur leur intervalle de définition]⁻∞; 0 [et ] 0 ;⁺∞[ respectivement. Soitya (respective- mentya^′) une solution de(E)sur l’intervalle]⁻∞; 0 [(resp.] 0 ;⁺∞[) et donnée par l’équation ya(x) = (x+a)/(e^x−1) pour x < 0 (resp. ya(x) = (x+a^′)/(e^x−1) pourx >0). D’après les propriétés de l’exponentielle, on a les équivalents suivants :

e^x−1 ∼

x→0x

d’où 1

e^x−1 ∼

x→0

1 x

Soitaun réel non nul, une fonction du typex7→(x+a)/(e^x−1)définie sur]⁻∞; 0 [ ou sur] 0 ;⁺∞[tend vers+∞ou−∞quandxtend vers0. Pour que deux solutions ya^′(x)etya(x)définies respectivement sur]⁻∞; 0 [et] 0 ;⁺∞[se « recollent » il faut quea=a^′= 0.

Soitgla fonctionx7→x/(e^x−1)définie surR^∗. Elle est de classeC¹ et solution de l’équation(E)surR^∗+ etR^∗−. Étudions son comportement en zéro :

g(x) = x e^x−1 ∼

x→0

x x ∼

x→01

Doncgest prolongeable par continuité en zéro en posantg(0) = 0. On reconnaît que gest la fonctionf définie dans l’énoncé.