chap dérivation
I Dérivée en un point
1) Définition-taux de variation
Soit f une fonction définie sur [a , a+h] ou [a + h ; a]
Le taux de variation de f en a est , s’il tend vers L lorsque h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a et que le nombre dérivé de f en a est L ,noté f ’(a).
Propriété :
Dans les mêmes conditions, f est dérivable en a si et seulement si il existe un nombre L et une fonction tels que f( a+h ) = f(a) + h L + h (h) avec lim;\s\do8(h ( 0 ( h) = 0
2) Tangente en un point
Dans les mêmes condition, si f est dérivable en a, la courbe Cf admet au point A (a ; f(a)) une tangente de coefficient directeur f ’(a)
Application à la construction d’une courbe Cf : f(x) = x² Calculer f ‘ (0) , f ‘ (1) et f ‘ (2)
Placer les trois points de Cf d’abscisse respectif 0 ; 1 et 2 puis les tangentes à la courbe en ces points.
Compléter la courbe par symétrie
Une équation de la tangente est y = f ‘ (a) ( x – a ) + f(a) dem : y = f ‘(a) x + p , A(a ; f(a) ) appartient à la tangente.
exemple : avec l’exemple ci-dessus, en 1 , y = 2 (x-1)+1 soit y = 2x-1
cas particulier : si f ‘ ( a ) = 0 , Cf admet au point d’abscisse a est tangente parallèle à l’axe des ordonnées.
3) Approximation affine
f(a)
h (h)
h L
a a + h
f(a + h)
f(a) + h L
On dit que f( a) + h f ‘ (a) est la meilleure approximation affine f(a+h) pour h proche de 0.
remarque : c’est la meilleur Exemple : f(x) = ( x 0) f ’ ( 1 ) = car x = Donc f( 1 + h ) 1 +h soit 1 +h
exemples : 1 + 0.1 * 1,05 Calculer une valeur approchée de , Cas les plus utilisé :
(1+h)² 1 + 2h 1 – h 1 + h
II Fonction dérivée 1) Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I, si f est dérivable en tout point de I.
La fonction dérivée de f sur I est la fonction, notée f ‘, qui à tout x de I, associe le réel f ’(x) rem : par abus de langage, on dit que f ‘ est la dérivée de f.
2) Quelques fonctions de références
fonction f fonction dérivée f ‘ ensemble de définition de f’
f : x k 0
f : x x 1
f : x *
f : x ]0 ; + [ !
3) Opérations sur les fonctions dérivables
propriété1 : Soient u ,v deux fonction dérivables sur I, et k un nombre réel.
alors la fonction u + v est dérivable, de dérivée ( u +v )’ = u ‘ + v’
alors la fonction u v est dérivable, de dérivée ( u v)’ = u ‘ v + u v’
alors la fonction k u est dérivable, de dérivée (k u )’ = k u ‘ dém : k u = u v donc k’ =0
Exemples:a) f(x) = x – 5 f est la somme de deux fonctions dérivables sur , elle est donc dérivable sur et f ’ (x) = 1 – 0 = 1
b) Soit f définie par f(x) = x f est le produit de deux fonctions dérivables sur elle est donc dérivable sur
f = u v avec u(x) = x et v( x)= u’(x) = 1 et v’ (x )=
donc f ’(x) = u’(x) v(x) +u(x) v’(x) = 1 + x =
c) f(x) = 3 f = k , comme la fonction x est dérivable sur +* , f aussi et f ‘ (x) = 3x
Conséquences :
fonction f fonction dérivée f ‘ ensemble de
définition de f’
f : x a x + b a
f : x x² 2 x
f : x x3 3 x3
f : x xn avec n * n xn-1
Propriété 2 : (inverse d’une fonction) Soit v une fonction dérivable sur I, telle que v ne s’annule pas sur I
alors la fonction est dérivable sur I, de dérivée ( )’ = - Exemple : Soit la fonction f définie par f(x) = , Df = -{}
On peut écrire f = avec v(x) = -3x+5,
la fonction v est dérivable et ne s’annule pas sur Df et v’(x) = -3.
donc la fonction est dérivable et pour tout x de Df, f ‘ ( x ) = - = - =
Propriété 3 : (quotient de deux fonctions) Soit u et v deux fonction dérivable sur I, telle que v ne s’annule pas sur I
alors la fonction est dérivable sur I, de dérivée ( )’ = dem : idée : = u ,… donc ()’ = u’ () + u ()’
Exemple: Soit la fonction définie sur I = -{ -1} par f(x) =
On peut écrire f = avec u(x) = 4x-6 et v (x) =x+1
u et v sont dérivables sur I et v ne s’annule pas sur I, donc f est dérivable sur I, u’(x) =4 et v’ (x) = 1 f ’(x)= = =
4) Cas des polynômes
propriété : tout polynôme est dérivable sur , sa dérivée est un polynôme.
Exemple : f :x 5x5 –3 x 2 +1. f est fonction polynôme, elle est donc dérivable sur et f ’(x) = 5 ( 5x4) –3 ( 2x) +0 = 25 x4 – 6x
Propriété: toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.
Exemple : Soit la fonction définie sur I = -{ 1} par f(x) =
f est une fonction rationnelle définie sur I, elle est donc dérivable sur I On peut écrire f = avec u(x) = 2x2 + 1 et v (x) =x+1
u’(x) =4x et v’ (x) = 1 f ’(x)= = =
5) Récapitulatif et complément
fonction fonction dérivée ensemble de définition
x a x + b x a
x x n avec n * x n x n-1 si n > 0 ,
* si n <0
x x - *
x x +*
x sin x x cos x
x cos x x - sin x
u + v u’ + v’
k u k u’
u v u’ v + u v’
-
g(ax+b) a g’ ( a x+ b)
6) Dérivée de f : x g(ax+b)
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J , telle que pour tout x de I, a x + b appartienne à I alors pour tout x de I, f’(x) = a g’ ( a x+ b)
Exemples : a ) Soit f : x (-5 x + 6 ) 4 , définie sur , f(x) = g ( -5x+6)avec g(x) =x4
" x , -5x +6 ; g est un polynôme, dérivable sur ,donc f aussi . g’(x)= 4 x3 Donc f ’(x) = -5 g’(x) = -5 [4 ( -5 x + 6)3] = -20 ( -5 x + 6)3
b) Soit f la fonction définie sur par f(x) = sin( 2 x + 3)
" x , 2x +3 ; sin est dérivable sur , donc f aussi . sin’ (x ) = cos(x) donc f ‘ (x ) = 2 cos( 2x+3)
c) Soit f : x , définie sur [ - 2 ; + [ . f (x) = g(x+1) avec g : x 2x+ 4 > 0 Û x > - 2 donc,
" x ] - 2 ; + [ , x + 2 ] 0 ; + [ , g est dérivable sur ] 0 ; + [ , g’(x) = donc f est dérivable sur ] - 2 ; + [, et " x , f ‘ (x ) = 2 g’ ( 2x+4) = 2 III Application