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1.5.4 Preuve par récurrence.
Soit k un entier (en général positif) etP une proposition, faire une démonstration par récur- rencede la proposition
∀n≥k, P(n) consiste à procéder en deux étapes :
— initialisation : on vérifieP(k) (on démontre queP(k) est vraie),
— hérédité : onfixe n≥k et on suppose queP(n) est vraie, on démontre alors que P(n+ 1) est aussi vraie.
Ces deux étapes suffisent à démontrer∀n≥k, P(n).
Exemple 17. Soit a un nombre réel différent de 0 et 1, on considère la suite géométrique (xn) de
raisona : �
x0 fixé
∀n≥0, xn+1=axn alorsxn=anx0 pour toutn≥0.
1.6 Lien avec la théorie des ensembles
On rappelle d’abord quelques définitions classiques.Notation 6. La proposition “x∈X” se lit “x est un élément de X”, “x appartient à X” ou “x est dans X”. L’ensemble vide ∅ est l’ensemble n’ayant aucun élément.
Définition 11. Soit A etB deux ensembles.
— Inclusion : Aest inclus dans B, noté A⊂B, si tout élément de Aest aussi un élément de B.
— Egalité: A etB sont égaux, noté A=B, s’ils ont les mêmes éléments.
— Complémentaire : le complémentaire de A dans B est l’ensemble noté B \A composé des éléments de B qui ne sont pas dans A.
— Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A∩B composé des éléments qui appartiennent à la fois à AetB.
— Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A∪B composé des éléments qui appar- tiennent soit à A, soit à B, soit aux deux simultanément.
Notation 7. La notation “A⊂ B” se lit aussi “A est une partie de B”. La notation “A∩B” se lit “A interB”, et la notation “A∪B” se lit “A union B”.
Notation 8. La notation “B\A” se lit aussi “B moins A”, et est parfois notée�B(A), voireAsi A⊂B et qu’on n’éprouve pas la nécéssité de préciserB.
Exemple 18. On considère les ensembles A = [−1,2[ et B = [0,3]. A-t-on A ⊂ B ou B ⊂ A? ExpliciterA∩B et A∪B, A\B et B\A.
On peut réécrire ces relations et opérations sur les ensembles de la manière suivante :
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1.5. Propriété– Ensembles et quantificateurs.
SoitA etB deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
A⊂B ≡ ∀a∈A, a∈B, A=B ≡ (A⊂B)et(B⊂A), A⊂B ≡ (x∈A) ⇒ (x∈B), A=B ≡ (x∈A) ⇔ (x∈B), x ∈ A\B ≡ (x∈A)et(x /∈B) x ∈ A∩B ≡ (x∈A)et(x∈B) x ∈ A∪B ≡ (x∈A)ou(x∈B)
Remarque 14. L’interprétation en termes de quantificateurs des propositions “A∩B” et “A∪B”
est à rapprocher de leur lecture en termes d’événements dans le domaine des probabilités, où “A∩B”
se lit “Aet B” et “A∪B” se lit “AouB”
Exemple 19. Un exemple classique d’utilisation des équivalences logiques précédentes est la démons- tration des identités suivantes :
�E(A∪B) =��EA�∩��EB�; �E(A∩B) =��EA�∪��EB�. On peut l’appliquer par exemple pour A= [−1,2[ ,B= [0,3] etE =R.
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2 Fonctions numériques usuelles
2.1 Fonctions numériques
Définition 12 (Fonction numérique). Une fonction numérique f est un procédé qui à tout nombre réel x d’un sous-ensemble Df de R associe un unique nombre réel noté f(x). En général, ce procédé est donné sous la forme suivante :
f: Df →R x�→f(x) L’ensemble Df est appeléensemble de définition de f.
Remarque 15. — Une fonctionf est donc la donnée à la fois du procédé qui permet de calculer sa valeur en un point donné mais aussi de l’ensemble de définitionDf sur lequel ce procédé est défini.
— Ne pas confondre la fonction f et le nombre réel f(x).
Exemple 20. — Pour deux nombres réelsa et b fixés, on peut définir la fonction affinef :x�→
a x+b surDf =R.
— La fonction valeur absolue| · |:x�→|x| est définie surD|·| =R.
— La fonction partie entièreE:x�→E(x) est définie surDE =R.
— La fonction inversef :x�→ 1x est définie surDf =R∗=R\ {0}.
Définition 13 (Image et antécédent). Soit f une fonction numérique définie sur l’ensemble Df. Si x est un élément de Df alors le nombre réel f(x) est appelé image de x par f. L’ensemble
f(Df) ={f(x) : x∈Df}
qui regroupe toutes les images par f des éléments xde Df est appeléensemble image de f.
Soit y un nombre réel, on appelle antécédent de y par f tout réelx de Df tel que f(x) =y.
Exercice 2. Donner les enseumbles image des fonctions suivantes :
— La fonction valeur absolue| · |:x�→|x| définie surD|·|=R.
— La fonction partie entièreE:x�→E(x) définie surDE =R.
— La fonction inversef :x�→ 1x définie sur Df =R∗.
Remarque 16. Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs.. voire une infinité.
Exercice 3. Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque précédente.
