• l’ensemble des entiers relatifs : Z

Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/2020 9

1.6 Lien avec la théorie des ensembles

On rappelle d’abord quelques ensembles classiques :

• l’ensemble des entiers naturels est noté : N

• l’ensemble des entiers relatifs : Z

• l’ensemble des nombres rationnels : Q

• l’ensemble des nombres réels : R = −]∞, +∞[

• l’ensemble des nombres réels positifs : R

= [0, +∞[

• l’ensemble des nombres réels strictement positifs : R

= ]0, +∞[

Le vocadulaire de base de la théorie des ensembles est le suivant :

Notation 6. La proposition “x ∈ X” se lit “x est un élément de X”, “x appartient à X”

ou “x est dans X”. L’ensemble vide ∅ est l’ensemble n’ayant aucun élément.

Définition 11. Soit A et B deux ensembles.

• Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément de B.

• Egalité : A et B sont égaux, noté A = B, s’ils ont les mêmes éléments.

• Complémentaire : le complémentaire de A dans B est l’ensemble noté B \ A composé des éléments de B qui ne sont pas dans A.

• Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A ∩ B composé des éléments qui appartiennent à la fois à A et B.

• Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A ∪ B composé des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux simultanément.

Notation 7. La notation “A ⊂ B” se lit aussi “A est une partie de B”. La notation “A ∩ B”

se lit “A inter B”, et la notation “A ∪ B” se lit “A union B”.

Notation 8. La notation “B \ A” se lit aussi “B moins A”, et est parfois notée {

(A), voire A si A ⊂ B et qu’on n’éprouve pas la nécéssité de préciser B .

Exemple 20. On considère les ensembles A = [−1, 2[ et B = [0, 3]. A-t-on A ⊂ B ou B ⊂ A ? Expliciter A ∩ B et A ∪ B, A \ B et B \ A.

On peut réécrire ces relations et opérations sur les ensembles de la manière suivante :

Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/2020 10

1.5. Propriété– Ensembles et quantificateurs.

Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques : A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,

A = B ≡ (A ⊂ B) et (B ⊂ A), A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B ), A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B), x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x / ∈ B) x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B) x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B)

Remarque 15. L’interprétation en termes de quantificateurs des propositions “ A ∩B” et “ A∪

B” est à rapprocher de leur lecture en termes d’événements dans le domaine des probabilités, où “ A ∩ B” se lit “A et B ” et “ A ∪ B” se lit “A ou B”

Exemple 21. Un exemple classique d’utilisation des équivalences logiques précédentes est la démonstration des identités suivantes :

{

( A ∪ B) =

{

A

∩

{

B

; {

( A ∩ B) =

{

A

∪

{

B

.

On peut l’appliquer par exemple pour A = [−1, 2[ , B = [0, 3] et E = R .

Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/2020 11

2 Fonctions numériques usuelles

2.1 Fonctions numériques

Définition 12 (Fonction numérique). Une fonction numérique f est un procédé qui à tout nombre réel x d’un sous-ensemble D

de R associe un unique nombre réel noté f (x). En général, ce procédé est donné sous la forme suivante :

f : D

→ R x 7→ f (x) L’ensemble D

est appelé ensemble de définition de f .

Remarque 16. • Une fonction f est donc la donnée à la fois du procédé qui permet de calculer sa valeur en un point donné mais aussi de l’ensemble de définition D

sur lequel ce procédé est défini.

• Ne pas confondre la fonction f et le nombre réel f (x).

Exemple 22. • Pour deux nombres réels a et b fixés, on peut définir la fonction affine f : x 7→ a x + b sur D

= R .

• La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x| est définie sur D

= R .

• La fonction partie entière E : x 7→ E(x) est définie sur D

= R .

• La fonction inverse f : x 7→

est définie sur D

= R

= R \ {0}.

Définition 13 (Image et antécédent). Soit f une fonction numérique définie sur l’ensemble D

. Si x est un élément de D

alors le nombre réel f (x) est appelé image de x par f . L’ensemble

f(D

) = {f (x) : x ∈ D

}

qui regroupe toutes les images par f des éléments x de D

est appelé ensemble image de f.

Soit y un nombre réel, on appelle antécédent de y par f tout réel x de D

tel que f (x) = y.

Exercice 2. Donner les ensembles image des fonctions suivantes :

• La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x| définie sur D

= R .

• La fonction partie entière E : x 7→ E(x) définie sur D

= R .

• La fonction inverse f : x 7→

définie sur D

= R

.

Remarque 17. Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs..

voire une infinité.

Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/2020 12

Exercice 3. Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque précédente.

Définition 14 (Restriction d’une fonction). Soient f une fonction numérique définie sur D

. Soit A un sous-ensemble de D

, on appelle restriction de f à A la fonction notée f

définie sur D

= A par f

(x) = f(x) pour tout x ∈ A.

Exemple 23. Expression de la restriction de la fonction valeur absolue |·| : x 7→ |x| à l’ensemble

des nombres réels négatifs R

= ] − ∞, 0].