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ConcoursCentrale- Supélec2009

Épreuve :

MATHÉMATIQUES II

PC

Les calculatrices sont autorisées Notations et objet du problème

• La notationKdésigne indifféremment l’ensembleRdes nombres réels ou l’en- sembleCdes nombres complexes.

• ndésigne un entier supérieur ou égal à 1.

• On note Mn(K)l’ensemble des matrices carrées d’ordren > 1 à coefficients dansK. La matrice identité deMn(K)est notéeI.

• Dans tout le problème, on identifie les deux espaces vectorielsM_n,1(K)etKⁿ, c’est-à-dire qu’on identifie un vecteur de Kⁿ avec le vecteur colonne de ses composantes dans la base canonique de Kⁿ. De la sorte, si M ∈ Mn(K) et x ∈Kⁿ, on peut former le produitMx ∈Kⁿ, ce qui permet de définir l’endo- morphismefMcanoniquement associé àMpar :

∀x ∈Kⁿ, f_M(x) =Mx.

L’image de fM,(ImfM)sera notée Im(M)et le noyau de fM,(KerfM)sera noté Ker(M).

Pour toute matrice Mde Mn(K), on note σ(M)le spectre de M, c’est-à-dire l’ensemble de ses valeurs propres complexes. On noteρ(M)le rayon spectral deM, c’est-à-dire le plus grand module des valeurs propres deM.

• On dira qu’une suite deKⁿ(respectivement deMn(K)) converge, ou est conver- gente, si elle converge pour une norme particulière deKⁿ (respectivement de Mn(K)). On sait qu’elle converge alors pour toute norme de Kⁿ (respective- ment deMn(K)) puisque ces espaces sont de dimension finie.

• L’espace vectorielRⁿest muni de son produit scalaire canonique, notéh , i. La norme euclidienne associée est notée|| ||.

Un endomorphisme symétrique f deRⁿ est dit positif si, pour toutxde Rⁿ, hf(x),xi>_0.

Un endomorphisme symétrique est dit défini positif si, pour toutx deRⁿ,x non nul,hf(x),xi>0.

On dit de même qu’une matrice symétriqueM∈ Mn(R)est positive si l’endo- morphisme deRⁿcanoniquement associé àMest positif, et qu’elle est définie positive si ce même endomorphisme est défini positif.

Dans tout le problème,A∈Mn(R)est une matrice symétrique,b∈Rⁿest un vec- teur fixé, et l’on étudie des méthodes itératives pour approcher la ou les solutions

Partie I - La fonctionnelle J

I.A - Question préliminaire

I.A.1) Montrer qu’une matrice symétrique Mde Mn(R)est positive si et seule- ment si son spectre σ(M)est inclus dans R⁺, et qu’elle est définie positive si et seulement si son spectreσ(M)est inclus dansR⁺\ {0}.

I.B - Cas particulier :n=2

Dans cette question, on pose A =

13 −4

−4 7

et b =

75

−75

. On définit la fonctionFsurR²à valeurs dansRde la façon suivante :

pour toutv= x₁

x₂

deR², F(v) =1

2hAv,vi − hb,vi.

a) Justifier que la fonctionFest de classeC¹surR². La fonction gradient deF(gradF) est notée∇F.

b) Prouver que :

∀v∈R², ∇F(v) =Av−b.

c) En déduire que la fonctionFadmet un unique point critique surR².

d) Déterminer la nature géométrique de la surfaceΣdeR³d’équationx₃=F(x₁,x₂).

e) Déduire de la question précédente que la fonctionFadmet un minimum global surR², que l’on précisera.

I.C -On suppose dans cette question que la matrice Ade Mn(R)est symétrique positive et on définit l’applicationJdeRⁿdansR:

∀v∈Rⁿ,J(v) =1

2hAv,vi − hb,vi.

appelée lafonctionnelle associée à A.

I.C.1) Prouver que, pour tout couple(v,h)de vecteurs deRⁿ, on a : hAv,hi=hAh,vi.

On pose∇J(v) =Av−bpour toutv∈Rⁿ. I.C.2)

a) Expliciter la fonctionR:Rⁿ →Rtelle que

∀v,h∈Rⁿ,J(v+h) =J(v) +h∇J(v),hi+R(h).

Quel est le signe deR(h)?

b) On suppose qu’un vecteurv₀∈Rⁿest tel queJ(v)>J(v₀)pour toutv∈Rⁿ. En observant queJ(v₀+th)> J(v₀)pour touth∈Rⁿet toutt∈R, montrer que :

∇J(v₀) =0.

I.C.3) On suppose que la matriceAest symétrique définie positive.

a) Montrer qu’il existe un uniquev₀∈Rⁿtel que J(v₀) = inf

v∈RⁿJ(v), et le détermi- ner en fonction deAetb.

b) Soitv∈Rⁿetd∈Rⁿ,dnon nul.

Montrer qu’il existe un uniquer∈Rtel queJ(v−rd) = inf

ρ∈RJ(v−ρd).

Exprimerren fonction dev,detA.

I.C.4) On suppose encore que la matriceAest définie positive. Déterminer deux constantesα>0 etm>0 en fonction du spectre deAtelles que :

h∇J(v)− ∇J(u),v−ui>α||v−u||²

||∇J(v)− ∇J(u)||6m||v−u||

pour tout couple(u,v)de vecteurs deRⁿ.

I.C.5) On suppose que la matriceAest symétrique positive, mais non inversible, et quebappartient à Im(A). On noteu₀un élément deRⁿtel queAu₀=b.

Déterminer l’ensemble des vecteursv₀tels queJ(v₀) = inf

v∈RⁿJ(v)et préciser sa na- ture géométrique.

Partie II - Méthode du gradient à pas constant

II.A - Normes matricielles et rayon spectral

Une normeN sur Mn(C)est ditesubordonnées’il existe une norme νsurCⁿtelle que, pour toutM∈Mn(C),

N(M) = max

x∈Cⁿ_,x6=0 ν(Mx)

ν(x) · On dit queNest subordonnée àν.

II.A.1) On définit surCⁿla norme|| ||∞par :

∀x∈Rⁿ, x= (x₁, . . . ,xn), ||x||∞ = max

16i6n|x_i|.

On noteN∞la norme surMn(C)subordonnée à||.||∞.

Montrer que, pour toute matriceM= (m_ij)∈Mn(C),N∞(M) = max

16i6n n

∑

j=1

|m_ij|.

II.A.2) SoitNune norme subordonnée surMn(C).

a) Montrer que :∀A,B∈Mn(C),N(AB)6N(A).N(B).

En déduire que :∀n∈N,N(Aⁿ)6_(N(A))ⁿ.

b) Montrer que, pour toutM∈Mn(C),ρ(M)6N(M).

II.A.3) SoitM= (mij)16i,j6nune matrice triangulaire supérieure deMn(C) ( c’est-à-direm_ij=0 sii>j).

Soitαun nombre réel strictement positif, etPαla matrice diagonale diag(1,α,· · ·,αⁿ⁻¹), c’est-à-dire dont lei-ème coefficient diagonal estαⁱ⁻¹.

a) CalculerP_α⁻¹MPα.

b) En déduire que, pour toutε>0, il existeα>0 tel queN∞(P_α⁻¹MPα)6_{ρ(M) +}ε.

II.A.4) SoitMune matrice deMn(C)etǫ>0 fixé.

a) Prouver l’existence d’une matricePinversible et d’un réelα>0 tel que : N∞(P_α⁻¹P⁻¹MPPα)6ρ(M) +ǫ.

b) En déduire qu’il existe une norme subordonnéeNsurMn(C)telle que : N(M)6_{ρ(M) +}ε.

II.A.5) SoitM∈Mn(C)etc∈Cⁿ. On définit l’application fdeCⁿdansCⁿpar : x7→Mx+c.

Montrer l’équivalence des assertions(i)et(ii)ci-dessous :

(i)Pour toutx₀ ∈Cⁿ, la suite(x_k)_k∈N, définie parx_k+1 = f(x_k), est convergente, et sa limite est indépendante dex₀.

(ii)I−Mest inversible etρ(M)<1.

Il pourra être utile d’introduire un réelǫ >0et de choisir une norme subordonnée N sur M_n(C)telle qu’on ait l’inégalité N(M)6ρ(M) +ǫpour la matrice M considérée.

II.B - Méthode du gradient à pas constant

Soit Aune matrice symétrique positive, mais pas nécessairement inversible,bun vecteur appartenant à l’espace Im(A), etJla fonctionnelle associée àA.

On notex₀un élément deRⁿtel queb=Ax₀

On désigne parSune matrice symétrique définie positive donnée.

II.B.1) Montrer que l’application définie par φ(u,v) = hSu,vi, pour tout couple (u,v)de vecteurs deRⁿ, fournit un produit scalaire sur l’espaceRⁿ.

II.B.2) Montrer que les sous-espaces Im(S⁻¹A)et Ker(A)sont orthogonaux pour le produit scalaireφdéfini à la question précédente.

En déduire qu’ils sont supplémentaires.

II.B.3) Montrer que, dans Im(S⁻¹A), le système linéaire Au = b possède une unique solution notéeu^′. Décrire l’ensemble des solutions dansRⁿ.

II.B.4) Étant donné un nombre réelγ, on définit la suite récurrente u_k+1=u_k−γS⁻¹∇J(u_k)

pour toutk∈N,u₀∈Rⁿétant arbitrairement choisi.

a) Montrer que la composante du vecteuru_ksur le sous-espace Ker(A), dans la dé- compositionRⁿ =Im(S⁻¹A)⊕Ker(A), est indépendante dek; on la notew.

b) Pour toutk,u_ks’écrit doncu_k=w+u^′_kavecu^′_k ∈Im(S⁻¹A). Préciser l’applica- tion f : Im(S⁻¹A)→Im(S⁻¹A)telle queu^′_k+1= f(u^′_k)pour toutk.

c) Montrer que les valeurs propres complexes de la matriceS⁻¹Asont toutes réelles positives ou nulles.

Il pourra être utile de montrer que pour toute matrice X de M_n,1(C),X6=0, ^tXSX>0. d) Montrer qu’on définit un automorphisme linéaire g de Im(S⁻¹A) en posant g(x) =S⁻¹Axpour toutx∈Im(S⁻¹A).

On noteΛ_nla plus grande valeur propre deS⁻¹A, et l’on suppose, jusqu’à la fin de cette partie, que 0<γ< 2

Λ_n·.

e) Dans cette question, on noteidl’endomorphisme identité de l’espace Im(S⁻¹A).

Montrer que le polynôme caractéristique de id−γg est scindé sur R , et que le rayon spectral deid−γgest strictement inférieur à 1.

f) En déduire que la suite(u^′_k)k∈Nest convergente dans le sous-espace Im(S⁻¹A).

On noteu^′sa limite. On peut donc écrire :

k→+∞lim u_k=u^′+w.

g) Quelle relation le vecteuru^′vérifie -t-il ?

Partie III - Méthode du gradient à pas optimal

Dans cette partie,A∈ Mn(R)est symétrique définie positive. On notev₀ ∈Rⁿle vecteur tel queAv0=b.

On construit une suite(u_k)_k∈Npar récurrence :

• on choisitu0∈Rⁿet l’on posed0=∇J(u0);

• en supposantu_kdéjà construit, on définit u_k+1 en fonction deu_k de la façon suivante :

on posed_k=∇J(u_k)et on déterminer_k∈Rtel queJ(u_k−r_kd_k) = inf

ρ∈RJ(u_k−ρd_k) (cf. I.C.3.b).

On pose alorsu_k+1 = u_k−r_kd_k. La suite(u_k)_k∈N est donc bien définie, ainsi que la suite(d_k)_k∈N.

III.A -

III.A.1) Montrer que, pour tout entierk,hd_k+1,d_ki=0.

III.A.2) Montrer qu’il existeα>0 dépendant du spectre deAtel que : J(u_k)−J(u_k+1)> ^α

2||u_k+1−u_k||². III.A.3) Prouver que la suite(J(u_k))_k∈Nest convergente.

Montrer alors que lim

k→∞||u_k+1−u_k||=0.

III.A.4) Montrer que||d_k||6||d_k−d_k+1||, puis que lim

k→+∞d_k =0.

III.A.5) Montrer queh∇J(u_k),u_k−v0i > _{α||uk−v0||}². Prouver finalement que

k→∞lim ||u_k−v0||=0.

3/4

III.B -Un exemple : n = 2, c > 0 est différent de 1,A est la matrice

1 0

0 c

, et b =0. On suppose que u₀ =

x₀ y₀

n’a aucune composante nulle. On construit la suite(u_k)par la méthode décrite dans cette partie. On noteu_k=

x_k y_k

III.B.1) Expliciter les composantes deu_k+1en fonction de celles deu_ket dec. En déduire que pour toutk∈N, les deux composantes deu_ksont différentes de 0.

III.B.2) Montrer que le produit des coefficients directeurs deu_k+1et u_k est une constante indépendante dek, que l’on déterminera. On rappelle que le coefficient directeur deu_k =

x_k y_k

estt_k = y_k x_k·

III.B.3) Montrer queu_k+2 etu_k sont colinéaires, et calculer le coefficient de coli- néarité. Illustrer géométriquement le comportement de la suite(u_k)pourc>1.

• • •FIN• • •