Applications linéaires

(1)

Applications linéaires

TD6

Applications linéaires

Exercice 6.1 (F)

Montrer que les applications suivantes sont linéaires, déterminer une base du noyau et de l’image de chacune d’elles ainsi que leur rang et leur matrice dans les bases canoniques :

f: R³ → R²

(x, y, z) 7→ (2x−y−z,−x+ 2y+z)

g: R³ → R³

(x, y, z) 7→ (x+ 2y,4x−y,−2x+ 2y+ 3z)

h: R3[X] → R3[X] P 7→ P−(X+ 1)P⁰

i: Rn[X] → R P 7→ P(1) j: R2[X] → R2[X]

P 7→ P(X+ 1)−P(X)

k: M2(R) → M2(R)

M 7→ AM avecA= 1 1

0 1

Exercice 6.2 (FF - )

SoientE, F, GdesK-espaces vectoriels etf ∈L(E, F),g∈L(F, G).

Montrer queg◦f = 0_L_(E,G)⇔Im(f)⊂Ker(g).

Exercice 6.3 (FF - Interpolation de Lagrange - )

Soitn∈N^∗, eta0, a1, a2, . . . , an des réels deux à deux distincts. On définit l’application : ϕ:Rn[X]→Rⁿ⁺¹, P 7→ϕ(P) = (P(a₀), P(a₁), . . . , P(a_n)).

1. Montrer queϕest linéaire.

2. Montrer queϕest un isomorphisme.

3. En déduire que pour tout (b₀, . . . , b_n) ∈ Rⁿ⁺¹, il existe un unique polynôme Q ∈ Rn[X] tel que

∀i∈ {0, . . . , n}, Q(ai) =b_i.

4. (a) Écrire la matrice deϕdans les bases canoniques deRn[X] etRⁿ⁺¹.

(b) En déduire que lamatrice de Vandermonde







1 a₀ . . . aⁿ₀ 1 a₁ . . . aⁿ₁ ... ... ... 1 an . . . aⁿ_n







est inversible si et seulement si les

a_i sont deux à deux distincts.

5. Notons (Li)_i∈

J0,nK la famille des polynômes de Lagrange associés aux réels (a0, . . . , an).

(a) Calculerϕ(Li).

(b) Retrouver alors queϕest un isomorphisme, et que (Li)_i∈

J0,nK est une base deRn[X].

Exercice 6.4 (FF - Formes linéaires et hyperplans - ) SoitE un espace vectoriel de dimension finien≥1.

1. Montrer que siϕest une forme linéaire non nulle deE, alorsH = Ker(ϕ) est un hyperplan.

2. Réciproquement, soitH un hyperplan deE.

(a) Soita /∈H. Montrer que :

E=H⊕Vect(a).

Pour toutx∈E, il existe donc un unique couple (y, λx)∈H×Ktel que : x=y+λ_xa.

(2)

(b) On définit l’applicationϕ:E →K parϕ(x) =λx pour tout x∈E. Montrer que ϕest une forme linéaire de E.

(c) Montrer queH = Ker(ϕ). Conclure.

3. Application. Montrer que Ker(Tr) est un hyperplan deMn(K) et que : Mn(R) = Ker(Tr)⊕Vect(In).

Exercice 6.5 (FFF)

Considérons la matrice suivante :

M =







0 0

1 0

. . . ⁿ₀ 0 ¹₁

. . . ⁿ₁ ... . .. . .. ... 0 . . . 0 ⁿ_n





 .

1. Déterminer l’endomorphisme ϕdeKn[X] dont la matrice dans la base canonique (1, X, X², . . . , Xⁿ) est M.

2. En déduire queM est inversible et déterminerM⁻¹.

Exercice 6.6 (FFF - Noyaux et images itérés - )

SoitE un espace vectoriel de dimensionn etu∈L(E) un endomorphisme non nul. Notons pour tout k∈N, N_k = Ker(u^k) etI_k= Im(u^k).

1. Montrer que pour tout k∈ N, Nk et Ik sont des sous-espaces vectoriels de E stables parusatisfaisant Nk ⊂Nk+1 et Ik+1⊂Ik.

2. (a) On suppose qu’il exister∈Ntel que N_r=N_r+1. Montrer que pour toutk≥r,N_r=N_k. (b) En déduire qu’il existe un entierp≤ntel que

(∀k∈J0, p−1K, N_k6=N_k+1

∀k≥p, Nk=Nk+1

.

(c) Montrer qu’on a aussi

(∀k∈J0, p−1K, I_k 6=I_k+1

∀k≥p, Ik=Ik+1

.

3. Montrer que E =Np⊕Ip, puis que l’endomorphisme induit par usur Np est nilpotent et préciser son ordre de nilpotence, et l’endomorphisme induit parusur Ip est un automorphisme deIp.

Rang

Exercice 6.7 (FF)

SoitE, F, Gtrois espaces vectoriels de dimension finie, et soientf ∈L(E, F) etg∈L(F, G).

1. Montrer que rg(g◦f)≤rg(g).

2. Soit (e1, . . . , ep) une base de Im(f). Montrer que (g(e1), . . . , g(ep)) est une famille génératrice de Im(g◦f).

En déduire que rg(g◦f)≤rg(f).

3. Montrer que rg(g◦f)≤min(rg(g),rg(f)).

Exercice 6.8 (FF - )

SoitE de dimension finien. On dit qu’un endomorphismef ∈L(E) est nilpotents’il existep≥1 tel que : f^p= 0_L_(E) et f^p−16= 0_L_(E).

L’entierps’appelle alorsl’indice de nilpotence def.

On suppose dans la suite quef est un endomorphisme nilpotent d’indicep.

(3)

(b) Justifier qu’il existex0∈E tel quef^p−1(x0)6= 0E. Montrer que la famille (x0, f(x0), . . . , f^p−1(x0)) est libre.

(c) En déduire quefⁿ= 0.

2. On suppose dans cette question quep=n. Déterminer le rang def. 3. Montrer queId_E−f est inversible, et déterminer son inverse.

Projecteurs

Soitpl’application de R² dansR² définie parp((x, y)) = (9x−12y,6x−8y).

1. Montrer quepest un endomorphisme deR².

2. Déterminer une base de Ker(p) et de Im(p). pest-elle injective ? bijective ? 3. Montrer quepest un projecteur.

4. Les sous-espaces Ker(p) et Im(p) sont-ils supplémentaires dansR² ?

Exercice 6.10 (FF -)

1. À l’aide d’un raisonnement par Analyse-Synthèse, montrer que Mn(R) =Sn(R)⊕An(R).

2. Soitple projecteur surSn(R) parallèlement àAn(R),qle projecteur associé. Déterminerp(M) etq(M) en fonction deM et^tM.

Exercice 6.11 (FF -)

Soit A ∈ R[X] de degré n ≥ 0. On considère l’application f : R[X] → R[X] qui à P associeR, reste de la division euclidienne deP parA.

1. Rappeler le théorème de division euclidienne dansK[X].

2. Montrer quef est une application linéaire, et qu’on a :

Ker(f) ={A×Q, Q∈R[X]} et Im(f) =Rn−1[X].

3. Montrer quef est un projecteur.

Changement de bases

Exercice 6.12 (F) Considérons la maticeM =





0 1 1 1 0 1 0 0 1



, etul’endomorphisme de R³canoniquement associé àM. On considère les vecteursf1= (1,−1,0), f2= (1,1,0) etf3= (0,0,1).

1. Montrer queB= (f1, f2, f3) est une base deR³.

2. Donner la matrice de passage de la base canonique à la baseB et déterminer son inverse.

3. Soitx= (a, b, c)∈R³. Déterminer les coordonnées dexdans la baseBen fonction dea,betc.

4. Déterminer la matrice T deudans la baseB. 5. En déduireTⁿ puisMⁿ pour toutn∈N.

(4)

Soitϕl’application définie surR2[X] et à valeurs dansR[X], qui à un polynômeP associeϕ(P) = (X²−1)P⁰− 2XP.

1. Montrer queϕest un endomorphisme deR2[X].

2. Déterminer la matrice Adeϕdans la base canonique, notéeBcan.

3. On pose P₁ = (X + 1)², P₂ =X²−1,P₃ = (X−1)². Montrer queB = (P₁, P₂, P₃) est une base de R2[X], puis donner la matrice de passage de la base canonique àB.

4. En déduire la matrice de ϕdans la baseB.

5. Pour n ∈ N, déterminer la matrice de ϕⁿ dans la base B. En déduire la matrice de ϕⁿ dans la base canonique.

Exercice 6.14 (FF) On considèreA=

1 0 0 0

, B= 1 2

0 0

, C= 1 2

3 0

et D= 1 2

3 4

. On noteBla base canonique deM2(R).

1. Montrer que la famille B⁰= (A, B, C, D) est une base deM2(R).

2. Pour toutM ∈M2(R), on poseϕ(M) =AM−M A.

(a) Montrer queϕest un endomorphisme deM2(R).

(b) Déterminer la matrice deϕdans la baseBpuis dans la baseB⁰.

On considèreF ={(x, y, z)|x+y−z= 0}et G= Vect(1,1,1).

1. (a) Déterminer une base (e₁, e₂) deF et une base (e₃) deG.

(b) Montrer queB= (e1, e2, e3) est une base deR³. En déduire queF etGsont supplémentaires dans R³.

2. On considèreple projecteur surF parallèlement àG.

(a) Déterminer la matrice depdans la baseB.

(b) En déduire la matrice depdans la base canonique. On pourra pour cela s’aider du logiciel Scilab pour les calculs matriciels.

(c) Donnerp(x, y, z) pour tout (x, y, z)∈R³.

3. Soitqle projecteur sur Gparallèlement àF. Déterminerq(x, y, z) pour tout (x, y, z)∈R³.

Exercice 6.16 (FFF) Montrer que les matricesA=

2 1 1 2

etB= 1 0

0 3

sont semblables.

Trace

Exercice 6.17 (FF - Trace d’un endomorphisme -) SoitE un espace vectoriel de dimension finie.

1. Soitf un endomorphisme deEet soitBune base deE. Montrer que le scalaire Tr(M_B(f)) est indépen- dant de la base Bchoisie.

Ce scalaire est appelée la trace def et notée Tr(f).

2. Exemple. Soit A =

a b

∈ M2(R), et considérons l’application uA : M2(R) → M2(R) définie par

(5)

(a) Montrer queuA est un endomorphisme deM2(R).

(b) Calculer Tr(uA).

3. Soitpun projecteur deE. Montrer que Tr(p) = rg(p).

Soitf un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimensionn. On suppose que rg(f) = Tr(f) = 1.

1. Montrer qu’il existe une base BdeE telle que :

M_B(f) =







a1 a2 . . . an

0 0 . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . 0





 .

2. En déduire quef est un projecteur.

Exercice 6.19 (FFF - Formes linéaires sur Mn(R)) Soitn∈N^∗.

1. SoitA∈Mn(R). Pour tout M ∈Mn(R), on pose ϕA(M) = Tr(AM).

Montrer queϕA définit une forme linéaire surMn(R).

2. On considère l’application Φ :Mn(R)→L(Mn(R),R) définie par Φ(A) =ϕA. (a) Montrer que Φ est linéaire.

(b) Montrer que Φ est un isomorphisme.

Indication. On pourra calculer ϕ_A(E_i,j)oùE_i,j est la matrice élémentaire d’indice(i, j).

(c) En déduire que pour toute forme linéaireϕsurMn(R), il existe une unique matriceA∈Mn(R) telle queϕ(M) = Tr(AM) pour toutM ∈Mn(R).

Polynômes d’endomorphismes

Déterminer un polynôme annulateur et l’inverse s’il existe des endomorphismes : f : Mn(R) → Mn(R)

A 7→ ^tA+ 2A .

g: E → E

x 7→ ϕ(x)u+x oùE est un espace vectoriel,u∈E et ϕest une forme linéaire telle queϕ(u) = 1.

SoitE un espace vectoriel de dimension finie etf ∈L(E) tel que 2f²−3f−9Id_E= 0.

On pose alorsu= 2f + 3Id_E etv=f−3Id_E.

1. Calculeru−2v. En déduire que E= Im(u) + Im(v).

2. Calculeru◦v etv◦u. En déduire que Im(u)⊂Ker(v) et Im(v)⊂Ker(u).

3. Montrer queE= Ker(u)⊕Ker(v).

4. (Cubes) En déduire quef est diagonalisable.

(6)

Sous-espaces stables

Soitf l’endomorphisme deR⁴ dont la matrice dans la base canonique estM =







0 0 1 0

1 1 1 −2

−1 0 0 0

0 1 1 −1





 .

1. Montrer quef ◦f =−Id_R⁴.

2. Montrer que pour toutu∈R⁴, le sous-espace vectoriel Vect(u, f(u)) est stable parf. 3. On posee₁= (1,0,0,0),e₂=f(e₁),e₃= (0,1,0,0) ete₄=f(e₃).

Montrer queB= (e₁, e₂, e₃, e₄) est une base deR⁴.

4. Déterminer la matrice M⁰ de l’endomorphisme f dans la baseB.

SoitE un espace vectoriel,f ∈L(E) etF1, . . . , Fn des sous-espaces vectoriels deE tels queFi est stable par f pour tout 1≤i≤n.

Montrer queF =

n

X

i=1

Fi est stable parf.

Exercice 6.24 (FFF - QSP HEC 2017)

SoitE un espace vectoriel surR, pun projecteur deE etuun endomorphisme deE.

Montrer quepetucommutent si et seulement si Ker(p) et Im(p) sont stables paru.

Exercice 6.25 (FFF - Caractérisation des homothéties - )

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie, et soitf ∈L(E). On suppose que f laisse stable toutes les droites vectorielles.

1. Montrer que∀x6= 0E,∃!λx∈K: f(x) =λ_xx.

2. Soient xet ydeux vecteurs non nuls deE.

(a) Montrer que sixety sont liés, alorsλ_x=λ_y.

(b) Montrer que si (x, y) est une famille libre, alorsλx+y=λx. En déduire queλx=λy. 3. Déduire de ce qui précède quef est une homothétie.