Problème classique

Lycée Ste-Marie Fénelon Classe de MP

Année 2016-2017 Mathématiques

Devoir surveillé n

6 du jeudi 15 décembre

Durée : 4 heures – documents interdits – calculatrices interdites

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Les candidats sont tenus de traiter exclusivement leur sujet, classique ou corsé :

• Sujet classique : exercice 1 commun, exercice 2 classique, problème classique.

• Sujet corsé : exercice 1 commun, problème corsé.

La qualité de la rédaction sera prise en compte dans l’évaluation de la copie. Les questions dont le résultat ne sera pas mis en valeur ne seront pas corrigées (et seront encadrés rageusement par votre humble mais teigneux serviteur).

Exercice 1 — commun à tout le monde

Parmi les affirmations suivantes, indiquez sans justification celles que vous jugez vraies et celles que vous jugez fausses.

Attention, les réponses à ces questions ne sont pas forcément immédiates. Elles peuvent au contraire nécessiter des raisonnements et calculs (au brouillon).

Question 1. On considère la série entière X

n≥1

anxⁿoù an= nⁿ

n! et on note R son rayon de convergence.

1.a. On a lim

n→+∞

a_n+1 an

= 1 et on en déduit queR= 1.

1.b. On a lim

n→+∞

a_n+1

a_n >1 et on en déduit que la série entière diverge pour toute valeur du réelx.

1.c. On aR <1/2.

Question 2.On considère la série entière X

n≥1

a_nxⁿoùa_n= sin(n)

n et on noterson rayon de convergence.

2.a. On a :∀n∈N^∗,|an| ≤ 1

n et donc r≤1.

2.b. On ar ≥1.

2.c. Le rayon de convergence de la série entière X

n≥1

sin(n)xⁿ⁻¹ vaut1 et donc r= 1.

2.d. On ar ≥1/2.

2.e. Pour tout x∈

−1 2,1

2

,

+∞

X

n=1

sin(n)

n = arctan

x−cos(1) sin(1)

.

2.f. Pour tout x∈

−1 2,1

2

,

+∞

X

n=1

sin(n)

n =−ln|1−xeⁱ|. 2.g. Pour tout x∈

−1 2,1

2

,

+∞

X

n=1

sin(n) n = 1

2ln(1−2xcos(1) +x²).

Problème classique

Dans tout le problème, E désigne l’espace vectoriel des suites réelles.

On pourra noter une suiteu∈E sous la formeu= (u₀, u₁, u₂, . . . , u_n, . . .) ou sous la formeu= (u_n)_n. Une suite ude E est dite périodique de périodep∈N^∗ lorsqu’elle vérifie :∀n∈N, u_n+p=u_n.

Partie A.

Soit l’ensemble S⁰ ={u∈E/ ∀n∈N, un+2+un = 0}.

1. Soient les deux suitesλetµ définies par :∀n∈N,λ_n= cos n^π₂

etµ_n= sin n^π₂ . 1.1 Vérifier queλetµ sont des éléments deS0.

1.2 Montrer que ces deux suites sont périodiques.

2. Montrer queS0 est un sous-espace vectoriel de E.

3. Donner une base deS0 et préciser sa dimension.

4. Soitu∈ S0 non nulle.

4.1 La suiteu est-elle convergente ? 4.2 La série P

u_n de terme général u_n est-elle convergente ? 4.3 Soitf la fonction de la variable réelle xdonnée par f(x) =

+∞

X

n=0

u_nxⁿ.

Donner l’ensemble de définition de f et une expression de f(x) à l’aide des fonctions usuelles et des termesu₀ etu₁.

Partie B.

Soit S = {u ∈ E/ ∃a ∈ R, ∀n ∈ N, u_n+2 +u_n = 2a}, c’est-à-dire l’ensemble des suites réelles u pour lesquellesil existe une constante réelle atelle que pout tout entier naturel n,un+2+un= 2a.

1. 1.1 On prend∀n∈N, u_n= (−1)ⁿ. Vérifier que u /∈ S.

1.2 On prend ∀n∈N, u_n= (−1)^E(n/2) où E(t) désigne la partie réelle du réel t. Vérifier que u∈ S et préciser la valeur du réelacorrespondant.

1.3 On prendu_n= 5. Vérifier queu∈ S et préciser la valeur du réel acorrespondant.

2. Vérifier que les suites constantes appartiennent à S. 3. Déterminer les suites géométriques appartenant àS. 4. Montrer queS est un sous-espace vectoriel de E.

5. A-t-on S ⊂ S⁰? S⁰ ⊂ S?

6. Soitϕ : u∈ S 7→ϕ(u) = u₀+u₂

2 . Montrer queϕest une forme linéaire surS. Quel est son noyau ? 7. Soitv∈Edéfinie par∀n∈N,vn= 1. Montrer queS =S⁰⊕Vect(v)oùVect(v)est la droite vectorielle

engendrée par la suite v.

8. Soitu∈ S. Déterminer alors pour tout entier naturel n, une expression deu_nen fonction de n.

9. Montrer que tout élément u∈ S est une suite périodique de période4.

10. Prouver que l’application θ : u ∈ S 7→ θ(u) = (u₀, u₁, u₂) ∈ R³ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

On note C= (I, J, K) la base de S obtenue comme image réciproque de la base canonique de R³ par l’application θ:

θ(I) = (1,0,0), θ(J) = (0,1,0), θ(K) = (0,0,1).

11. Expliciter les cinq premiers termes de chacune des suites I,J,K.

12. Soientk∈N^∗ etT_k : u∈E7→T_k(u) =w définie par∀n∈N, w_n=u_kn. 12.1 Vérifier queT_k est un endomorphisme deE.

12.2 Le sous-espaceS est-il stable par T₂? 12.3 Le sous-espaceS est-il stable par T₃?

12.4 Écrire la matrice, dans la baseC obtenue à la question10, de l’endomorphisme τ₃ induit par T₃ surS.

12.5 L’endomorphisme τ3 de S est-il diagonalisable ? 12.6 Reconnaître alors la nature géométrique deτ3.

13. Soientu∈ S ethla fonction de la variable réellexdonnée parh(x) =

+∞

X

n=0

u_nxⁿ. Exprimerh(x) à l’aide des fonctions usuelles pourx∈]−1,1[. Étudier les prolongements possibles en−1et1.

Partie C.

Soientp∈N,p≥2 fixé et l’espace vectoriel Sp ={u∈E/ ∃a∈R, ∀n∈N, u_n+p+u_n= 2a}. 1. Montrer que tout élément deSp est périodique de période 2p.

2. SoitF =























0 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 ... ... ... ... ...

0 0 ... 1 0

−1 0 . . . 0 2 0 0 . . . 0 1























∈ Mp+1(R).

2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice F. 2.2 Déterminer les valeurs propres de F.

2.3 F est-elle inversible ?

2.4 F est-elle diagonalisable dansM^p+1(C)? Dans M^p+1(R)?

3. Prouver que l’application δ définie par ∀u∈ Sp, δ(u) = (u₀, u₁, . . . , u_p−1, a) ∈R^p+1 où a= u₀+u_p 2 , est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Quelle est la dimension deSp?

On noteCp l’image réciproque de la base canonique de R^p+1 parδ.

4. Soitψ l’application définie par

ψ : u∈ Sp 7→ψ(u) =t telle que ∀n∈N, t_n=u_n+1. 4.1 Vérifier queψ est un endomorphisme deSp.

4.2 Sans nouveau calcul, préciserψ^2p =ψ◦ · · · ◦ψ, composée 2p fois de l’application ψ.

4.3 Écrire la matrice de ψdans la base Cp deSp. 4.4 ψest-elle diagonalisable ?

4.5 Prouver queψest bijective et déterminer son inverse ψ⁻¹.

Problème corsé

Notations.

On noteNl’ensemble des entiers naturels, Zcelui des entiers relatifs,Rcelui des nombres réels,N^∗ celui des entiers strictement positifs,R₋celui des réels négatifs ou nuls,R₊ celui des réels positifs ou nuls etR^∗₊ celui des réels strictement positifs.

On note C^k

♯ l’ensemble des fonctions R→C de classe C^k, de période 2π, où k∈ [0,∞], et pour f ∈ C⁰

♯, on notekfk= sup

x∈[0,2π]|f(x)|.

On noteen la fonction R→Cdéfinie par en(x) =e^inx, et pourf ∈C^k

♯, c_n(f) = 1

2π Z 2π

0

f(θ)e_−n(θ)dθ, n∈Z. (1)

Lorsqu’une série est absolument convergente, on montre que sa somme ne dépend pas de l’ordre des termes, ce qui justifie d’écrire

d₀+

+∞

X

n=1

d_−n+

+∞

X

n=1

d_n = X

n∈Z

d_n

et de dire que la série X

n∈Z

d_n converge absolument si et seulement si les séries

+∞

X

n=1

d_−n et

+∞

X

n=1

d_n convergent absolument.

I. Séries trigonométriques.

Q.1. Soit f ∈C⁰

♯, démontrer que la suite des c_n(f) oùn∈Zest bornée.

Q.2. Soitf ∈ C♯^∞. Donner l’expression dec_n(f^(k))en fonction dec_n(f). En déduire que pour toutk∈N, il existeC_k>0 tel que, pour tout entier relatif non nuln

|c_n(f)| ≤ C_k

|n|^k. (2)

Soit(d_n)_n∈Z une suite d’éléments de Ctelle que la série X

n∈Z

d_n converge absolument.

Q.3. Montrer que pour tout xréel, la série X

n∈Z

d_ne_n(x) converge et que sa sommeh(x)appartient à C⁰

♯. Justifier que pour toutn∈Z, d_n=c_n(h).

Pour une fonction f ∈ C⁰

♯, les c_n(f) sont appelés coefficients de Fourier de f et la série X

c_n(f)e_n la série de Fourier de f. Rien ne dit que cette série converge, encore moins que sa somme est la fonctionf. . . Néanmoins, la questionQ.3.permet d’affirmer que toute fonctionh définie parh=X

n∈Z

d_ne_n avecX d_nqui converge absolument, admet une série de Fourier qui converge et le fait versh. On dit qu’une telle fonction h est développable en série de Fourier.

On peut par ailleurs démontrer, et on admettra, que l’applicationf 7→

c_n(f)

n∈Z, définie surC⁰

♯ et à valeurs dans l’espace des suites complexes, est injective. En d’autres termes :

(INJ) : deux fonctions continues et 2π-périodiques admettant les mêmes coefficients de Fourier, sont égales.

Q.3’. Démontrer que toute fonction continue et 2π-périodique dont la série de Fourier converge absolu- ment, est développable en série de Fourier.

Soit à nouveau (d_n)_n∈Z une suite d’éléments deC telle que la série X

n∈Z

d_n converge absolument.

Q.4. Réciproquement, on suppose pour cette question que quel que soit l’entier k, il existe C_k > 0 et N_k>1 tels que

∀|n| ≥N_k, |d_n| ≤ C_k

|n|^k. Démontrer que pour tout ℓ entier, la série X

n∈Z

d_ne^(ℓ)_n converge normalement ; en déduire queh(x) = X

n∈Z

d_ne_n(x) appartient à C♯^∞.

Un opérateur différentiel surC_♯^∞ est une application linéaire B deC_♯^∞ dans lui-même de la forme suivante :

Bf =

+∞

X

k=0

b_kf^(k)

où les réelsb_k sont tous nuls sauf un nombre fini.

On appelle ordre de B l’entier K défini parK= max{k∈N/ b_k6= 0}.

Q.5. Démontrer qu’une application linéaireB deC♯^∞dans lui même est un opérateur différentiel d’ordre K si et seulement si il existe un polynôme P_K de degré K tel que pour tout entier relatif n et tout f ∈ C_♯^∞,c_n(Bf) =P_K(n)c_n(f).

II. Équation de la chaleur généralisée.

Soitρ : R₊→R₊ une fonction strictement croissante telle qu’il existeℓ∈N^∗ avec

∀y≥1, y ≤ ρ(y) ≤ y^ℓ. Q.6. Soit f ∈ C♯^∞. Démontrer que la série X

n∈Z

ρ(|n|)cn(f)en converge normalement et que sa somme appartient àC♯^∞.

Q.7. Soit f ∈C⁰

♯. Démontrer que pour tout t > 0, la série X

n∈Z

e^−tρ(|n|)c_n(f)e_n converge normalement et que sa somme appartient àC^∞♯ .

On définit l’opérateurA : C♯^∞→ C♯^∞ par la formule A(f) = X

n∈Z

ρ(|n|)c_n(f)e_n. (3)

On suppose désormais t∈R^∗

+

et on définit l’opérateur Q_tsur C⁰

♯ par la formule suivante : Q_t(f) = X

n∈Z

e^−tρ(|n|)c_n(f)e_n. (4)

Q.8. Montrer que pourx réel fixé etf ∈C⁰

♯, la fonction t7→Q_t(f)(x) est de classe C^∞ surR^∗

+. Q.9. Démontrer que pour f ∈C⁰

♯ ett >0,

∀x∈R, ∂

∂tQ_t(f)(x) = −A(Q_t(f))(x). (5) On noteI l’opérateur identité de C♯^∞.

Q.10. Soit α ∈ C, α /∈ R₋. Montrer que pour tout g ∈ C_♯^∞, il existe un et un seul élément, noté u, appartenant àC♯^∞ qui soit solution de l’équation (A+αI)u=g.

On rappelle que le théorème d’intégration terme à terme sur un segment reste valable losrqu’on intègre sur un intervalle quelconque.

Q.11. Montrer que pour Re(α)>0etg∈ C♯^∞ et pour xréel, (A+αI)⁻¹(g)(x) =

Z _+∞

0

e^−αtQ_t(g)(x)dt.

Q.12. Déterminer les valeurs propres de A, c’est-à-dire les λ complexes tel qu’il existe g 6= 0 vérifiant A(g) =λg.

III. Représentations intégrales.

Dans ce paragraphe, on s’intéresse à deux occurrences particulières de la fonction ρ : ρ₁ et ρ₂ définies sur R₊ par ρ₁(y) =y etρ₂(y) =y². On pose

A¹(f) = X

n∈Z

|n|c_n(f)e_n et A²(f) = X

n∈Z

n²c_n(f)e_n (6)

ainsi que

Q¹_t(f) = X

n∈Z

e^−t|n|cn(f)en et Q²_t(f) = X

n∈Z

e^−tn2cn(f)en. (7)

Q.13. Démontrer que sif ∈ C♯^∞, alors(A¹◦A¹)(f) =A²(f).

Q.14. Démontrer queA² est un opérateur différentiel et en donner l’expression. En est-il de même pour l’opérateurA¹?

Q.15. En référence aux résultats des questions13et9, justifier le titre du document.

Sig est une fonction continue et intégrable surR, on pose F(g)(ω) = 1

√2π Z _+∞

−∞

e^−iωxg(x)dx (8)

oùω ∈R; c’est la transformée de Fourier de f. On admettra les formules suivantes : F

1 1 +x²

(ω) =

rπ

2e^−|ω| et F(e^−x2/2)(ω) = e^−ω2/2. (9) Q.16. Déterminer le réelα tel que, pour toutf ∈ C♯^∞, pour tout réely et tout t∈R^∗₊,

Q¹_t(f)(y) = α Z _+∞

−∞

t

t²+x²f(y−x)dx.

Exercice 2 — sujet classique

1. Déterminer le rayon de convergence R strictement positif de la série entière X (−x)ⁿ 3n+ 1. 2. (a) Calculer

Z ₁

0

t³ⁿdt, oùn est un entier naturel.

(b) Considéronsx fixé dans l’intervalle ]−R, R[.

Déduire de (a), en justifiant avec soin la permutation des symbolesX et

Z

, la somme

+∞

X

n=0

(−x)ⁿ 3n+ 1 sous forme d’une intégrale.

⋆Calculatoire.En déduire la valeur de

+∞

X

n=0

(−x)ⁿ

3n+ 1 (il pourra être utile pour ces derniers calculs de posera=√³x.)

3. Montrer que la sérieX (−1)ⁿ

3n+ 1 est convergente.

Étudier la continuité de la sommeS de la série X (−x)ⁿ

3n+ 1 sur[0,1].

4. Nécessite ⋆. En déduire la somme :

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 3n+ 1.

Bon courage !