ENS Lyon - L3 30 mars 2009 Analyse complexe
Homographies TD-5
Exercice 1.
On appelle droite projective complexe l’espace P1(C) des droites vectorielles de C2, muni de la topologie quotient pour la surjection canonique
π : C2\ {0} → P1(C)
Z 7→ droite (0, Z) .
1. Montrer que P1(C) est hom´eomorphe `a C∪ {∞} muni de la topologie dont les ouverts sont les ouverts deC et les compl´ementaires des compacts deCaugment´es de l’infini. On appelle l’espace topologique ainsi obtenu le compactifi´e d’Alexandroff de C, not´e ˆC. 2. Montrer que P1(C) est hom´eomorphe `a la sph`ere unit´e S2 ⊂ R3 via une projection
st´er´eographique. Pour cette raison, on appelle aussiP1(C) la sph`ere de Riemann.
Exercice 2.
SiE et E′ sont deux espaces vectoriels, une homographie h entre deux espaces projectifs P(E) etP(E′) est une application telle qu’il existe un isomorphisme lin´eaire f :E → E′ pour lequel on ait :
E\ {0} −→f E′\ {0}
π↓ ↓π′
P(E) −→h P(E′) avec π′◦f =h◦π (le diagramme commute).
1. Montrer que l’ensemble des homographies deP1(C) forme un groupe pour la composition, not´eH, et isomorphe `aP SL2(C) :=SL2(C)/{±I2}.
2. V´erifier que les ´el´ements deH sont exactement les applications h: ˆC→Cˆ d´efinies par
h(z) = az+b cz+d
pour a, b, c, d∈Ctels que ad−bc=±1 (avec par convention h(z) =∞ si cz+d= 0).
3. En d´eduire que le groupe H est engendr´e par les similitudes directes z7→ az+b(a6= 0) et l’application z7→1/z.
4. V´erifier que les homographies sont des hom´eomorphismes de ˆC. 5. Montrer queH agit sur ˆCde fa¸con fid`ele et simplement 3-transitive.
6. Montrer que les homographies conservent les angles orient´es.
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Exercice 3.
On appellecercle-droite la projection sur ˆCd’un cercle trac´e sur la sph`ere de Riemann.
1. Montrer que les cercles-droites sont les cercles de C et les droites de C augment´ees de l’infini, et qu’ils sont d´ecrits exactement par les ´equations de la forme
azz¯+bz+ ¯b¯z+c= 0, o`u a, c∈R, |b|2 > ac.
2. En d´eduire que les homographies conservent les cercles-droites. Quelle est l’image par une homographie d’un disque ? D’un demi-plan ?
Exercice 4.
Lebirapport [w1, w2, w3, w4] de quatre points w1, w2, w3, w4 de ˆC, avec w1, w2, w3 distincts, est l’image dew4 par l’unique homographie qui envoie (w1, w2, w3) sur (∞,0,1).
1. Montrer que
[w1, w2, w3, w4] = w3−w1
w3−w2
×w4−w2
w4−w1
lorsque cette expression a un sens.
2. Soitw1, w2, w3, w4, w′1, w′2, w′3, w′4 ∈Cˆ avecw1, w2, w3distincts etw1′, w2′, w3′ distincts. Mon- trer que [w1, w2, w3, w4] = [w1′, w2′, w3′, w4′] si et seulement s’il existe une homographie h telle queh(wi) =wi′ pouri= 1, . . . ,4.
3. En d´eduire que le birapport est invariant sous l’action des homographies.
4. Montrer que quatre points deux-`a-deux distincts w1, w2, w3, w4 sont cocycliques ou align´es si et seulement si [w1, w2, w3, w4]∈R.
Exercice 5.
Soit h∈H,h6= id, etA∈SL2(C) un repr´esentant deh.
1. V´erifier que z ∈ P1(C) est un point fixe de h si et seulement si π−1(z) est une direction propre de A. En d´eduire qu’une homographie diff´erente de l’identit´e a exactement un ou deux points fixes.
2. Montrer queh a un unique point fixe si et seulement si trA∈ {−2; 2}, et que dans ce cas h est conjugu´ee (dansH) `az7→z+ 1.
3. Montrer queha exactement deux points fixes si et seulement si trA /∈ {−2; 2}, et que dans ce cashest conjugu´ee `a une homographie de la formez7→λz. Exprimerλ∈C\ {0; 1} en fonction des valeurs propres deA.
4. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante surλ, µ6= 0 pour que z7→λz etz7→µz soient conjugu´ees.
Remarque : on peut montrer que les homographies sont exactement les transformations conformes (c’est-`a-dire les automorphismes pr´eservant infinit´esimalement les angles) de la sph`ere de Rie- mann.
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