Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2009-2010
CM 3 Groupe Concours
Feuille 3 Polynˆomes
Exercice1 — Soit (P0, P1,· · ·, Pn) une famille de polynˆomes dansK[X] telle que deg(Pk) =kpour tout entier k entre 0 etn. Montrer que (P0, P1,· · · , Pn) est une base de l’espace vectorielKn[X].
Exercice 2 — Soient (a0, a1,· · ·, an) et (α0, α1,· · ·, αn) des (n+ 1)-uplets de Kavec ai 6=aj sii 6=j. Montrer qu’il existe un unique polynˆomeP∈Kn[X] tel que∀i∈ {0,1, . . . , n} on aP(ai) =αi.
Exercice3 — Calculer la d´ecomposition deP =X6+ 1 en facteurs irr´eductibles dansR[X] etC[X].
Exercice4 — Calculer le reste de la division euclidienne deP = [cos(θ) +Xsin(θ)]n parX2+ 1
Exercice5 — Calculer le PGCD deP =X15+ 1 etQ=X21+ 1.
Exercice6 — SoitP ∈Rn[X] un polynˆome scind´e. Montrer queP0 est ´egalement scind´e dansR[X].
Exercice7 — Factoriser le polynˆomeXn−2 dans C[X].
Exercice8 — Montrer queiest racine double deP =X6+X5+ 3X4+ 2X3+ 3X2+X+ 1.FactoriserP dans R[X] etC[X].
Exercice9 — Soient (a, b)∈K2 etP =X4+aX3+bX2+aX+ 1
1. On suppose que 1 est racine deP. Montrer que 1 est racine double et calculer le reste de la division deP par (X−1)2.
2. On suppose que−1 est racine deP. Montrer que−1 est racine double et calculer le reste de la division deP par (X+ 1)2.
Exercice10 — D´ecomposer en ´el´ements simples dansR[X] les fractions rationnelles suivantes 1) (X−1)(X+2)6 ; 2) X3+2X(X22+1)+2X−32 ; 3) (XX+12−1)3; 4) X2(X12+1)2.
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