new parabole

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DOCUMENT 16

La parabole

De nombreux objets géométrique peuvent être définis ou caractérisés à l’aide de la distance (le cercle, la médiatrice d’un segment, les bissectrices d’une paire de droites,...). Ici nous allons

´

etudier l’ensemble des points équidistants d’un point et d’une droite. Cet ensemble, appelé parabole, est une courbe de la famille des coniques et son étude, avec une définition différente, remonte à l’antiquité.

1. Définition et équation réduite

Définition 16.1. Soit D une droite d’un plan affine euclidien Π , F un point de Π avec F 6∈ D. L’ensemble des points de Π équidistants de D et de F est appelé la parabole de foyer F et de directrice D.

Proposition 16.1. a) Soit P la parabole de foyer F et de directrice D du plan euclidien Π.

Il existe un rep`ere orthonorm´e (O,−→ i ,−→

j ) de Π dans lequel P est la courbe d’équation y = x² 2p où p est la distance de F à D.

b) Soit Γ la courbe d’équation y = ax², a 6= 0, dans un repère orthonormé (O,−→ i ,−→

j ) d’un plan euclidien Π. La courbe Γ est une parabole qui poss`ede un seul foyer, de coordonn´ees (0, 1

4a), et une seule directrice D d’´equation y = − 1

4a.

c) Toute parabole poss`ede un seul foyer et une seule directrice.

Preuve. a) Soit Ω la projection orthogonale de F sur D, p = ΩF ,−→ j = ΩF

p et−→

i un vecteur tel que (Ω,−→

i ,−→

j ) soit un repère orthonormé de Π. Si M est le point de coordonnées (u, v) alors :

M ∈ P ⇔ u²+ (v − p)²= v² ⇔ u²

2p = v − p 2. Soit O le point de coordonn´ees (0,p

2) et (x, y) les coordonn´ees de M dans (O,−→ i ,−→

j ). On a x = u et y = v − p

2 d’o`u M ∈ P si et seulement si y = x² 2p. On remarque que dans (O,−→

i ,−→

j ), F est le point de coordonn´ees (0,p

2) et l’´equation de D est y = −p

2.

b) Soit F le point de coordonnées (α, β) et D la droite d’équation ux+vy+w = 0, u²+v²= 1, dans un repére (O,−→

i ,−→

j ) . Tout point M de Γ, de coordonn´ees (x, y), est ´equidistant de F et

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180 16. LA PARABOLE

de D si et seulement si, pour tout x ∈ R, on a :

(x − α)²+ (ax²− β)²− (ux + vax²+ w)²= 0 (1).

La relation (1) équivaut à la nullité de tous les coefficients du polynôme P (x) = (x − α)²+ (ax²− β)²− (ux + vax²+ w)²ce qui conduit aux équations a²(1 − v²) = −2uva = 1 − 2aβ − u²− 2vaw =

−2α − 2uw = α² + β²− w² = 0. On a α = u = 0 d’o`u 2aβ + 2avw = 1 (∗) et β² = w². On a v²w² = β² et vw = −β dans (∗) conduit `a 0 = 1. Donc vw = β et, par (∗), β = 1

4a d’o`u . w = v

4a. La courbe Γ est donc contenue dans la parabole P de foyer F de coordonn´ees (0, 1 4a) et de directrice d’´equation y = − 1

4a. Mais d’après a, P est la coube d’équation y = ax² et donc Γ = P . On remarque que la démonstration précédente entraine que Γ posséde un seul foyer et une seule directrice.

c) Soit P une parabole. D’après a) il existe un repère orthonormé dans lequel l’équation de P est de la forme y = ax² et b) a montré que toute courbe d’équation y = ax² est une parabole qui possède un seul foyer et une seule directrice.

D´efinition 16.2. L’´equation y = x²

2p, où p représente la distance du foyer à la directrice d’une parabole P , est appelée l’équation réduite de P . Le nombre réel positif p est le paramètre de P et le point de P situé sur la perpendiculaire à D passant par F , le sommet de P .

Remarques.

1) Toute courbe d’un plan affine euclidien ayant par rapport à un repère quelconque une équation de la forme y = ax²+ bx + c, a 6= 0, est une parabole.

2) Un cercle est tangent à une droite D si et seulement si la distance de son centre à D est égale à son rayon. La parabole de foyer F et de directrice D est donc aussi l’ensemble des centres des cercles passant par F et tangents à D.

3) Soit M un point de la parabole de foyer F et de directrice D qui se projette en H sur D. Le point M appartient à la médiatrice de F H et à la perpendiculaire en H à D. Réciproquement, soit K un point de D. Comme F 6∈ D, la médiatrice de F K et la perpendiculaire en K à D ne sont ni parallèles ni confondues. Le point d’intersection N de ces deux droites appartient à P . On peut donc construire

`

a la r`egle et au compas tout point d’une parabole `a partir de son foyer et de sa directrice.

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2. Isom´etries conservant une parabole

Soit P la parabole de foyer F , de directrice D et ∆ la perpendiculaire à D passant par F . La symétrie orthogonale s_∆ par rapport à la droite ∆ conserve les distances et l’orthogonalité donc s∆(P ) = P . Autrement dit, s∆ conserve P et ∆ est un axe de symétrie de P (Ce fait est aussi une conséquence de l’équation réduite de P .).

Considérons maintenant une isométrie f . Comme f conserve les distances et l’orthogonalité, f (P ) est la parabole de foyer f (F ) et de directrice f (D). Si f (P ) = P alors f (F ) = F et f (D) = D. L’isométrie f ayant un point fixe, c’est une rotation ou une symétrie. Comme elle possède aussi une droite invariante ne contenant pas son point fixe, c’est soit l’application identique soit la symétrie s_∆.

Finalement, le groupe des isométries conservant P est formé de l’application identique et de la symétrie par rapport à la perpendiculaire ∆ à D passant par F . La droite ∆ est appelée l’axe de P .

Le résultat précédent entraine que si une parabole a une équation de la forme y = ax² dans un repére orthonormé (O,−→

i ,−→

j ) alors les seuls repères dans lesquels elle possède une équation de ce type sont de la forme (O, ±−→

i , ±−→ j ).

3. Tangentes et normales

3.1. Existence et équations. Soit P la parabole d’équation réduite y = x²

2p dans le rep`ere orthonorm´e (O,−→

i ,−→

j ) d’un plan affine euclidien Π.

Le point M d’abscisse x appartient `a P si et seulement si −−→

OM = x−→ i +x²

2p

−

→j . La fonction

−

→f de R dans Π d´efinie par −→

f (x) = x−→ i + x²

2p

−

→j est dérivable sur R et sa fonction dérivée x 7→−→

f⁰(x) =−→ i +x

p

−

→j n’est jamais nulle. La parabole P poss`ede donc en chaque point d’abscisse

x une tangente de direction −→

f⁰(x). Soit M0 le point de P de coordonn´ees (x0, y0) = (x0,x²₀ 2p).

L’´equation de la tangente en M0 est

x − x₀ 1 y − y₀ x₀

p

= 0 c’est-`a-dire xx₀− p(y + y₀) = 0 .

Une ´equation de la normale `a P en M₀ est

p(x − x0) + x0(y − y0) = 0 ¹

3.2. Propriétés des tangentes et des normales. On conserve les notations précédentes.

Soit T et N la tangente et la normale en M0, m0 et K les projections de M0 sur l’axe (O,−→ i ) et sur la directrice D, I l’intersection de D et T .

1Une équation de la normale à la droite d’équation ux + vy + w = 0 passant par le point de coordonnées (x0, y0) est v(x − x0) − u(y − y0) = 0.

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182 16. LA PARABOLE

Au sommet O de P la tangente est l’axe (O,−→

i ) et le normale l’axe (O,−→

j ). C’est le seul point de P où la tangente est parallèle à D (voir l’expression de −→

f⁰(x)). Cette tangente est appel´ee la tangente au sommet.

On suppose maintenant M₀ 6= O. Si x est l’abscisse du point d’intersection L de T avec la tangente au sommet, on a xx0− py₀ = 0 et, en utilisant y0 = x²₀

2p, on obtient x = x0

2 . Le point L est le milieu de Om0. C’est aussi le milieu de F K: en effet, le milieu de F K a pour abscisse x0

et 0 pour ordonnée car les ordonnées de F et K sont opposées. Dans le triangle isocèle KM0F ,2 la droite M₀L est donc la hauteur issue de M₀, la médiatrice de [F K] et la bissectrice intérieure des demi-droites (M₀,−−−→

M₀K) et (M₀,−−−→

M₀F ). La normale N est la bissectrice ext´erieure de cette paire de demi-droites.

Remarque. On peux aussi calculer, en conservant les notations pr´ec´edentes,

−

→f⁰(x₀).−−→

KF = (−→ i +x₀

p

−

→j )(−x₀−→ i + p−→

j ) = 0

ce qui montre que la tangente en M₀ est perpendiculaire à KF . Autrement dit la tangente en M0 est la médiatrice de [KF ] dans le triangle isocèle KF M .

Conclusions

• La tangente au point M₀ est la m´ediatrice de [F K] et la bissectrice int´erieure des demi-droites (M0,−−−→

M0K) et (M0,−−−→

M0F ). La normale est la bissectrice ext´erieure.

• La projection L du foyer sur la tangente en M₀appartient `a la tangente au sommet. Tout point de la tangente au sommet est la projection du foyer sur une tangente.

• Le sym´etrique du foyer F par rapport

`

a la tangente en M₀ appartient à la directrice. Tout point de la directrice est le symétrique de F par rapport à une tangente. Si le symétrique de F par rapport à une droite ∆ appartient à D alors ∆ est tangente à la parabole.

• Soit I le point d’intersection de la tangente en M₀ avec la directrice. La droite F M0 est perpendiculaire à F I (car KM0 est perpendiculaire à KI et K et F sont symétriques par rapport à IM0).

Une autre propri´et´e des tangentes et des normales.

On suppose M₀ 6= O et on désigne par U et V les points d’intersection de la tangente et de la normale en M0 avec l’axe de la parabole. L’axe de la parabole étant parallèle à M0K,

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F L = LK et le théorème de Thalès entrainent F U = M0K. D’autre part, V M0KF étant un parallélogramme, F V = M₀K, d’où, en utilisant F M₀= M₀K, F U = F V = F M₀.

On traduit parfois ce résultat en disant que si le cercle de centre F et passant par un point M d’une parabole, distinct de son sommet, rencontre l’axe de la parabole en U et V alors M U et M V sont la tangente et la normale à la parabole issues de M . En utilisant l’équation de la tangente on peut montrer que si U M est la tangente alors U appartient à la demi-droite d’origine O et ne contenant pas F (Toute tangente à une parabole est à l’extérieur de la parabole.).

La propriété précédente permet de construire, à la règle et au compas, à partir d’un point M d’une parabole la tangente et la normale issues de M .

4. Deux probl`emes de construction

4.1. Construction des tangentes passant par un point. Soit P une parabole de directrice D et de foyer F . On veut construire, lorsqu’elles existent, les tangentes passant par un point A.

On rapelle qu’une droite ∆ et un cercle Γ sont sécant si et seulement si le rayon de Γ est supérieur ou égale à la distance de ∆ au centre de Γ.

Analyse du probl`eme

Supposons que la tangente en un point M de P passe par A. Si K est la projection de M sur D alors AF = AK et le cercle de centre A rencontre D en K. Donc si une tangente T passe par A, D et le cercle de centre A passant par F sont s´ecants, et le point T ∩ P est l’un des points d’intersection de cette droite avec ce cercle.

Construction

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184 16. LA PARABOLE

1). Le cercle de centre A passant par F ne rencontre pas D : aucune tangente à P ne passe par A. Cette situation est réalisée si et seulement si, en désignant par I la projection de A sur D, AI > AF , c’est--dire si et seulement si A est a l’intérieur de la parabole.

2). Le cercle de centre A passant par F rencontre D en deux points distincts K1 et K2. Cette situation équivaut à AI < AF ou à A 6∈ P et A est à l’extérieur de P .Soit M1 et M2 les points de P situés sur les perpendiculaires à D passant par K1 et K2. On a F Mi = MiKi et AF = AKi

: la droite AM_i est la médiatrice de F K_i. Cette droite est donc la tangente à P au point Mi. Il existe deux tangentes à P passant par A.

3). Le cercle de centre A et passant par F rencontre D en un seul point K. Il est donc tangent

`

a D et A ∈ P . La tangente en A à P est la seule tangente à P passant par A. ( Si une tangente enM passe par A alors A et M ont la même projection K sur D et donc A = M .)

Dans le cas o`u deux tangentes AM1 et AM2

passent par A, ces tangentes sont orthogonales si et seulement si F K1 et F K2 sont orthogo- naux ce qui équivaut encore à A ∈ D ( L’angle K\1F K2 est droit si et seulement si [K1K2] est un diamètre du cercle de centre A passant par F .).

On a donc d´emontr´e :

La directrice d’une parabole est l’ensemble des points d’o`u on peut mener deux tangentes orthogonales `a cette parabole.

4.2. Construction de l’intersection d’une droite et d’une parabole. On considère une parabole P de foyer F , de directrice D et une droite ∆ qui n’est pas parallle à l’axe de P . On cherche à construire les points d’intersection de P et ∆.

Analyse du probl`eme

Soit M ∈ P ∩ ∆. Le cercle Γ de centre M et tangent à D passe par F ainsi que par le symétrique F⁰ de F par rapport à ∆. Si I est le point d’intersection de la perpendiculaire à D passant par F avec D et si K est la projection de M sur D alors, en exprimant de deux fa¸cons différente la puissance de I par rapport à Γ, IK² = IF .IF⁰.En particulier, IF .IF⁰ ≥ 0 ce qui entraine que F⁰ est dans le même demi-plan limité par ∆ que F .

Construction

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1). Le symétrique F⁰ de F par rapport à D n’appartient pas au même demi-plan limité par

∆ que F . La droite ∆ ne rencontre pas P . 2 ).Le symétrique F⁰ de F par rapport à D appartient au même demi-plan limité par ∆ que F . Soit I l’intersection de la perpendiculaire à

∆ passant par F avec D. On construit le cercle de diamètre [F F⁰] puis le cercle de diamètre [J I], J étant le milieu de [F F⁰]. Soit T l’un des points d’intersection de ces deux cercles. La droite IT est tangente en T au cercle de centre J (IT est orthogonal à T J ) et donc IT² = IF .IF⁰. Soit K₁ et K₂ les points d’intersection du cercle de centre I, de rayon IT , avec D. On a IK_i² = IF .IF⁰ et donc, d’après l’analyse, tout point de P ∩ ∆ a pour projection sur D l’un des Ki. Distinguons deux cas.

• F⁰ = I et donc K1 = K2 = I. Soit M le point d’intersection de la perpendiculaire en I `a D avec ∆. La droite D

´

etant dans ce cas la m´ediatrice de [F I], M I = M F et M ∈ P ∩ ∆. Tout point de P ∩ ∆ devant se projeter en I sur D, P ∩ ∆ = {M }.

• F⁰ 6= I et donc K₁ 6= K₂. Soit Mi le centre du cercle centré sur ∆ et passant par Ki, F et F⁰ (pour montrer que M_i est défini sans ambiguité, con- sidérer les deux cas F 6= F⁰et F = F⁰).

La relation IK_i² = IF .IF⁰ montre que chaque cercle de centre M_i est tangent `a D au point Ki et finalement P ∩ ∆ = {M1, M2}.

Remarquons que M₁= M₂équivaut à K₁ = K₂ ce qui équivaut encore à K₁= K₂= I = F⁰. Une droite ∆, non parallèle à l’axe d’une parabole P , rencontre P en un seul point si et seulement si le symétrique de F par rapport à ∆ appartient à la directrice c’est-à-dire si et seulement si ∆ est tangente à P .

Le cas où la droite ∆ est parallèle à l’axe de la parabole ne pose aucun probléme.

4.3. Intersection de deux paraboles. On vient de voir qu’étant donné le foyer F et la directrice D d’une parabole P , on peut construire à la règle et au compas les tangentes passant par un point donné A ainsi que l’intersection de P avec une droite donnée ∆. En revanche, la construction des points d’intersection de deux paraboles n’est pas possible en général. Pour montrer cela considérons dans un plan affine euclidien P , muni d’un repère orthonormé (O,−→

i ,−→ j )

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186 16. LA PARABOLE

les paraboles P₁ et P₂ d’´equations y = x² et x = 1

2y². Remarquons que l’on peut facilement construire `a la r`egle et au compas le foyer et la directrice de chaque parabole P_i.

Les abscisses des points d’intersection de P1 et P2 sont les solutions de 2x = x⁴. Cette

´

equation possède deux solutions x = 0 et x = 2¹³. Si l’on pouvait construire à la règle et au compas le point d’intersection de P₁ et P₂ d’abscisse 2¹³ on pourrait aussi construire un segment de longueur 2¹³ et ainsi on aurait on aurait résolu le célèbre problème de la duplication du cube.

Rappelons que ce problème consiste à construire l’arête d’un cube ayant un volume double de celui d’un cube donné. Ce problème équivaut à la construction d’un segment de longueur 2¹³

`

a partir d’un segment de longueur 1. Un résultat de P.L. Wantzel, démontré en 1837, entraine que 2¹³ n’est pas constructible et donc que la duplication du cube n’est pas possible à la règle et au compas.

5. Exemples d’intervention

5.1. Mouvement d’un projectile lanc´e `a la surface de la terre. Soit (O,−→ i ,−→

j ,−→ k ) un repère orthonormé lié à la terre avec Oz vertical. On suppose qu’à l’instant initial t = 0 un projectile est au point O et qu’il est lancé avec une vitesse initiale −→

V (0) = (a, 0, b) avec a > 0 et b > 0. On pose −→g = (0, 0, g). Si m est la masse du projectile et −→γ son accélération alors −m−→g = m−→γ et donc −g = −→γ . Si la position du mobile à l’instant t ≥ 0 est donnée par (x(t), y(t), z(t)) alors x⁰⁰(t) = y⁰⁰(t) = 0 et z⁰⁰(t) = −g d’où, en tenant compte des conditions initiales, x(t) = at, y(t) = 0, z(t) = −g

2t²+ bt. Le mouvement a donc lieu dans le plan xOz et, par ´elimination de t,

z(x) = −g 2

x² a² + b

ax La trajectoire du projectile est donc un arc de parabole.

Donnons une suite `a cet exemple.

On suppose que le projectile est lancé en terrain horizontal et qu’il touche le sol en M . Quelle doit être la direction de la vitesse initiale, supposée de norme donnée, pour que OM soit maximum ?

Le segment OM a pour longueur la valeur absolue de la solution non nulle de −g 2

x² a²+b

ax = 0 d’o`u OM = 2

gab et OM est maximum si et seulemt si ab est maximum. On peut consid´erer que ab est la moiti´e de l’aire d’un triangle rectangle ABC avec AC = b, BC = a et BA =p

a²+ b². Si H est le pied de la hauteur issue de C alors ab = CHp

a²+ b² et, comme p

a²+ b² est constant, ab est maximum si et seulement si CH est maximum. Le segment CH a une longueur maximum lorsque [CH] est un rayon du cercle de diamètre [AB] et dans ce cas a = b. Donc OM maximum équivaut à a = b. La direction du lancé fait un angle de π

4 avec le plan horizontal.

5.2. Antennes paraboliques... Soit M un point d’une parabole de foyer F et de directrice D. Si Kest la projection de M sur D alors la tangente en M est la bissectrice intérieure de la paire de demi-droites {M K, M F }. La normale en M est donc la bissectrice extérieure. C’est cette propriété qui est à la base des antennes paraboliques, des antennes radars, des fours solaires, des phares de voitures,... . Si l’on considère une surface réfléchissante ayant la forme d’un parabolo¨ıde de révolution alors tout rayon (toute onde,..) qui arrive parallèlement à l’axe

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du parabolo¨ıde passe après réflexion par le foyer d’où une concentration importante de rayons (d’ondes,..) en ce point. Si maintenant le foyer est, par exemple, une source de lumière alors après réflexion cette lumière forme un faisseau cylindrique, l’axe du cylindre étant aussi celui du parabolo¨ıde. Dans le cas d’un phare de voiture, la forme spéciale du verre du phare fait que ce cylindre est élargi.

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188 16. LA PARABOLE