Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES de math
Ann´ee 2016-2017
Pr´ep. ´ecrit Analyse et proba – Fiche R` aN 2
Exercice 1.
1. R´eunion, intersection, compl´ementaire. SiC est un sous-ensemble d’un ensembleE, on noteC son compl´ementaire.
Soient Aet B deux sous-ensemble d’un ensembleE. ´Ecrire les ensemblesA\B, A∪B, A∩B, A∩B comme r´eunion ou intersection des ensembles A etB et de leur compl´ementaire.
2. Image et image r´eciproque. Soient E et F deux ensembles non vides et f : E → F une application.
(a) Pour tout sous-ensemble A deE, comparer A etf−1(f(A)).
(b) Pour tout sous-ensemble B deF, comparer B etf(f−1(B)).
(c) SoientAet ˜Adeux sous-ensembles deE. Comparerf(A∪A) et˜ f(A)∪f( ˜A), puisf(A∩A)˜ et f(A)∩f( ˜A).
(d) Soient B et ˜B deux sous-ensembles deF, comparerf−1(B∪B˜) etf−1(B)∪f−1( ˜B), puis f−1(B∩B) et˜ f−1(B)∩f−1( ˜B).
Exercice 2.SoitI un intervalle non vide deRetf :I →Rune application d´efinie sur I et `a valeurs r´eelles. ´Ecrire les propri´et´es suivantes `a l’aide de quantificateurs :
1. La fonction f s’annule.
2. La fonction f est toujours nulle.
3. La fonction f est croissante.
4. La fonctionf n’est pas monotone.
5. La fonctionf admet un minimum.
Nier les propri´et´es pr´ec´edentes.
Exercice 3.On note f :R→R, la fonction f :x7→x2. Expliciter les ensembles suivants : tan({0}); tan−1({0}); cos−1([0,1]); sin−1([0,1/2]); f−1([0,1]); f−1([2,4]); f−1([−1,4])
Exercice 4. On consid`ere l’application f : I → J, x 7→ x2, o`u I et J sont deux intervalles de R. D´eterminer I et J de sorte que f soit
1. Injective mais pas surjective.
2. Surjective mais pas injective.
3. Bijective.
Exercice 5.D´eterminer une primitive des fonctions suivantes : t7→ 1
t + 2
t2; t7→(1−t)(1 + 2t+ 4t2); t7→ 1 +t
4 +t2; t 7→5e2t+ 2e5t; t7→cos3t+ sin2t; t7→sh(3t); t7→ 1
√t + 1 t√
t; t 7→ 1 ch2t Montrer qu’une primitive det 7→1/√
1−t2 est la fonction arcsin.
Exercice 6.Int´egrer par parties : Z
xe−x dx;
Z
cos2x dx;
Z
(x2+x) sinx dx;
Z
lnx dx;
Z
arctanx dx;
Z
excosx dx(autre m´ethode ?) Exercice 7.Int´egrer `a l’aide d’un changement de variable :
1.
Z 1
x√
x2−1 dx (x= 1/t) 2.
Z 1
ex+ 1 dx (x=−lnt) 3.
Z
x(x2+ 1)5 dx (t =x2+ 1)
4.
Z 1
√e2x−1 dx (t=e−x) 5.
Z x2√
1 +x3 dx (t=x3) 6.
Z 1
3 + cos(2x) dx (t = tanx)
