Universit´e Claude Bernard–Lyon I CAPES de Math´ematiques : Analyse Ann´ee 2004–2005
Devoir n
◦1 Suites r´ ecurrentes
I Premi`ere partie
Dans chacun des exercices suivants, on fixe un intervalle I de R et une fonction continue f :I → I. On consid`ere les suites (un)n∈N d´efinies par la donn´ee de u0 ∈ I et la relation de r´ecurrence
un+1 =f(un) (n∈N).
On veut, fort classiquement, d´eterminer le comportement de la suite en fonction de son premier terme. La droite qu’on voit sur chaque graphe a toujours pour ´equation y=x.
1◦ Ici, I = [−1,+∞[. On fixe un r´eel a >0.
4
3
2
1
0
-1
4 3 2 1 0 -1
x variations
de f
−1 a +∞
0
+∞
: a
+ 0 −
signef(x)−x
(a) On suppose u0 ∈ [−1, a]. Montrer soigneusement que la suite (un)n∈N prend toutes ses valeurs dans [−1, a] et qu’elle est croissante. En d´eduire qu’elle converge, puis sa limite.
(b) Mener une ´etude analogue siu0∈[a,+∞[.
(c) Proposer une fonction f qui a le graphe et le tableau ci-dessus.
2◦ Ici, I = ]−1,+∞[. On fixe un r´eel a >0.
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1
x variations
de f
−1 a +∞
+∞
0 XX
XXX XX
XX XXz a
+ 0 −
signef◦f(x)−x
(a) On suppose de plus−1 < u0 ≤a. Montrer que la suite (u2n)n∈N prend ses valeurs dans ]−1, a].
(b) On suppose toujours que −1< u0 ≤a. Montrer que la suite (u2n)n∈N est croissante. En d´eduire qu’elle est convergente et sa limite.
(c) On suppose toujours que−1< u0 ≤a. Montrer de mˆeme que la suite (u2n+1)n∈Nconverge.
(d) On suppose toujours que −1 < u0 ≤a. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la suite (un)n∈N
converge et calculer sa limite.
(e) Que se passe-t-il siu0 ≥a?
(f ) Proposer une fonctionf qui a le graphe et le tableau ci-dessus.
1
3◦ On suppose qu’il existe un intervalle ferm´e I′ ⊂I, satisfaisant les propri´et´es suivantes :
• u0∈I′,
• I′ est stable parf,
• l’´equation f(x) =x poss`ede une solutionr dansI′,
• f est d´erivable sur I′ et il existe k∈]0,1[ tel que pourx∈I′,|f′(x)| ≤k.
Puisque f(r) =r, on dit que r est un point fixe de f. Puisque|f′(r)|<1, on dit quer est un point fixe attractif de f.
(a) Avec l’in´egalit´e des accroissements finis,1 montrer que (un)n∈Nconverge vers r.
(b) Montrer quer est l’unique solution de l’´equation f(x) =x sur I′. (c) Donner un exemple de tel intervalleI′ dans votre r´eponse `a 1◦(c).
(d) Montrer l’existence d’un tel intervalleI′ si on suppose quef est de classeC1 surI et qu’il existe r∈I tel quef(r) =r et|f′(r)|<1. Que peut-on dire si |f′(r)|= 1 ?
4◦ Ici, I = [0,2]. La fonction f d´ecroˆıt strictement sur I, f(0)<2,f(2) = 0. Il existe trois r´eels r,r1 etr2 tels que :
0< r1 < r < r2 <2, f(r) =r, f◦f(r1) =r1, f ◦f(r2) =r2. De plus, les r´eels r1 etr2 sont les seules solutions de f◦f(x) =x.
(a) D´emontrer que l’on af(r1) =r2. Que vautf(r2) ? On donne de plus le graphe de f et le tableau suivant :
0 r1 r r2 2
Partie ]0, r1[ r1 ]r1, r[ r ]r, r2[ r2 ]r2,2[
Signe de
f◦f(x)−x + 0 − 0 + 0 −
Image par
f dans ]r2,2[ r2 ]r, r2[ r ]r1, r[ r1 ]0, r1[ Image par
f◦f dans ]0, r1[ r1 ]r1, r[ r ]r, r2[ r2 ]r2,2[
(b) En distinguant plusieurs (7) cas selon les valeurs de u0, ´etudier le comportement de (u2n)n∈N.
(c) En d´eduire le comportement suivant de la suite (un)n∈N :
• si u0 =r, la suite stationne ;
• si u0 6=r, les suites extraites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N convergent vers r1 etr2.
Il se trouve que l’on a|(f ◦f)′(ri)|<1 (i= 1,2). On dit que {r1, r2} est un cycle attractif.
II Deuxi`eme partie (on pourra sauter 7◦)
Soit aun r´eel strictement positif fix´e. On notef : [0,1]→Rla fonction d´efinie par :
∀x∈[0,1], f(x) =ax(1−x).
On fixe x0∈[0,1] et on consid`ere la suite (xn)n∈N d´efinie par : ∀n∈N, xn+1=f(xn).
1◦ Restrictions sur a
(a) Tracer le tableau de variations def.
(b) Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :
• pour toute valeur de x0 ∈[0,1], tous les termes de la suite (xn)n∈N appartiennent `a [0,1] ;
• pour tout x∈[0,1], on af(x)∈[0,1] ;
• a∈]0,4].
D´esormais, on supposera que a∈]0,4].
1Certes, on ne l’a pas encore revue, mais c’est l’exercice typique de... Terminale !
2
2◦ Cas 0< a≤1
Montrer que la suite (xn)n∈N est d´ecroissante et qu’elle converge. Quelle est sa limite2 ? 3◦ Formule explicite dans le cas a= 2
(a) Montrer que sia= 2, on a3 :
∀n∈N, xn= 1 2
1−(1−2x0)2n .
(b) Quelle est la limite de (xn)n∈N ? 4◦ Pr´eparatifs (1< a≤4)
(a) V´erifier que poura6= 1, f poss`ede un unique point fixe non nulya. D´eterminer sa valeur, ainsi que f′(ya).
On pose y1= 0. On donne les variations des fonctions a7→ya eta7→f′(ya) : a
:
−∞
0
0 1
1 2
2
2 3
3
3 4
4
variations de ya
XX XX
XX XXX
XX XX
XX XX
XX XX
XXXz 2
−2 1
−1 variations
de f′(ya)
(b) Pour quelles valeurs deaa-t-on : |f′(ya)|<1 ? Compte-tenu de I3◦, `a quel comportement s’attend-on pour la suite (xn)n∈N pour ces valeurs dea?
(c) V´erifier que ya poss`ede exactement deux ant´ec´edents ya et ya′. Comparer ya, ya′ et 1/2 (discuter selon la valeur dea).
5◦ Cas 1< a <2
On donne le tableau suivant :
1< a <2
x 0 1
0 0
1/2 a/4
ya y′a
1 P PP
PP PP
PP PP
PP PPPq
ya ya
variations de f
0 +
signe 0 f(x)−x
(a) On suppose que x0 ∈ ]0, ya[. Montrer que la suite (xn)n∈N est strictement croissante et d´eterminer sa limite.
(b) Etudier de mˆeme les casx0∈]ya,1/2] (facile) et x0 >1/2 (attention).
2On pourra chercher dans la fiche “Majorer” un ´equivalent dexn, au moins lorsquea <1.
3NB: les seules valeurs deapour lesquelles on dispose d’une telle formule sont−2, 2 et 4.
3
6◦ Cas 2< a <3
(a) Factoriser le polynˆomef◦f(x)−x. (On remarquera que 0 etyasont racines de ce polynˆome, donc ax−a+ 1 divise f◦f(x)−x.)
(b) D´eterminer, selon la valeur dea∈]1,3[, le signe def◦f(x)−x en fonction de x∈[0,1].
(c) Etablir un tableau analogue `a celui de 5◦. On y fera figurer ´egalement le signe def◦f(x)−x.
Les graphes suivants pourront servir de garde-fous...
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2< a <3 : graphe de f 2< a <3 : graphe de f etf ◦f ya attractif f ◦f(x) =x⇒f(x) =x (d) V´erifier que l’intervalle [1/2, a/4] est stable par f et qu’il contientya.
(e) On suppose quex0 ∈[1/2, a/4]. Montrer que les suites (x2p)p∈N et (x2p+1)p∈N sont mono- tones et convergent vers ya. Qu’en d´eduit-on ?
(f ) Montrer que pour tout x0 ∈ {0,/ 1}, il existe n0 tel que xn0 ∈ [1/2, a/4]. En d´eduire la limite de (xn)n∈N.
7◦ Cas 3≤a≤4
(a) On utilise le vocabulaire du CAPES 1998 et, autant que possible, les calculs de 4◦. D´eterminer, selon les valeurs de a:
• si ya est attractif ou r´epulsif ;
• s’il existe un cycle de longueur 2 (i.e. deux points z et ˜z tels quef(z) = ˜z,f(˜z) =z) ;
• si ce cycle est attractif ou r´epulsif (i.e. si|(f ◦f)′(z)|<1 et |(f◦f)′(˜z)|<1).
Quel est, selon vous, le comportement de la suite (xn)n∈N ?
(b) Lire la suite de l’histoire sur http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html.
III Troisi`eme partie : CAPES 1998, I et II (oublier I.5)
Voici quelques indications `a tout hasard. Dans les premi`eres questions de I, on cherche `a savoir o`u l’on peut prendrex0 pour que la suite (xn)n∈N soit bien d´efinie.
L’id´ee, c’est que
• x∈I1 SSI f(x) est bien d´efini ;
• x∈Ip+1 SSIx∈I et f(x)∈Ip ;
• x∈I2 SSI f(x) est bien d´efini et sif(f(x)) est bien d´efini ;
• (v´erifier par r´ecurrence) x∈Ip SSI f(x),f(f(x)),. . . ,f(f(. . .(f(x). . .) sont bien d´efinies.
Mais ceci ne doit pas ˆetre utilis´e comme argument de preuve.
La partieIp est donc la plus grande partie deI sur laquelle on peut it´ererpfoisf. Ceci devrait aider `a donner un sens `a I.1.1 et I.1.2.
Dans I.3, constater que fp n’est pas la compos´ee de f avec elle-mˆeme, p fois, pour cause d’ensemble de d´efinition. En particulier, les ensembles de d´efinitions defp◦f et def◦fp sont a priori diff´erents, on ne saurait donc utiliser la relation fp◦f =f◦fp. Pour la suite, la seule r´ecurrence raisonnable porte sur n...
On soignera particuli`erement I.2, en s´eparant condition n´ecessaire et condition suffisante pour chaque partie de la question.
4
