D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Examen Final: R´eponses

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

c 2011, Steve Ambler Hiver 2012

1 R´eponses courtes (15 points)

1. La contrainte est une fonctionnon lin´eairedes param`etres du mod`ele. On ne peut pas l’´ecrire sous la formeRβ =ro`uRest une matrice (vecteur dans ce cas) de dimensionsq×(k+ 1)et o`urest un vecteur de

dimensionsq×1o`uqest le nombre de restrictions. On ne peut donc utiliser un testtou un testF pour tester la restriction. Il y a des fac¸ons plus compliqu´ees qu’on peut utiliser pour effectuer des tests semblables, mais cela d´epasse le cadre de ce cours.

2. Pour effectuer n’importe quel test d’une hypoth`ese jointe, il faut connaˆıtre la matrice variance-covariance compl`ete des coefficients estim´es, qui n’est pas normalement fournie par l’article en question. On peut utiliser le test Bonferronique l’on mentionne dans les notes et qui est d´ecrit en d´etail dans l’annexe au chapitre 7 du manuel. Il n’est pas aussi puissant qu’un test qui utiliser l’information concernant les covariances entre les param`etres estim´es, mais il permet d’arriver `a un crit`ere pour rejeter l’hypoth`ese nulle qui ne sousestime pas lap-value du test. Pour cette raison, il ne m`ene pas trop souvent `a rejeter l’hypoth`ese nulle lorsqu’elle est vraie. Il ne fallait pas donner tous ces d´etails pour avoir tous les points.

3. Le deuxi`eme mod`ele est une version contrainte du premier mod`ele. Si on impose la restrictionβ<sub>1</sub> =−β<sub>3</sub>dans le premier mod`ele, on a un mod`ele qui ´equivaut au deuxi`eme. Puisque le deuxi`eme mod`ele est donc une version contrainte du premier, saSSRdoit ˆetre au moins aussi ´elev´ee (et fort probablement strictement plus ´elev´ee).

2 Propri´et´es d’estimateurs (15 points)

1. L’estimateur converge en probabilit´e `a la valeurβ. On peut pr´esumer queβ est la vraie valeur du param`etre dans la population. Il s’agit donc d’un estimateur convergent. Sa distribution ´echantillonnale est de plus en plus concentr´ee autour de cette vraie valeur. Techniquement (pas n´ecessaire pour avoir tous les points), la probabilit´e que l’estimateurβˆse retrouve dans un intervalle arbitrairement petit autour deβtend vers un lorsque le nombre d’observations tend vers l’infini.

2. L’estimateur converge en distribution `a une variable al´eatoire qui ob´eit `a une loi normale dont la moyenne estβ et dont la variance est ´egale `aσ_β². Implicitement, on suppose qu’on a normalis´e l’estimateur pour empˆecher sa variance de diminuer avec le nombre d’observations.

3. On parle d’efficience relative dans le cadre d’estimateurs non biais´es. Donc il faut que les conditions pour l’absence de biais de l’estimateur tiennent, notamment l’esp´erance conditionnelle nulle des termes d’erreur du mod`ele (E(u<sub>i</sub>|X<sub>i</sub>) = 0, o`uX_iest l’i`eme observations sur les variables explicatives X. Il faut aussi que la variance conditionnelle des erreurs soit constante (l’hypoth`ese d’homosc´edasticit´e) :

Var(u_i|X_i) = σ²_u.

Sous ces conditions, c’est le th´eor`eme Gauss-Markov qui nous dit que l’estimateur MCO est le plus efficient parmi les estimateurs lin´eaires.

4. Gr˜ace au th´eor`eme de Slutsky, on peut dire tout de suite que le produit converge au produit d’une constante (on peut traiterY comme une

constante asymptotiquement) fois une variable al´eatoire qui ob´eit `a une loi normale. Donc, on peut dire que

Y Z −→^d N Y µ¯ _Z , Y¯²σ²_Z .

Notez qu’il s’agit d’une application standard des r`egles pour le calcul d’esp´erances et de variances.

3 Mod`ele de r´egression multiple (50 points)

Cette question ne contient aucune surprise. Elle est bas´ee sur la compr´ehension de l’output standard de l’estimation d’un mod`ele conventionnel. Les

sous-questions couvrent ce tout ´econom`etre appliqu´e aura `a faire dans son travail de tous les jours.

1. Le calcul de l’´ecart type de la r´egression est bas´e sur laSSR, la somme des r´esidus au carr´e, qui est fournie. Une expression pour l’´ecart type de la r´egression est donn´ee par

r 1

n−k−1SSR.

2. Lorsqu’on teste la significativit´e d’un coefficient, l’hypoth`ese nulle est toujours que sa valeur est ´egale `a z´ero et l’hypoth`ese alternative est (presque) toujours bilat´erale. Pour le coefficient estim´eβˆ_i, la statistique sera de la forme

tβˆi =

βˆ_i−0 ˆ σ_βˆ

i

.

Les valeurs num´eriques sont : t_βˆ

1 : 0.299 0.069; tβˆ2 : 0.412

0.051; tβˆ3 : 5.298

0.364.

3. Toutes les statistiques ont une valeur (absolue) plus grande que 4. Donc ont peut dire tout de suite qu’elles ont desp-values largement inf´erieures `a 0.01, et donc on va rejeter `a un taux marginal de significativit´e de 1%, puisque

Pr(|z|>4) = 2Φ (−4)<0.01,

o`uzest une variable al´eatoire venant de la distribution normale centr´ee r´eduite etΦ (z)est la valeur de la distribution normale centr´ee r´eduite cumul´ee ´evalu´ee au pointz.

4. C’est un test de lasignificativit´e de la r´egressiono`u l’hypoth`ese nulle est que tous les coefficients saufβ₀sont ´egaux `a z´ero, et l’hypoth`ese alternative est qu’au moins un des coefficients a une valeur non nulle, autrement dit nous avons

H₀ :β₁ =β₂ =β₃ = 0, et

H₁ :β₁ 6= 0 et/ouβ₂ 6= 0et/ouβ₃ 6= 0.

5. L’hypoth`ese nulle peut s’´ecrire





0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1











 β0

β₁ β₂ β3









=



 0 0 0





6. Le tableau indique le nombre de degr´es de libert´e. On litF (3,1656), ce qui veut dire que la statistique est pour un nombre d’observationsfiniet o`u 3donne le nombre de restrictions qui sont test´ees. Donc, on suppose ici une statistique qui ob´eit `a une loitF avec un nombre fini d’observations. Il ne s’agit pas de la convergence en distribution et donc il ne s’agit pas de l’inf´erence asymptotique.

7. Il ne devrait y avoir presqu’aucune diff´erence entre la valeur de la distribution cumul´ee pourF(3,1656)etF (3,∞). En fait, au del`a de quelques centaines d’observations, la diff´erence entre lap-value pour la distribution exacte et lap-value asymptotique devrait ˆetre n´egligeable. Je vous ai conseill´e de regarder les tables de la distributionF pour avoir une id´ee des diff´erences qu’il peut y avoir entre les valeurs de laF cumul´ee pour des nombres diff´erents d’observations. Ceux qui ont suivi ce conseil ne devaient avoir aucune difficult´e `a r´epondre `a cette question.

8. Le param`etreβ<sub>1</sub>donne l’impact de la grandeur du p`ere. Le param`etreβ<sub>2</sub> donne l’impact de la grandeur de la m`ere. Un test de leur significativit´e jointe revient `a tester

H₀ :β₁ =β₂ = 0.

Sous forme matricielle, l’hypoth`ese peut s’´ecrire 0 1 0 0

0 0 1 0







 β₀ β₁ β₂ β₃









= 0

0

9. La version contrainte du mod`ele serait un mod`ele o`u la grandeur des parents n’affecte pas la grandeur de l’individu. Le mod`ele peut s’´ecrire

Y_i =β₀+β₃X_3i+u_i.

Ici, j’aurais pu utiliser une autre notation pour le terme d’erreur puisque ce n’est pas le mˆeme mod`ele que le mod`ele non contraint, mais je crois que c’est clair `a partir du contexte.

10. La statistiqueF peut ˆetre bas´ee sur le calcul duR² des deux mod`eles ou le calcul de laSSRdes deux mod`eles. Les deux calculs sont ´equivalents. Il ne fallait pas donner les formules pour avoir tous les points, mais elles sont (voir les notes sur le mod`ele de r´egression multiple) soit

F = (SSR_restricted−SSRunrestricted)/q SSRunrestricted/(n−kunrestricted−1), soit

F = (R²unrestricted−R²_restricted)/q

(1−Runrestricted² )/(n−kunrestricted−1).

11. Il faut introduire des termes d’interaction entre le sexe de l’individu et la grandeur des parents, tout en conservant dans le mod`ele toutes les variables explicatives du mod`ele initial. Le mod`ele peut s’´ecrire

Yi =β0+β1X1i+β2X2i+β3X3i+β4X1iX3i+β5X2iX3i+ui. Encore une fois, j’aurais pu changer de notation pour souligner le fait qu’il s’agit d’un mod`ele diff´erent, mais ceci devrait ˆetre clair `a partir du

contexte.

12. L’hypoth`ese nulle `a tester est

H₀ :β₄ =β₅ = 0.

Sous forme matricielle l’hypoth`ese peut s’´ecrire

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1















 β₀ β₁ β₂ β₃ β₄ β₅

















= 0

0

13. Il s’agit tout simplement de l’intervalle de confiance de 95% pour notre estim´eβˆ₂ qui donne l’impact de la grandeur de la m`ere. Vous ´etiez

nombreux `a penser que la question ´etait beaucoup plus compliqu´ee qu’elle ne l’est. Cet intervalle peut s’´ecrire

βˆ₂ ±z₀σˆβˆ2

o`uz₀ >0est la valeur tel que

2Φ (−z₀) = 100−95 100

avecΦ (−z₀)(comme d’habitude) la loi normale centr´ee r´eduite cumul´ee

´evalu´ee au point−z₀.

14. Une ellipse. C’est dans les notes de cours et c’est dans le manuel.

4 Mod`eles de r´egression non lin´eaires (20 points)

1. Nous avons

∂Y_i

∂β₀ = 1;

∂Y_i

∂β₁ =X_1i;

∂Y_i

∂β2

=X_1i²;

∂Y_i

∂β₃ =X2i.

Ces d´eriv´ees ne d´ependent pas desβ_i. Pour cette raison, le mod`ele est non lin´eaire dans les variables (X1iest au premier et au deuxi`eme degr´es) mais non dans les param`etres.

2. Nous avons

Yˆ₂ = ˆβ₀+ ˆβ₁X₁₂+ ˆβ₂X₁₂²+ ˆβ₃X₂₁ et

Yˆ₁ = ˆβ₀+ ˆβ₁X₁₁+ ˆβ₂X₁₁²+ ˆβ₃X₂₁ Soustrayant,

Yˆ₂−Yˆ₁ ≡∆ ˆY = ˆβ₁(X₁₂−X₁₁) + ˆβ₂ X₁₂²−X₁₁²

≈βˆ₁(X₁₂−X₁₁) + 2X₁₁βˆ₂(X₁₂−X₁₁)

≡∆X₁

βˆ₁ + 2X₁₁βˆ₂

o`u nous avons utilis´e l’approximation fournie.

3. En notation matricielle nous avons

∆ ˆY = ∆X₁

0 1 2X₁₁ 0









 βˆ0

βˆ₁ βˆ₂ βˆ3











≡∆X₁δβˆ

Notez que l’expression du cˆot´e droit de l’´egalit´e, mˆeme si c’est en notation matricielle, est unscalaire. Ceci est logique puisque∆ ˆY est un scalaire.

J’ai lu plusieurs r´eponses o`u ce n’´etait pas le cas.

4. Nous avons

Var

∆ ˆY

=Var

∆X₁δβˆ

= (∆X1)²Var

δ

βˆ−β

= (∆X₁)²E

δ

βˆ−β βˆ−β0

δ⁰

= (∆X₁)²δE

βˆ−β βˆ−β0 δ⁰

≡(∆X₁)²δΣˆ_βˆδ⁰.

Notez qu’il s’agit d’applications successives de nos r`egles de base pour le calcul d’esp´erances et de variances.

5. Nous venons de calculer la variance de∆ ˆY. Appelons cette varianceσˆ²

∆ ˆY . L’intervalle de confiance de 95% peut s’´ecrire

∆ ˆY ±z₀σˆ_{∆ ˆY}

o`u comme d’habitude

2Φ (−z0) = 100−95 100 .

6. Le mod`ele peut s’´ecrire

Y_i =β₀+ (β₁+X₁₁β₂)X_1i+β₂ X_2i²−X₁₁X_1i

+β₃X_3i+u_i. ou

Y_i =β₀+γX_1i+β₂Z_i+β₃X_3i+u_i. avec

γ ≡β₁+X₁₁β₂, Z_i ≡X_2i²−X₁₁X_1i.

Le mod`ele est ´equivalent au mod`ele initial mais le coefficient associ´e `aX_1i est celui dont l’´ecart type est n´ecessaire pour calculer l’intervalle de

confiance.

5 Variables instrumentales (15 points)

1. La formule pour l’estimateur est la formule standard pour l’estimateur MCO mais utilisant les variables transform´ees :

βˆ_{V I} =

X˜⁰X˜−1

X˜⁰Y .˜

2. Substituant les d´efinitions deX˜ etY˜ nous obtenons βˆ_{V I} =

X˜⁰X˜−1

X˜⁰Y .˜

=

W(W⁰W)⁻¹W⁰X0

W(W⁰W)⁻¹W⁰X⁻¹

W(W⁰W)⁻¹W⁰X0

W(W⁰W)⁻¹W⁰Y

=

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰X−1

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰Y

=

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰X−1

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰Y ce qui fut `a d´emontrer

3. Nous avons βˆ_{V I} =

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰X−1

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰(Xβ+U)

=β+

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰X−1

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰U.

4. Nous avons

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰X⁻¹

X⁰W(W⁰W)⁻¹W⁰U

= X⁰W n

W⁰W n

⁻¹ W⁰X

n

!−1

X⁰W n

W⁰W n

⁻¹ W⁰U

n .

Si ^X_n^0W et ^W_n^0W convergent `a leurs moments dans la population, alors par le th´eor`eme de Slutsky l’expression converge en probabilit´e `a z´ero (un

vecteur de z´eros), et l’estimateur est convergent.

document cr´e´e le : 06/05/2012