ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2010, Steve Ambler Hiver 2010
Je vous demande d’´ecrirelisiblement. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Lorsque je vous demande de justifier votre r´eponse, il va de soi que la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.
La documentation n’est pas permise. Seules les calculatrices simples (sans ´ecran graphique) sont permises. Vous n’ˆetes pas oblig´es de simplifier les solutions des calculs num´eriques (donc, en principe, vous n’avez pas vraiment besoin de calculatrice). Vous avez trois heures.
1 Variances et covariances (10 points)
SoitY1,Y2 etY3 trois variables al´eatoires avec des moyennes et des variances finies. Soita1,a2,a3,b1,b2 etb3des constantes arbitraires.
A partir des d´efinitions de la variance et de la covariance, ´ecrire l’expression` Var
3
X
i=1
(ai+biYi)
!
en fonction des variances des trois variables al´eatoires et des covariances entre elles.
2 Distributions de probabilit´e jointes (15 points)
Vous tirez une carte d’un jeu de cartes standard (52 cartes). SoitXla variable al´eatoire qui prend la valeur de 1 lorsque la carte est rouge et 2 lorsque la carte est noire. Ensuite, vous jetez un nombre de d´es (ordinaires et non truqu´es) o`u le nombre correspond `a la valeur deX. SoitY la variable al´eatoire qui prend la valeur de 1 si le nombre total de points est inf´erieur `a 6 et 2 si le nombre de points est au moins ´egale `a 6. Indice (1) – Si vous jetez deux d´es, il y a 36 r´esultats possibles tenant compte de l’ordre, `a savoir (1,1), (1,2), . . . (1,6), (2,1), (2,2), . . . (2,6), . . . (6,1), (6,2), . . . (6,6). Chaqu’un de ces r´esultats est
´equiprobable. Indice (2) – La probabilit´e d’un r´esultat joint peut ˆetre calcul´ee utilisant la formule habituelle suivante :
Pr(Xi , Yj) = Pr(X =Xi)·Pr(Y =Yj|X =Xi).
Pour toutes les sous-questions ci-dessous, montrez explicitement votre travail.
1. Faites un tableau avec tous les r´esultats joints distincts possibles et les probabilit´es qui y sont associ´ees.
2. Illustrez sur le tableau les distributions de probabilit´e marginales deXet deY.
3. Calculez l’esp´erance conditionnelle deY siX = 1.
4. Calculez l’esp´erance conditionnelle deY siX = 2.
5. Calculez l’esp´erance conditionnelle deX siY = 2.
6. Est-ce que les deux variables al´eatoires sont ind´ependantes ? Justifiez votre r´eponse.
3 Estimateur de la variance d’une variable al´eatoire (15 points)
Soit la variable al´eatoireY qui est i.i.d. avec E(Y) = µY et avec une variance finie :
Var(Y) =σY2.
Soit l’estimateur de la variance donn´ee par s2 ≡ 1
n−1
n
X
i=1
Yi−Y¯2
o`uY¯ est la moyenne ´echantillonnale deY pour un ´echantillon de donn´ees de taillen. Nous savons (je ne vous demande pas de la montrer !) ques2 est un estimateur non biais´e et convergent deσ2. Nous voulons faire de l’inf´erence `a propos de notre estimateurs2, c’est `a dire tester des hypoth`eses concernant sa valeur. Soitσs22 la vraie variance de l’estimateurs2.
1. Sis2est un estimateur convergent deσ2Y, comment devrait se comporter σs22 au fur et `a mesure que la taille de l’´echantillon augmente ?
2. ´Ecrivez une statistique que nous pourrions utiliser pour tester des hypoth`eses concernant la valeur deσY2. Pour le moment, vous pouvez supposer que la valeur deσs22 est connue.
3. `A quelle loi ob´eit la statistique de la partie pr´ec´edente ?
4. Maintenant, supposez que vous devez estimer la valeur deσs22. Appelons ˆ
σs22 un estimateur convergent deσs22. ´Ecrivez une statistique que nous pourrions utiliser pour tester des hypoth`eses concernant la valeur deσ2Y. 5. `A quelle loi ob´eit la statistique de la partie pr´ec´edente ?
6. Quelle est la diff´erence entre vos r´eponses aux parties 3 et 5 ? Expliquez pourquoi les r´eponses sont diff´erentes ou non. Avez-vous utilis´e (au moins implicitement) un th´eor`eme pour r´epondre `a cette partie de la question ? Laquelle ?
4 R´egression simple : tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (45 points)
Vous avez une population d’individus dont certains d´etiennent des diplˆomes universitaires et certains n’en d´etiennent pas. Soit la variable dichotomiqueDi qui est mesur´ee de la fac¸on suivante.Di = 1si l’individu a (au moins) un diplˆome universitaire etDi = 0si l’individu ne d´etient aucun diplˆome
universitaire.Yi est le revenu annuel de l’individu mesur´e en milliers de dollars.
Consid´erez le mod`ele de r´egression suivant : Yi =β0+β1Di+ui.
Vous avez obtenu les estim´es suivants :
Param`etre β0 β1
Valeur estim´ee 18.12 4.34
Ecart type´ 1.79 2.29
Somme totale des carr´es (TSS) : 9321.6 Somme des r´esidus carr´es (SSR) : 1104.7 Nombre total d’observations : 3743 Nombre d’observations o`uDi = 1: 1246
SoitΦ(z)≡P r(Z ≤z)pour une variable al´eatoireZ qui suit une distribution normale standardis´ee cumul´ee.
1. Si vous aviez des donn´ees sur le nombre d’ann´ees de formation et la diplˆomation (moins qu’un diplˆome d’´ecole secondaire, diplˆome d’´etudes coll´egiales, premier cycle, deuxi`eme cycle, troisi`eme cycle) est-ce que vous pourriez obtenir des estim´es plus pr´ecis de l’impact de l’´education sur le revenu ? Expliquez. Je veux une r´eponse intuitive (en mots) et non une explication math´ematique.
2. Donnez une interpr´etation ´economique deβˆo. 3. Donnez une interpr´etation ´economique deβˆ1.
4. ´Ecrivez une statistique que nous pourrions utiliser pour tester l’hypoth`ese nulleβˆ1 = 0contreβˆ1 6= 0.
5. Quelle est la loi (distribution) `a laquelle la statistique ob´eit. Justifiez votre r´eponse.
6. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus. (Puisque vous n’avez pas acc`es `a une table de la distribution normale standardis´ee, vous ne pouvez pas trouver une valeur num´erique pour cette p-value, ni pour les autres qui vont suivre.)
7. ´Ecrivez une statistique que nous pourrions utiliser pour tester l’hypoth`ese nulleβˆ1 = 3.0contreβˆ1 >3.0.
8. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus.
9. ´Ecrivez une expression pour l’intervalle de confiance de95%pourβˆ1 et d´ecrivez en d´etail comment vous y arrivez. Vous n’ˆetes pas oblig´es de trouver une valeur num´erique.
10. Expliquez bri`evement la diff´erence entre ´ecart type robuste et ´ecart type sous l’hypoth`ese de l’homosc´edasticit´e. Il n’est pas n´ecessaire d’´ecrire les formules.
11. ´Ecrivez une expression qui donne la mesureR2 de l’ajustement statistique de la r´egression.
12. ´Ecrivez une expression pour l’´ecart type de la r´egression.
13. Soit
– µ1 le salaire moyen des individus sans diplˆome universitaire.
– Y¯1 la moyenne ´echantillonnale des salaires des individus sans diplˆome universitaire de notre ´echantillon
– µ2 le salaire moyen des individus avec au moins un diplˆome universitaire – Y¯2 la moyenne ´echantillonnale des salaires des individus avec au moins
un diplˆome universitaire de notre ´echantillon
– σ12la variance du salaire des individus sans diplˆome universitaire – s21 un estimateur convergent de cette variance
– σ22la variance du salaires des individus ayant au moins un diplˆome universitaire
– ets22un estimateur convergent de cette variance
– n1 le nombre d’individus sans diplˆome universitaire dans notre
´echantillon
– n2 le nombre d’individus avec diplˆome universitaire dans notre
´echantillon
Si les observations de l’´echantillon sont ind´ependantes, ´ecrivez une expression pour la variance deY¯2−Y¯1 siσ12 etσ22sont connus.
14. ´Ecrivez une expression pour un estimateur convergent de la variance de Y¯2−Y¯1s’il faut estimerσ12etσ22.
15. ´Ecrivez la statistique que nous pourrions utiliser pour tester l’hypoth`ese µ1 =µ2 contre l’hypoth`ese alternativeµ1 6=µ2.
16. Est-ce que la statistique de la partie pr´ec´edente devrait ˆetre tr`es diff´erente (en valeur num´erique) de la statistique de votre r´eponse `a la partie 4 de la question ? Expliquez en mots votre raisonnement.
5 R´egression simple : estimateurs non biais´es (15 points)
Soit le mod`ele de r´egression simple suivant : Yi =β0+β1Xi+ui,
o`u lesYi, lesXi et lesuisatisfont les hypoth`eses du mod`ele de r´egression simple du chapitre 4. Soit l’estimateur deβ1suivant :
β˜1 ≡ 1 n
n
X
i=2
Yi−Y¯ Xi −X¯. 1. Montrez queβ˜1est une fonction lin´eaire desYi.
2. Montrez queβ˜1est un estimateur non biais´e deβ1. (Indice : cette partie est plus difficile que le reste de l’examen. C’est voulu. Pour trouver la r´eponse, SubstituezYidans la d´efinition de l’estimateur et simplifiez.)
3. Question bonus. Montrez la convergence de l’estimateurβ˜1.
4. Qu’est-ce que nous pouvons dire concernant la variance deβ˜1 versus la variance deβˆ1, l’estimateur MCO deβ1?
cr´e´e le : 17/02/2010
