www.etude-generale.com TCSI Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
La projection dans le plan
Projection sur une droite
Projection sur une droite parallèlement à une autre droite
Dé…nition 1 .
Soient (D) et ( ) deux droites sécantes en un point O, et M un point du plan.
La projection du point M sur la droite (D) parallèlement à la droite ( ) est le point M0 intersection de la droite (D) et de la parallèle à ( ) passante par le point M:
La facon par laquelle on associe un point M du plan par sa projection M0 sur la droite (D)parallèlement à la droite ( )s’appelle la projection sur la droite (D)parallèlement à ( ):
Remarque 2 Si M est un point de la droite (D) alors sa projection sur la droite (D) parallèlement à ( ) est lui même.
La projection orthogonale sur une droite
Dé…nition 3 .
La projection d’un point M sur une droite (D) parallèlement à une droite orthogonale ( ) s’appelle la projection orthogonale sur ( ):
1
Projection d’un segment
Propriété 4 Soient A et B deux points distincts du plan et A0 et B0 sont leurs projections respectives sur(D)parallèlement à ( ), la projection du segment[AB]est le segment[A0B0]: Propriété 5 Si A0 et B0 sont les projections respectives de A et B sur une droite (D) parallèlement à une droite ( ) alors la projection du point I milieu du segment [AB] est le pointI0 milieu du segment[A0B0]est on dit que la projection sur une droite(D)parallèlement à une droite ( ) conseve le milieu.
Théorème de Thalès
Théorème de Thalès direct
Soient
A; B etM trois points alignés.
A; N et C trois points alignés.
(M N)q(BC):
Donc AM
AB = AN
AC = M N BC
2
Réciproque du théorème de Thalès
Soient
A; M et B trois points alignés.
A; N et C trois points alignés.
A; M et B sont dans le même ordre queA; N et C:
AM AB = ANAC
Donc
(M N)q(BC)
Projection et coe¢ cient de colinéarité de deux vecteurs
Propriété 6 A; B , C et D quatre points du plan et A0; B0; C0 et D0 leurs projections respectives sur (D) parallèlement à ( ).
Si: !
AB = !
CD alors: !
A0B0 = ! C0D0
Propriété 7 A; B , C et E quatre points du plan et A0; B0; C0 et E0 leurs projections respectives sur (D) parallèlement à ( ):
Si:AB!= CE alors! : !
A0B0 = ! C0E0
On dit que la projection conserve le coe¢ cient de colinéairité de deux vecteurs.
Résultat
Propriété 8 Soient (D) et ( ) deux droites sécantes du plan, la projection sur la droite (D)parallèlement à la droite ( ) ne conserve pas la distance. Autrement dit siA0 et B0 sont les projections respectives de A et B alors A0B0 n’est pas nécessairement égale à AB:
A0B0 =AB si et seulement si (A6=B) et (AB)k(D):
Exemple 9 ABC est un triangle et Dun point du(BC)n’appartient pas au segment[BC]: On considère le point M dé…ni par : AM!= 23AD! . Le point P est le projeté du point D sur(AC)parallèlement à(M C). Le pointQest le projeté du pointDsur(AB)parallèlement à (M B):
1. Faire une …gure.
2. Montrer que : !
AC = 23 ! AP : 3. Montrer que : !
AB = 23 ! AQ:
Exemple 10 Soit ABC un triangle et M; N deux points tels que : AM!= 13AB! et AN!=
2 3
AB:!
3
E est le projeté deM sur (AC) parallèment à (BC): F est le projeté de N sur (AC) parallèlement à(BC):
1. Faire une …gure.
2. Montrer que : AF!= 32AC! et AE!= 13AC:! 3. Déduire que : !
EF = ! CA:
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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