Les ensembles de nombres tronc commun

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www.etude-generale.com TCSI–CRPE Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Les ensembles de nombres

Les ensembles N ; Z ; ID; Q et R

Les nombres entiers naturels : N

Dé…nition 1 Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L’ensemble des nombres entiers naturels est noté N:

N=f0;1;2;3; :::g Exemple 2 :

42N 22=N

Les nombres entiers relatifs : Z

Dé…nition 3 Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif.

L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z.

Z=f:::; 3; 2; 1;0;1;2;3; :::g Exemple 4 :

22Z 52Z

0;334 2= Z

Remarque 5 Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturelsNappartiennent à l’ensemble des entiers relatifsZ. On dit que l’ensembleNest inclus dans l’ensemble Z:On note:N Z:

Les nombres décimaux : ID

Dé…nition 6 Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre …ni de chi¤res après la vir- gule. L’ensemble des nombres décimaux est noté ID:

ID =n a

10ⁿ= a2Z et n 2No Exemple 7 :

(2)

0;562ID 32ID

1 3 2= ID

3 4 2ID

Remarque 8 Tous les nombres de l’ensemble des entiers relatifsZappartiennent à l’ensemble des nombres décimaux ID. On dit que l’ensembleZ est inclus dans l’ensemble ID: On note : Z ID: On obtient :

N Z ID

Les nombres rationnels : Q

Dé…nition 9 Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient ^a_b avec a un entier et b un entier non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté Q.

Q=na

b= a2Z et b2N o Exemple 10 :

1 3 2Q 42Q

4;82Q p22=Q

Remarque 11 Tous les nombres de l’ensemble des nombres décimaux ID appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels Q. On dit que l’ensemble ID est inclus dans l’ensemble Q: On note : ID Q: On obtient :

N Z ID Q

Les nombres réels : R

Dé…nition 12 Un nombre est irrationnel lorsqu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.

Exemple 13 : p2; p

3 et p

17::: irrationnels.

est un nombre irrationnel.

Dé…nition 14 Un nombre réel est un nombre qui est soit rationnel soit irrationnel. R est l’ensemble des nombres réels.

(3)

Exemple 15 2; 0; 5; 0;67;¹₃;p

3; et appartiennent à R: Remarque 16 :

l’ensemble Q est inclus dans l’ensemble R: On note : Q R: On obtient: N Z ID Q R

Ensemble vide

Dé…nition 17 Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ensemble vide et se note ?:

Exercice d’application 18 :

On considère les nombres suivants : 225

5 ;

p20²

10² ; p

25 ; 4

3 ; 3p

p2

8 ; p

2 ; 7

2³ 5 ; 2;859 ;

r7 77 11 9 Recopier et compléter le tableau suivant :

N Z ID Q R

Solution 19

N Z ID Q R

225 5

225 5p

25

225 5p

p 25

20² 10² 3p

p2 78 2³ 5

2;859

225 5p

p 25

20² 10² 4 3 3p

p2 78 2³ 5

2;859 q7 77 11 9

225 5p

p 25

20² 10² 4 3 3p

p2

p8

2

7 2³ 5

2;859 q7 77 11 9

(4)

Les opérations dans l’ensemble R

La multiplication dans R

a; bet cdes réels.

1. a b=b a=ab=ba 2. a(bc) = (ab)c= (ac)b =abc 3. a ¹_a = ¹_a a= ^a_a = 1; (a6= 0) 4. 1 a=a 1 =a

Les opérations sur les fractions

a; b ; c etd des réels tels que: bd= 0:

1. â_b + ^c_b = â+c_b et â_b +_d^c = âd+bc_bd 2. â_b ^c_d = ^{ad bc}_bd

3. ^a_b ^c_d = ^ac_bd 4.

a b

c = â_b ¹_c = _bcâ; c6= 0 b6= 0 5. k â_b = âk_b

6. ^a^bc d

= â_b ^d_c = âd_bc; c6= 0 b 6= 0 7. âb

c

=a ^c_b = ^ac_b; (b6= 0)

8. Si ^a_b = _d^c alors ad =bc; (produit en croix) Exemple 20 Simpli…er A; B et C:

A = 3 4

5 3

2 ⁴₇ 3

1

4 3

1 2

; B = 6

5 2 + ³₈

3 ⁵₂ ⁷₄ et C =

1 1

1 1+

1 + 2¹ 1

(5)

A = 3 4

5 3

2 ⁴₇ 3

1

4 3

1 2

= 9

12 20 12

14 7

4 7

3

1

8 6

3 6

= 9 20 12

14 4 7

3

1

8 3 6

= 11 12

10 7

3 1

5 6

= 11 12

10

7 3 1 6

5

= 11 12

10 21

6 5

= 11 21

B = 6

5 2 +³₈ 3 ⁵₂ ⁷₄

= 6

20 8 + ³₈

12 4

10 4

7 4

= 6

20+3 8 12 10 7

4

= 6

23 8

5 4

= 6 23 8

4 5

= 6 +23 10

= 60 10+ 23

10

= 83 10

(6)

C =

1 1

1 1+

1 + 2¹ 1

=

(1+ ) (1 ) (1 )(1+ )

2 1

2 1 + 2¹ 1

=

2 1 ²

2 2 1

= 2

1 ²

2 1

2

= 2

1 ²

2

= 2

2

= 2

Exemple 21 Déterminer les valeurs dexpour lesquelles l’expressionA(x)existe, puis simpli…er l’expression :

A(x) = 3 x+ 1

2 x

A(x) existe (A(x)2R) si, et seulement si :x+ 16= 0 et x6= 0:C’est-à-dire : x6= 1 et x6= 0:

Donc, A(x) existe si et seulement si x est di¤érent de 1 et 0:

A(x) = 3 x+ 1

2 x

= 3x 2 (x+ 1) x(x+ 1)

= 3x 2x 1 x(x+ 1)

= x 1

x(x+ 1)

Les racines carrées

Dé…nition 22 Étant donné un nombre positif a, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est appelé racine carrée de a et noté p

a. Autrement dit, si a est positif, p

a est l’unique nombre positif tel que(p

a)² =a:

Exemple 23 p

9 = 3 et p

3 ² = 3:

Propriété 24 Soient a et b deux réels deR⁺. On a : (p

a)ⁿ=p

aⁿ ; n2N

(7)

pa p b=p

ab q1

a = p¹a = ^p_a^a , a 0:

pa

pb =p_a

b; b 0

Exemple 25 Simpli…er : A= 3p

20 + 4p

45 2p

80 p 180 A = 3p

20 + 4p

45 2p

80 p 180

= 3p

4 5 + 4p

9 5 2p

16 5 p 36 5

= 3 2p

5 + 4 3p

5 2 4p

5 6p 5

= 6p

5 + 12p

5 8p

5 6p 5

= p

5 (6 + 12 8 6)

= 4p 5 Exemple 26 (avec le conjugué)

1. Montrer que : p⁵^p⁷ 2 p

7 +p⁵^p² 2+p

7 2Z

2. Soit x un réel tel que x 1. On pose : A = ^p^p_x^x₁: Montrer que : A 1 = p ¹

x 1(^p^x+^p^x ¹)

Puissances–Puissances de 10–L’écriture scienti…que

Dé…nition 27 Soit a un réel non nul et n 2N : a¹ =a et a⁰ = 1:

aⁿ=a a a ::: a

| {z }

nfois a

a ⁿ= _a¹n = ¹_a ⁿ = 1 a

1

a ::: 1

| {z a}

nfacteurs

Propriété 28 (Les opérations sur les puissances) Soient a et b de R et pour tous m et n de N: On a: aⁿ bⁿ= (ab)ⁿ

aⁿ a^m =a^n+m (aⁿ)^m =a^{n m}= (a^m)ⁿ

aⁿ

bⁿ = ^a_b ⁿ

aⁿ

a^m =a^{n m} = _a_m¹ _n

(8)

Exemple 29 Simpli…er en utilisant les propriétés des puissances le nombre A tel que A= (3² 11⁵) ²

(3⁴ 11²)³

33¹⁵ 3² 11 ¹

A = (3² 11⁵) ² (3⁴ 11²)³

33¹⁵ 3² 11 ¹

= (3²) ² (11⁵) ² (3⁴)³ (11²)³

(3 11)¹⁵ 3² 11 ¹

= 3 ⁴ 11 ¹⁰ 3¹² 11⁶

3¹⁵ 11¹⁵ 3² 11 ¹

= 3 ⁴⁺¹⁵ 11 ¹⁰⁺¹⁵ 3¹²⁺² 11^{6 1}

= 3¹¹ 11⁵ 3¹⁴ 11⁵

= 1 27

Exemple 30 Simpli…er en utilisant les propriétés des puissances : A = 8² 5³ 7² 63

5⁴ 7³ 2⁸ 9 ; B = 6³ 5⁷ 27³ 36 9⁵ 5¹⁰

Puissances de 10

10¹ = 10 10⁰ = 1 10 ² = 0;01 10 ¹ = 0;1 10ⁿ = 1000:::0| {z }

n zero

10 ⁿ = 0;000:::0

| {z }

n zero

1

L’écriture scienti…que

Dé…nition 31 Tout nombre décimal positif x peut s’écrire en écriture scienti…que sous la forme : x = a 10^p où a est un nombre décimal tel que 1 a 10 et p appartient à Z: Cette écriture s’appelle l’écriture scienti…que.

Exemple 32 :

(9)

0;02 = 2 10 ² 0;00015 = 1;5 10 ⁴ 0;5 = 5 10 ¹

0;7 = 7 10 ¹ 34500 = 3;45 10⁴

238 10⁵ = 2;38 10² 10⁵ = 2;38 10⁷ 0;045 10¹² = 4;5 10 ² 10¹²= 4;5 10¹⁰

Identités remarquables

Soient a et b deux réels. On a: (a+b)² =a²+ 2ab+b² (a b)² =a² 2ab+b² a² b² = (a b) (a+b)

a³ b³ = (a b) (a² +ab+b²) a³+b³ = (a+b) (a² ab+b²)

Exemple 33 Factoriser les expressions suivantes :

A=x³ 1 ; B =x³ 8 + 4 x² 4 3x+ 6 et C =x³+ 1 + 2 x² 1 (x+ 1)

A = x³ 1

= (x 1) x²+x+ 1

B = x³ 8 + 4 x² 4 3x+ 6

= (x 2) x²+ 2x+ 4 + 4 (x 2) (x+ 2) 3 (x 2)

= (x 2) x²+ 2x+ 4 + 4 (x+ 2) 3

= (x 2) x²+ 2x+ 4 + 4x+ 8 3

= (x 2) x²+ 6x+ 9

C = x³+ 1 + 2 x² 1 (x+ 1)

= (x+ 1) x² x+ 1 + 2 (x 1) (x+ 1) (x+ 1)

= (x+ 1) x² x+ 1 + 2 (x 1) 1

= (x+ 1) x²+x 2

(10)

Remarque 34 On a aussi la factorisation suivante :

(aⁿ bⁿ) = (a b) aⁿ ¹+aⁿ ²b+:::+bⁿ ¹ Exercice d’application 35 Soient a et b deux réels.

1. Développer : (a+b) (a+b)² et (a b) (a b)²: 2. Déduire que :

(a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab² b³ et (a b)³ =a³ 3a²b+ 3ab² b³

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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