www.etude-generale.com TCSI Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Les transformations dans le plan
Symétrie centrale-Symétrie axiale-Translation-L’homothétie
Introduction
Une transformation T du plan, est une relation qui à tout point M du plan, associe un unique point M0: On écrit: T(M) = M0:
Symétrie axiale, Symétrie centrale et Translation
Symétrie centrale
Dé…nition 1 .
Soit O un point du plan. La transformation qui a tout M du plan, associe un unique point M0 tel que O soit le milieu de [M M0] est appelé : symétrie centrale de centre O. On note par SO:On a :
SO(M) = M0 () !
OM0 = OM!
Symétrie axiale
Dé…nition 2 .
Soit ( ) une droite du plan. La transformation qui a tout point M du plan, associer un unique point M0 tel que ( ) soit la médiatrice de [M M0] est appelé : symétrie axiale d’axe ( ) est notée : S( ):
Remarque 3 Dans une symétrie axial d’axe ( ) , les points invariants sont les points de
Translation
Dé…nition 4 .
Soit !u un vecteur non nul. La transformation qui a tout point M du plan associe un unique point M0 tel que !
M M0 =!u est appelé : translation de vecteur!u. On le note t!u: On a :
t!u(M) =M0 () ! M M0 =!u
Remarque 5 Dans une translation de vecteur !u 6=!0, il n’y a aucun point invariant.
Exemple 6 .
ABCD est un carré de centreO etT la translation de vecteur AO;! etB0 l’image du point B parT et D0 l’image du point D par T:
1. Tracer une …gure.
2. Véri…er que l’image du pointO parT estC;puis déduire queC est l’image du segement [B0D0]:
3. Montrer que : (AC)?(B0D0):
La …gure.
D C
B A
O B'
D'
Les diagonales du carré se coupent en milieu, ceci signi…e que:OC!=AO:! Donc le point C est l’image du pointO par la translationT:De plusO est le milieu du segment[BD], comme l’image du segment[BD]parT est le segment[B0D0], et puisque la translation conserve les milieux donc C est le milieu du segment [B0D0]:
On a l’image de la droite(BD)par la translationT est(B0D0)et comme les droites(AC) et(BD) sont perpendiculaires, alors on en déduit que les droites (AC) et(B0D0)sont perpendiculaires.
Propriété caractéristique du translation
Propriété 7 Si M et N deux points du plan et M0 et N0 sont les images respectives des points M et N par la translation T de vecteur !u tels que : T!u(M) = M0 et T!u(N) = N0: Alors :
M0N!0 =M N!
Exemple 8 Soit T la translation de vecteur !u qui transforme M en M0 et le point N en N0: Montrer que : !
M0N0 =M N!
On a T la translation qui transforme M en M0; c’est-à-dire : T!u(M) = M0. Donc
: !
M M0 = !u ; et de même T transforme N en N0; c’est-à-dire : T!u(N) = N0. Donc : N N!0 =!u : Ce qui signifue que :
M0N!0 = ! M N
Conservation du coe¢ cient de la colinéarité de deux vecteurs
Propriété 9 (Admis)
Soit T une transformation du plan.
Soient A; B, C et D quatre points du plan tels que A6= B et A0; B0 , C0 et D0 sont les images respectives des points A; B, C et D par la transformation T:
Si CD!=kAB! (k2R ); alors !
C0D0 =k ! A0B0
On dit que les transformations conservent le coe¢ cient de la colinéarité de deux vecteurs.
Résultat 10 .
Soit T une transformation du plan.
Soient A; B et C trois points du planA0; B0 et C0 sont les images respectives des points A; B et C par la transformation T:
Si les points A; B et C sont alignés alors les points A0; B0 et C0 le sont.
On dit que les transformations conservent l’alignement des points.
Propriétés des transformations
Propriétés de la symétrie centrale
Soient A; B et C trois points du planA0 ,B0 etC0 sont les images respectives des points A;
B et C par la symétrie de centre O:
L’image du segment [AB] est le segment[A0B0] tel que : AB=A0B0: L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite[A0B0):
L’image de la droite (AB) est la droite(A0B0): L’angleBAC[ est isométrique à l’angleB\0A0C0:
Propriétés de la symétrie axiale
Soient A; B et C trois points du planA0 ,B0 etC0 sont les images respectives des points A;
B et C par la symétrie axiale.
L’image du segment [AB] est le segment[A0B0] tel que : AB=A0B0: L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite[A0B0):
L’image de la droite (AB) est la droite(A0B0): L’angleBAC[ est isométrique à l’angleB\0A0C0:
L’image du cercle de centreA et de rayonr est le cercle de centre A0et rayon r:
Propriétés d’une translation
Soient A; B et C trois points du planA0 ,B0 etC0 sont les images respectives des points A;
B et C par une translation.
L’image du segment [AB] est le segment[A0B0] tel que : AB=A0B0: L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite[A0B0):
L’image de la droite (AB) est la droite(A0B0): L’angleBAC[ est isométrique à l’angleB\0A0C0:
L’image du cercle de centreA et de rayonr est le cercle de centre A0et rayon r:
Homothétie
Dé…nition 11 Soit est un point du plan et k un nombre réel. L’homothétie de centre et de rapport k est la transformation qui transforme tout point M du plan au point unique M0 tel que : !
M0 =k M :! L’homothétie de centre et de rapport k est notée : h( ;k). D’où :
h( ;k)(M) = M0 () !
M0 =k: ! M Exemple 12 .
Soient A et M deux points du plan. ConstruireM0 l’image du pointM par l’homothétie h. Dans chaque cas.
h est l’homothétie de centre A et de rapport 34: h est l’homothétie de centre A et de rapport 2:
h est l’homothétie de centre A et de rapport 3:
Solution 13 On a :
h(A;3
4)(M) =M0 () !
AM0 = 3 4
AM! Donc
A M' M
On a :
h(A;2)(M) = M0 () !
AM0 = 2AM! Donc
A M M'
On a :
h(A; 3)(M) = M0 () !
AM0 = 3AM! Donc
A M
M'
Exemple 14 Soit l’homothétieh(O;3):
M un point du plan son image par l’homothétie h le point M0: Exprimer le vecteur !
M M0 en fonction de OM :!
On a M0 est l’image du point M par l’homothétie h: Ceci signi…e que :
h(O;3)(M) = M0 () !
OM0 = 3OM! () OM!+ !
M M0 = 3OM! () !
M M0 = 2OM!
Propriété caractéristique de l’homothétie
Propriété 15 Si M ; N et O trois points du plan. Si M0 et N0 sont les images respectives des points M et N par l’homothétie de centre O et de rapport k tels que : h(M) = M0 et h(N) =N0: Alors:
M0N!0 =k: ! M N Démonstration 16 .
Soit h l’homothétie de centre et de rapport k qui transforme M en M0 et N en N0: Montrons que : !
M0N0 =kM N :!
h transforme M en M0. Ceci signi…e que :
h( ;k)(M) =M0 () !
M0 =k M! h transforme N en N0. Ceci signi…e que :
h( ;k)(N) = N0 () !
N0 =k !N Donc
M0N!0 = !
M0 + ! N0
= M!0+k !N
= k M!+k !N
= k( !
M + ! N)
= kM N!
Exemple 17 Soient ABCD un parallélogramme et I et J deux points dé…nis par : CI!= 2
3
CB et! IJ!=DC!
1. Faire une …gure.
2. On considère l’homothétieh de centre I et transforme B en C:
a) Montrer que : k = 2:
3. Soit K un point tel que : !
KI = 2 ! AB:
a) Montrer que : h(J) = K:
b) Montrer que : AI = 12CK:
Solution 18 1.
D C
B A
I J
2. On considère l’homothétieh de centre I et transforme B en C:
a) Montrons que : k = 2:
On a: h(B) =C, donc : IC!=kIB.! D’autre part, on aCI!= 23CB! . Donc : 3CI!= 2CB.!
Ensuite : 3!
CI = 2 ! CI+ !
IB , donc : 3 !
CI = 2!
CI + 2!
IB: D’où : !
CI = 2 ! IB:
Donc:
IC!= 2 ! IB Ce qui signi…e quek = 2:
3. Soit K un point tel que : KI!= 2AB:!
a) Montrons que : h(J) =K: (C a d:IK!= 2IJ!) On a:
IK!= KI!= 2AB!= 2 |{z}DC!
AB=! DC!
= 2IJ! Donc,K est l’image du point J parh:
b) Montrons que : AI = 12CK:
On a : h(J) = K et h(B) = C; donc d’après la propriété caractéristique de l’homothétie, on obtient : !
CK = 2 ! BJ : Donc : CK!= 2 BI!+IJ!
De plus: !
CK = 2 ! BA+ !
AI+ ! DC
Ensuite: CK!= 2 DC!+AI!+DC! = 2AI:! Donc : !
AI = 12 !
CK; par passage au norme on obtient : AI = 1
2CK
Propriétés de l’homothétie
Soient A; B et C trois points du plan. A0, B0 et C0 sont les images respectives des points A; B et C par une homothétie.
L’image du segment [AB] est le segment[A0B0] tel que : A0B0 =jkjAB:
L’image de la demi-droite [AB) est la demi-droite[A0B0): L’image de la droite (AB) est la droite(A0B0):
L’angleBAC[ est isométrique à l’angleB\0A0C0:
L’image du cercle de centreA et de rayonR est le cercle de centreA0 de rayon jkjR:
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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