ECE2 Test N◦2 - Un corrigé Septembre 2021 - EXERCICE1 -
1. Complétez les équivalents suivants.
• ln(1+x) ∼
x→0x
• ln µ
1− 1 t2
¶
t→+∞∼ −1
t2 car lim
t→+∞+−1 t2=0.
• ex−1 ∼
x→0x
• 1−e1/t ∼
t→−∞−1/t car lim
t→+∞+1/t=0.
2. Donner les DL d’ordre 2 des fonctions suivantes en0.
• ln(1−x)=
0−x−(−x)2
2 +o((−x)2) soit ln(1−x)=
0−x−x2
2 +o(x2)
• e−x2=
0 1+(−x2)+(−x2)2
2 +o((x2)2) soit e−x2=
01−x2+o(x2) carx4=o(x2).
- EXERCICE2 -
Déterminer les limites suivantes.
1. lim
x→0+
ln(x)
x3 = −∞ par quotient.
2. lim
x→+∞x3−ln(x)= +∞ car ln(x)=0(x3) en+∞.
3. lim
t→1(1−t) ln(1−t)=lim
u→0uln(u)=0 par C.C, en posantu=1−t. 4. lim
x→0+
e−1/x
x2 = lim
t→+∞t2e−t =0 par C.C, en posantt=1/x.
- EXERCICE3 -
Soitf la fonction définie surR+par : f(x)=
ex2−1
ln(1+x) six>0
0 six=0
. Montrer que la fonctionf est continue surR+.
• La fonctionf est continue surR∗+comme quotient de fonctions continues surR∗+de dénominateur non nul (x̸=0).
•
ex2−1∼
0x2 car lim
x→0x2=0 ln(1+x)∼
0 x donc par quotient : ex2−1 ln(1+x)∼
0
x2 x =x.
Ainsi : lim
x→0f(x)=lim
x→0x=0=f(0) donc la fonctionf est continue en 0.
Finalement, la fonctionf est continue surR+. - EXERCICE4 (*) -
Déterminer un équivalent de la fonctionf suivante au voisinage de0puis calculer sa limite en0.
f(x)= ex−x−1 xln(1−x) On utilise un DL au numérateur à cause de la somme.
• Au numérateur, commeex=1+x+x2 2 +o¡
x2¢
, on obtient : ex−x−1=x2 2 +o¡
x2¢
∼0
x2 2 .
• Au dénominateur, comme ln(1−x)∼
0 −x, on obtient par produit d’équivalents : xln(1−x)∼
0−x2. Ainsi, par quotient, on a : f(x)∼
0 x2
2
−x2soit f(x)∼
0−1 2. On a donc : lim
x→0f(x)= −1 2.
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