Maths Complémentaires Chp 1 Suites et Limites

Maths

Complémentaires Chp 1

Suites et Limites

Correction des exercices

p28 nº5 à 17

Chapitre 1 Suites et limites 11

© Hachette Livre 2020 – Guide pédagogique, Mathématiques complémentaires Terminale, collection Barbazo

3.   lim

n→+`c_n =1−9× −1

( )

3 ^=1+3=4.

4.   lim

n→+`d_n = −1 3+2

2 7 = 1 2× − 1

( )

21 ^{= −}42¹. 6 a. On a lim

n→33=3 et lim

n→+`n<sup>2</sup> = +`. Ainsi, par quotient de limites, lim

n→+`u_n = lim

n→+`

3 n² =0.

b. lim

n→+`n<sup>2</sup> = +`, ainsi, par produit, lim

n→+`v_n = lim

n→+`−3n<sup>2</sup>= −`.

c. D’après le cours, lim

n→+`w_n = lim

n→+`

1 n =0.

d. La suite

( )

t_n ne possède pas de limite, elle prend alterna- tivement les valeurs −1 et 1.

7 _{1. On a lim}

n→+`n<sup>2</sup> = +`, lim

n→+`n= +` et lim

n→+`3=3. Ainsi, par somme de limites, lim

n→+`u<sub>n</sub> = +`.

2. On sait que lim

n→+`n<sup>3</sup>= +` , et donc  lim

n→+`−2n<sup>3</sup>= −`. De même, puisque  lim

n→+`n<sup>2</sup>= +`, on a lim

n→+`−3n<sup>2</sup> = −`. Par ailleurs, lim

n→+`−n= −` et lim

n→+`1=1, donc, par somme de limites lim

n→+`v<sub>n</sub>= −`.

3. On a lim

n→+`n<sup>4</sup> = +`, donc lim

n→+`−n<sup>4</sup> = −`. De plus,

n→+`lim 2=2 ; ainsi, par somme de limites, lim

n→+`w<sub>n</sub> = −`.

4. On sait que lim

n→+` n= +`, donc lim

n→+`3 n= +`. On a

n→+lim`n= +`, ainsi, par somme de limites, lim

n→+`t<sub>n</sub> = +`.

8 1. On a  lim

n→+`

2n=0 et lim

n→+`4=4, donc par somme de limites  lim

n→+`u_n =4.

2. On a  lim

n→+`

1

n² =0,  lim

n→+`

n1=0, et  lim

n→+`1=1, donc par somme de limites  lim

n→+`v_n =1. 3. On a  lim

n→+`

−3

n³ =0 et  lim

n→+`

n1=0, donc par somme de limites  lim

n→+`w_n =0.

4. On a  lim

n→+`

1

n =0,  lim

n→+`

2n=0, et   lim

n→+`−5= −5, donc par somme de limites lim

n→+`t_n= −5.

9 _{1. On a lim}

n→+`n<sup>2</sup> = +` et lim

n→+`

n1=0, donc par somme de limites  lim

n→+`u<sub>n</sub> = +`.

2. On a  lim

n→+`(n+1)= +` donc, par quotient de limites

n→+lim`

n1+1=0.

Par ailleurs   lim

n→+`

n1=0. Ainsi par somme de limites lim

n→+`v_n=0.

3. On a   lim

n→+`−n<sup>3</sup>= −` et lim

n→+`

2n=0, donc par somme de limites   lim

n→+`w<sub>n</sub> = −`.

4. On a   lim

n→+` n= +` ; ainsi lim

n→+`− n= −`. De plus,   lim

n→+`

n1=0  et   lim

n→+`1=1, donc par somme de limites   lim

n→+`t<sub>n</sub> = −`.

10 1. On a  lim

n→+`(n+1)= +`  et   lim

n→+` n−1

( )

2 = +`, donc, par produit de limites, lim

n→+`u<sub>n</sub> = +`.

2. On a   lim

n→+`−2n<sup>2</sup> = −` et  lim

n→+`−n= −`, donc

n→+lim`

(

−2n²−n

)

^{= −`.} 

Par ailleurs lim

n→+`(2+n)= +` . Ainsi, par produit de limites  lim

n→+`v<sub>n</sub> = −`.

3. On a   lim

n→+`n= +`  et   lim

n→+` n= +`, donc, par produit de limites lim

n→+`n n= +`.

De plus,   lim

n→+`n<sup>2</sup> = +` ; ainsi, par somme de limites,

n→+lim`w<sub>n</sub> = +`. 

4. On a   lim

n→+`(n+1)= +`  et   lim

n→+` n= +`, donc, par produit de limites lim

n→+`t<sub>n</sub> = +`.

11 _{1. On a lim}

n→+`

1n=0 , donc lim

n→+`2+ 1

n=2, etlim

n→+`3+ 1 n=3.

Par quotient de limites lim

n→+`u_n =2 3. 2. On a  lim

n→+`(n+1)= +` et lim

n→+`1+ 1 n=1. Par quotient de limites lim

n→+`v<sub>n</sub> = +`.

3. On a lim

n→+`

2

n² =0 , donc lim

n→+`3− 2 n² =3.

De plus lim

n→+`n= +`. 

Ainsi, par quotient de limites, lim

n→+`w_n =0.

12 1. a. On a  lim

n→+`3n<sup>3</sup> = +`  et lim

n→+`−6n<sup>2</sup> = −`.

Ainsi, d’après le cours, on est en présence d’une forme indéterminée.

b. Pour tout entier naturel n non nul on a : u_n =3n³−6n²+9n−6

=3n³ 3n³ 3n³ −6n²

3n³ + 9n 3n³ − 6

3n³

( )

=3n³ 1−2×3n²

3n²×n+ 3×3n 3n×n² − 2

n³

( )

=3n³ 1−2 n+ 3

n² − 2 n³

( )

^.

c. On a  lim

n→+`

2n= lim

n→+`

3 n² = lim

n→+`

2 n³ =0.

Ainsi lim

n→+`1−2 n+ 3

n² − 2 n³

( )

^=1.

Par ailleurs,   lim

n→+`3n<sup>3</sup> = +`.

Ainsi, par produit de limites  lim

n→+`u<sub>n</sub> = +`. 2. Pour tout entier naturel n non nul on a : v_n =2n⁴−4n² +n−6

=2n⁴ 2n⁴ 2n⁴ −4n²

2n⁴ + n 2n⁴ − 6

2n⁴

( )

=2n⁴ 1− 2×2n² 2n²×n² + n

2n×n³ − 3 n⁴

( )

=2n⁴ 1− 2 n² + 1

2n³ − 3 n⁴

( )

^.

© Hachette Livre 2020 – Guide pédagogique, Mathématiques complémentaires Terminale, collection Barbazo

On a  lim

n→+`

2 n² = lim

n→+`

2n1³ = lim

n→+`

3 n⁴ =0.

Ainsi lim

n→+`1− 2 n² + 1

2n³ − 3 n⁴

( )

^=1.  

Par ailleurs,   lim

n→+`2n<sup>4</sup> = +`.

Ainsi, par produit de limites, lim

n→+`v<sub>n</sub> = +`.

13 1. Pour tout entier naturel n non nul, on a : u_n = −2n³ +2n²−4n+1

= −2n³ −2n³

−2n³ + 2n²

−2n³ − 4n

−2n³ + 1

−2n³

( )

= −2n³ 1− 2n²

2n²×n+ 4n 2n×n² − 1

2n³

( )

= −2n³ 1− 1 n+ 2

n² − 1 2n³

( )

^.

On a  lim

n→+`

n1= lim

n→+`

2 n² = lim

n→+`

1 2n³ =0.

Ainsi lim

n→+`1− 1 n+ 2

n² − 1 2n³

( )

^=1.  

Par ailleurs,   lim

n→+`−2n<sup>3</sup>= −`. Ainsi, par produit de limites, lim

n→+`u<sub>n</sub> = −`.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on a : v_n =3n²−2n+1

=3n² 3n² 3n² − 2n

3n² + 1 3n²

( )

=3n² 1− 2n 3n×n+ 1

3n²

( )

=3n² 1− 2 3n+ 1

3n²

( )

^.

On a lim

n→+`

3n2 = lim

n→+`

3n1² =0. Ainsi lim

n→+`1− 2 3n+ 1

3n²

( )

^=1.

Par ailleurs,   lim

n→+`3n<sup>2</sup> = +`. 

Ainsi, par produit de limites, lim

n→+`v<sub>n</sub> = +`.

3. Pour tout entier naturel n non nul, on a : w_n =n− n

=n nn− n

( )

n

=n1− n n× n

( )

=n1− 1

( )

n ^. On a lim

n→+`

1

n =0. Ainsi, lim

n→+`1− 1

( )

n ^=1.

Par ailleurs,   lim

n→+`n= +`.

Ainsi, par produit de limites, lim

n→+`w<sub>n</sub>= +`.

14 _{1. un = −n}² ₁₋ ⁿ n² + 1

n²

( )

^{= −n2}

(

¹⁻ⁿ¹⁺n¹²

)

On a lim

n→+`1−1 n+ 1

n²

( )

^{=1 et n→+`lim}

^{( )}

⁻ⁿ² = −`, donc, par produit, lim

n→+`u<sub>n</sub> = −`.

2. v_n = −3n³ 1+ n²

−3n³ − n

−3n³ − 4

−3n³

( )

^{= −3n3 1−3n1 +}3n¹² + 4 3n³

( )

v_n= −3n³ 1+ n²

−3n³ − n

−3n³ − 4

−3n³

( )

^{= −3n3 1−3n1 +}3n¹² + 4 3n³

( )

On a lim

n→+`1− 1 3n+ 1

3n² + 4 3n³

( )

^{=1 et n→+lim`}

⁽

⁻³ⁿ³

⁾

^{= −`, donc,}

par produit, lim

n→+`v<sub>n</sub> = −`.

3. w_n =n³ 3 2− n

n³

( )

⁼ⁿ³

( )

³²⁻n¹² On a lim

n→+`

23− 1 n²

( )

^{=32 et n→+`lim}

^{( )}

ⁿ³ = +`, donc, par produit,

n→+`lim w<sub>n</sub> = +`. 15 1. a. On a   lim

n→+`2n<sup>2</sup> = +` et lim

n→+`−3n= −`.

De plus,   lim

n→+`n<sup>2</sup> = +`  et lim

n→+`−4n= −`.

Ainsi, d’après le cours, autant au numérateur qu’au dénomi- nateur, on est en présence d’une forme indéterminée.

b. Pour tout entier naturel n non nul on a : u_n = 2n²−3n+1

n²−4n+2 =2n² 2n²

2n² − 3n 2n² + 1

2n²

( )

n² n² n² −4n

n² + 2 n²

( )

=2n² 1− 3 2n+ 1

2n²

( )

n² 1− 4 n+ 2

n²

( )

=2 1− 3 2n+ 1

2n²

( )

1−4 n+ 2

n² . c. On a lim

n→+`

2n3 = lim

n→+`

1 2n² = lim

n→+`

4n= lim

n→+`

2 n² =0. 

n→+`lim

2n3 = lim

n→+`

1 2n² = lim

n→+`

4n= lim

n→+`

2 n² =0. 

n→+`lim

2n3 = lim

n→+`

1 2n² = lim

n→+`

4n = lim

n→+`

2 n² =0. 

Ainsi, lim

n→+`2 1− 2 2n+ 1

2n²

( )

^{=2 et  limn→+`}

(

^{1− 4n+} n²²

)

^=1.

Par quotient de limites,   lim

n→+`u_n =2.

2. Pour tout entier naturel n non nul on a : v_n = n³+2n²−1

n²+3n = n³ n³

n³ +2n² n³ − 1

n³

( )

n² n² n² +3n

n²

( )

= n³ 1+2 n− 1

n³

( )

n² 1+3

( )

n = n1+2

n− 1 n³

( )

1+3 n

. On a lim

n→+`

2n= lim

n→+`

1 n³ = lim

n→+`

3n=0. 

n→+lim`

2n= lim

n→+`

1 n³ = lim

n→+`

3n=0. 

Ainsi, lim

n→+`1+2 n− 1

n³

( )

⁼1  et   lim

n→+`1+3

( )

n ^=1. Par ailleurs,   lim

n→+`n= +`. Ainsi, par produit de limites,   lim

n→+`v<sub>n</sub> = +`.

Chapitre 1 Suites et limites 13

© Hachette Livre 2020 – Guide pédagogique, Mathématiques complémentaires Terminale, collection Barbazo

16 1. Pour tout entier naturel n . 2 on a : u_n = 3n³−n+1

n²−2n+1 = 3n³ 3n³

3n³ − n 3n³ + 1

3n³

( )

n² n² n² −2n

n² + 1 n²

( )

= 3n³ 1− 1 3n² + 1

3n³

( )

n² 1−2 n+ 1

n²

( )

= 3n1− 1 3n² + 1

3n³

( )

1−2 n+ 1

n² . On a lim

n→+`

1 3n² = lim

n→+`

1 3n³ = lim

n→+`

2n= lim

n→+`

1 n² =0. 

Ainsi, lim

n→+`1− 1 3n² + 1

3n³

( )

^{=1  et n→+lim`}

(

¹⁻²ⁿ⁺n¹²

)

^=1.

Par ailleurs,   lim

n→+`3n= +`. Ainsi, par quotient de limites, lim

n→+`u<sub>n</sub> = +`.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on a : v_n =2n² −n+4

n³ +n+1 = 2n² 2n²

2n² − n 2n² + 4

2n²

( )

n³ n³ n³ + n

n³ + 1 n³

( )

= 2n² 1− 1 2n+ 2

n²

( )

n³ 1+ 1 n² + 1

n³

( )

= 2 1− 1 2n+ 2

n²

( )

n1+ 1 n² + 1

n³

( )

^.

On a   lim

n→+`

2n1 = lim

n→+`

2 n² = lim

n→+`

1 n² = lim

n→+`

1 n³ =0. 

Ainsi, lim

n→+`2 1− 1 2n+ 2

n²

( )

^{=2  et n→+lim`1+} n¹² + 1 n³

( )

^=1.

Par ailleurs,   lim

n→+`n= +`.

Ainsi, par produit de limites,  lim

n→+`v_n =0.

3. Pour tout entier naturel n>1 on a : w_n = n− n

n+ n = n nn− n

( )

n

n nn+ n

(

n

)

=1− n n 1+ n n =1− n

n× n

1+ n

n× n =1− 1

n 1+ 1

n .

Or,  lim

n→+`

1

n =0. Ainsi, lim

n→+`1− 1

n =1  et lim

n→+`1+ 1 n =1.

Par quotient de limite, on a alors  lim

n→+`w_n =1. 17 1. On a  lim

n→+`−3n<sup>2</sup> = −` et

n→+`lim −2n= −`.  Ainsi  lim

n→+`−3n<sup>2</sup>−2n+1= −`.

Par ailleurs,   lim

n→+`

1n=0  et donc lim

n→+`3+1 n=3.

Par quotient de limites,   lim

n→+`u<sub>n</sub>= −`.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on a : v_n =5n³−3n n

=5n³ 5n³

5n³ −3n n 5n³

( )

=5n³ 1−3 n 5n²

( )

=5n³ 1− 3 n 5n×n

( )

=5n³ 1− 3 n 5 n× n×n

( )

=5n³ 1− 3 5 n×n

( )

Or, lim

n→+`n= +`  et    lim

n→+` n= +`.

Ainsi, lim

n→+`5 n×n= +` et lim

n→+`

5 n3×n =0.

On a alors lim

n→+`1− 3

5 n×n

( )

^=1.

Par ailleurs,   lim

n→+`5n<sup>3</sup> = +`.

Ainsi, par produit de limites, lim

n→+`v<sub>n</sub> = +`. 3. Pour tout entier naturel n non nul, on a : w_n = −4n³+n²+n−1

n³+n²−4n−3 = −4n³ −4n³

−4n³ + n²

−4n³ + n

−4n³ − 1

−4n³

( )

n³ n³ n³ +n²

n³ −4n n³ − 3

n³

( )

= −4n³ 1− 1 4n− 1

4n² + 1 4n³

( )

n³ 1+ 1 n− 4

n² − 3 n³

( )

= −4 1− 1 4n− 1

4n² + 1 4n³

( )

1+ 1 n− 4

n² − 3 n³

. On a lim

n→+`

4n1 = lim

n→+`

4n1² = lim

n→+`

4n1³ = lim

n→+`

1n= lim

n→+`

4 n² = lim

n→+`

3 n³ =0.

n→+`lim

4n1 = lim

n→+`

1 4n² = lim

n→+`

1 4n³ = lim

n→+`

1n= lim

n→+`

4 n² = lim

n→+`

3 n³ =0.

n→+`lim

4n1 = lim

n→+`

1 4n² = lim

n→+`

1 4n³ = lim

n→+`

1n= lim

n→+`

4 n² = lim

n→+`

3 n³ =0.

n→+lim`

4n1 = lim

n→+`

1 4n² = lim

n→+`

1 4n³ = lim

n→+`

n1= lim

n→+`

4 n² = lim

n→+`

3 n³ =0.

n→+lim`

4n1 = lim

n→+`

1 4n² = lim

n→+`

1 4n³ = lim

n→+`

1n= lim

n→+`

4 n² = lim

n→+`

3 n³ =0.

Ainsi, lim

n→+`−4 1− 1 4n− 1

4n² + 1 4n³

( )

= −4 et  lim

n→+`1+ 1 n− 4

n² − 3 n³

( )

⁼¹

n→+`lim −4 1− 1 4n− 1

4n² + 1 4n³

( )

= −4 et  lim

n→+`1+ 1 n− 4

n² − 3 n³

( )

^=1.

Par quotient de limites, on a donc lim

n→+`w_n = −4.