Cours de mathématiques – Option Mathématiques Complémentaires de Terminale Générale

Cours de mathématiques – Option Mathématiques Complémentaires de

Terminale Générale

Table des matières

Chapitre 1 – Inférence bayésienne...4

I – Probabilité conditionnelle et arbre...4

a) Définition d'une probabilité conditionnelle...4

b) Formule des probabilités totales...4

c) Utilisation d’un arbre de probabilité...5

II – Inversement du conditionnement...7

III – Indépendance...7

Chapitre 2 – Modèles définis par une fonction...8

I – Calculs des dérivées...8

a) Rappels sur les formules de dérivation...8

b) Rappels sur les opérations entre fonctions dérivables...8

c) Rappel sur la composition d’une fonction affine par une fonction dérivable...9

d) Composition d’une fonction dérivable par la fonction carré ou par la fonction cube...9

e) Composition d’une fonction dérivable par la fonction racine carrée...9

f) Composition d’une fonction dérivable par la fonction exponentielle...10

II – Applications de la dérivation...10

a) Rappel : nombre dérivée et tangente...10

b) Rappel : dérivée et sens de variation...11

III – Fonctions continues...12

a) Continuité d’une fonction...12

b) Théorème des valeurs intermédiaires...12

IV – Convexité et concavité...13

a) Définitions...13

b) Lien avec la dérivée...14

c) Point d’inflexion...15

Chapitre 3 – Évolutions discrètes...16

I – Rappels sur les suites numériques...16

a) Génération d’une suite...16

b) Sens de variation...17

II – Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques...17

III – Limite d’une suite...18

a) Notion de limite d’une suite...18

b) Limites des suites de référence...19

c) Limite d’une somme...19

d) Limite d’un produit...20

e) Limite d’un quotient...20

f) Limites et inégalités...21

g) Limite d’une suite géométrique...21 Cours de mathématiques – Option Mathématiques Complémentaires de Terminale Générale :

IV – Suites arithmético-géométriques...21

a) Définition...21

b) Détermination du terme général d’une suite arithmético-géométrique...22

Chapitre 4 – Évolutions continues...23

I – Limite d’une fonction...23

a) Limite d'une fonction à l'infini...23

b) Limites à l’infini des fonctions de référence...23

c) Interprétation graphique d’une limite finie à l’infini...23

d) Limite d’une fonction en un nombre réel...24

e) Limite en zéro de certaines fonctions de référence...24

f) Interprétation graphique d’une limite infinie en un réel...25

g) Opérations et théorèmes de comparaison...25

II – Primitives...26

a) Définition et premières propriétés...26

b) Primitives de fonctions usuelles...27

c) Opérations algébriques et calcul de primitives...27

III – Équations différentielles...28

a) Équations différentielles et calcul intégral...29

b) Résolution de certaines équations différentielles...29

Chapitre 5 – Fonction logarithme népérien...31

I – Existence de la fonction logarithme népérien...31

a) Notion de fonction réciproque...31

b) Définition de la fonction logarithme népérien...32

II – Étude de la fonction logarithme népérien...33

a) Dérivée et primitive...33

b) Sens de variation et signe...33

III – Propriétés algébriques...35

a) Relation fonctionnelle...35

b) Application à la résolution d’équations ou inéquations et à la recherche de seuil...36

Chapitre 6 – Calculs d’aires...37

I – Intégrale d’une fonction continue et positive...37

a) Définition...37

b) Propriétés...38

II – Intégrale d’une fonction continue...39

a) Intégrale d’une fonction continue et négative...39

b) Intégrale d’une fonction continue de signe non constant...39

c) Propriétés...39

III – Calcul d’une intégrale...40

a) Théorème fondamental de l’analyse...40

b) Calcul d’une intégrale d’une fonction continue...40

Chapitre 7 – Répartitions des richesses, inégalités...42

I – Outils statistiques pour la répartition des richesses et l’inégalité...42

a) Moyenne et écart-type...42

b) Médiane, quartiles, déciles...43

II – Outils analytiques pour la répartition des richesses, l’inégalité...45

a) Intégration et valeur moyenne...45

b) Convexité...45

c) Courbe de Lorenz et indice de Gini...45

Chapitre 8 – Corrélation et causalité...47

I – Statistiques à deux variables...47

a) Nuage de points...47

b) Ajustement d’un nuage de points...48

c) Paramètres statistiques...48

II – Ajustement affine par la méthode des moindres carrés...49

III – Ajustement et changement de variable...51

Chapitre 9 – Expériences répétées...54

I – Loi uniforme discrète...54

II – Loi de Bernoulli...55

III – Loi binomiale...56

a) Schéma de Bernoulli...56

b) Coefficients binomiaux...56

c) Le triangle de Pascal...57

d) Loi binomiale...58

IV – Loi binomiale et échantillonnage...59

a) Représentation graphique d'une loi binomiale...59

b) Intervalle de fluctuation et règle de décision...60

c) Intervalle de confiance et estimation...61

Chapitre 10 – Temps d’attente...62

I – Loi géométrique...62

a) Définition et expression...62

b) Propriétés de la loi géométrique...63

II – Lois continues à densité...64

a) Densité de probabilité...64

b) Fonction de répartition d’une loi à densité...65

c) Espérance et variance d’une loi à densité...65

III – Loi uniforme continue sur un intervalle...66

a) Définition d’une loi uniforme continue sur un intervalle...66

b) Espérance, variance et écart-type d’une loi uniforme continue sur un intervalle...66

IV – Loi exponentielle...67

a) Définition de la loi exponentielle...67

b) Espérance d’une loi exponentielle...67

c) Propriété d’absence de mémoire de la loi exponentielle...68

Cours de mathématiques – Option Mathématiques Complémentaires de Terminale Générale :

Chapitre 1 – Inférence bayésienne

I – Probabilité conditionnelle et arbre

a) Définition d'une probabilité conditionnelle

On considère deux évènements A et B tels que P(A)≠0 .

Définition : La probabilité de l'évènement B, sachant que A est réalisé, se note PA(B). On a ^PA(B)=P(A∩B)

P(A) .

Conséquences : Soient A et B deux évènements tels que P(A)≠0.

• _P(A∩B)=P(A)×P_A(B) (probabilités composées)

• P_A(B)=1−P_A(B) (probabilité de l’évènement contraire)

b) Formule des probabilités totales

Définition : Soient A₁, A₂, A₃, …, A_n des évènements d’un univers Ω de probabilités non nulles. Ces évènements forment une partition de l’univers si et seulement si ils sont deux à deux incompatibles et A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n=Ω.

Exemple : Soit A un évènement. Les évènements A et A forment une partition de l'univers Ω puisque toute issue appartient soit à A , soit à A et que ces deux évènements sont incompatibles.

En effet, on a Ω=A∪A et ∅=A∩A .

Formule des probabilités totales : Soient A₁, A₂, A₃, …, A_n des évènements formant une partition d’un univers Ω. Pour tout évènement B de l’univers Ω, on a :

P(B)=P(A₁∩B) +P(A₂∩B)+P(A₃∩B)+ …+P(A_n∩B) soit

P(B)=P(A₁)×P_A1(B) +P(A₂)×P_A2(B)+P(A₃)×P_A3(B) +…+P(A_n)×P_An(B)

c) Utilisation d’un arbre de probabilité

On peut construire un arbre pour illustrer une situation (ici, la partition est formée par A et A ) : Le chemin correspondant à l’évènement A∩B est le chemin qui part de Ω, passe par A et arrive en B . On a en utilisant la formule des probabilités composées, P(A∩B)=P(A)×P_A(B).

La probabilité d'un évènement est le produit des probabilités des branches qui composent son chemin.

Comme P(A) +P(A)=1 , la somme des probabilités qui partent d'un nœud est égale à 1.

Exemple : Dans un lycée, 40 % des élèves sont en seconde, 35 % en première, le reste en terminale.

Parmi les secondes, 45 % sont des filles ; parmi les premières, 50 % sont des filles et parmi les terminales, 60 % sont des filles.

On choisit un élève au hasard.

On considère les évènements suivants : F : « L’élève est une fille »

S : « l’élève est en seconde » U : « l’élève est en première » T : « l’élève est en terminale ».

On a donc P(S)=0,4, P(U)=0,35 , P_S(F)=0,45, P_U(F)=0,5 et P_T(F)=0,6 . On peut donc illustrer la situation avec cet arbre :

On peut à l’aide des probabilités totales avec la partition S , U , T calculer la probabilité que la personne choisie soit une fille :

P(F)=P(S)×P_S(F)+P(U)×P_U(F)+P(T)×P_T(F)=0,4×0,45+0,35×0,5+0,25×0,6=0,505.

II – Inversement du conditionnement

Formule de Bayes : Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles. On a : P_B(A)=P(A)×P_A(B)

P(B) .

Preuve : Par définition, P(A∩B)=PA(B)×P(A) mais aussi P(A∩B)=PB(A)×P(B). On a donc P_B(A)×P(B)=P_A(B)×P(A)⇔P_B(A)=PA(B)×P(B)

P(B) .

Exemple : Avec l’exemple précédent, cherchons la probabilité que l’élève soit en seconde sachant que c’est une fille. À l’aide de la formule de Bayes, on a :

P_F(S)=P(S)×P_S(F)

P(F) =0,4×0,45 0,505 = 36

101 .

III – Indépendance

Définition intuitive : Deux évènements non impossibles A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’influe pas sur la réalisation de l’autre, c’est-à-dire si PA(B)=P(B) et PB(A)=P(A).

Remarque : Supposons A et B indépendants. Leurs probabilités sont alors non nulles.

Comme P_A(B)=P(A∩B)

P(A) , on a ^P(A∩B)

P(A) =P(B) ⇔P(A∩B)=P(A)×P(B). De même comme P_B(A)=P(B∩A)

P(B) , on a ^P(B∩A)

P(B) =P(A)⇔P(B∩A)=P(B)×P(A).

Définition : Soient A et B deux évènements non impossibles. A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B).

Propriété (admise) : Soient A et B deux évènements. Les propositions suivantes sont équivalentes :

• A et B sont indépendants

• A et B sont indépendants

• A et B sont indépendants

• A et B sont indépendants

Chapitre 2 – Modèles définis par une fonction

I – Calculs des dérivées

a) Rappels sur les formules de dérivation

On note ^Df l'ensemble de définition de la fonction f et ^Df ' celui de la fonction dérivée de f.

D_f f x= D_{f '} f 'x=

ℝ k (constante) ^{ℝ 0}

ℝ x ℝ 1

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ 1 x

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[

−1 x²

ℝ xⁿ (avec n∈ℕ^*) ^ℝ n xⁿ⁻¹

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ 1

xⁿ (avec n∈ℕ^* ) ^{]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ − n}

xⁿ⁺¹

[0 ;+ ∞[

√

2

√

ℝ e^x ℝ e^x

b) Rappels sur les opérations entre fonctions dérivables

u et v sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.

Fonction Dérivée

Somme u+v u '+v '

Produit k×u avec k∈ℝ k×u'

Produit u×v u '×v+v '×u

Inverse ¹

v avec v(x)≠0 pour tout x∈I −v '

v² Quotient ^u

v avec v(x)≠0 pour tout x∈I u '×v−v '×u

v²

c) Rappel sur la composition d’une fonction affine par une fonction dérivable

Théorème : Soient a et b deux réels. Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J et f la fonction définie sur un intervalle I par f(x)=g(a x+b). Alors si pour tout x∈I , a x+b∈J , la fonction f est dérivable sur I et on a f '(x)=a×g'(a x+b).

Exemple : Soit f la fonction définie sur

]

[

^√

√

3 f(x)=g(3 x−1). Si x>1

3 , 3 x−1>0 et g est dérivable sur ^]0;+∞[ par g '(x)= 3

2

√

On en déduit que f est dérivable sur

]

[

3 on a : f '(x)=3×g '(3 x−1)= 3

2

√

d) Composition d’une fonction dérivable par la fonction carré ou par la fonction cube Propriété : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .

La fonction f=u² définie sur I par f(x)=u²(x)=(u(x))² est dérivable sur ^I et pour tout x∈I on a f '(x)=2×u '(x)×u(x).

Preuve : pour tout x∈I , f(x)=(u(x))²=u(x)×u(x). f est donc dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. On a donc f '(x)=u '(x)×u(x)+u '(x)×u(x)=2×u '(x)×u(x). Propriété ( admise ) : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

La fonction f=u³ définie sur I par f(x)=(u(x))³ est dérivable sur ^I et pour tout ^x∈I on a f '(x)=3×u '(x)×u²(x).

e) Composition d’une fonction dérivable par la fonction racine carrée

Propriété : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que pour tout x∈I , u(x)>0. La fonction f=

√

√

2

√

f)

C omposition d’une fonction dérivable par la fonction exponentielle Propriété admise : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

La fonction _f=e^u définie sur I par f(x)=e^u(x) est dérivable sur I et pour tout x∈I on a f '(x)=u '(x)×e^u(x).

Exemple : Soit f définie sur ^ℝ par f(x)=e^(x4). f(x)=e^u(x) avec u(x)=x⁴⇒u '(x)=4 x³. f est donc dérivable sur ^ℝ par ^{f '(x)=u '(x)×eu(x)=4 x3e(x4)}.

II – Applications de la dérivation

a) Rappel : nombre dérivée et tangente

Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a∈I .

La tangente à la courbe représentative de f au point A(a;f(a) ) est la droite passant par A et de coefficient directeur f '(a).

Elle admet pour équation réduite y=f '(a) (x−a)+f(a).

Exemple : Soit f définie sur ^]−∞;0[∪]0;+∞[ par f (x)=1

x . Cherchons l'équation de la tangente en A d'abscisse x=2 à la courbe, si elle existe. f est dérivable sur ]−∞;0[∪]0;+∞[

et pour tout x≠0 f '(x)=− 1

x² donc la tangente en x=2 existe. Comme f '(2)=− 1

2×2=−1 4 , la tangente en x=2 a pour équation réduite y=f '(2)(x−2)+f(2) soit

y=−1

4(x−2)+1

2⇔y=−1

4(x−2)+1

2⇔y=−1 4x+1.

b) Rappel : dérivée et sens de variation

Théorème 1 : Soit f une fonction monotone et dérivable sur un intervalle I.

• Si f est une fonction croissante sur I ⇔ pour tout x∈I, f 'x0.

• Si f est une fonction décroissante sur I ⇔ pour tout x∈I, f 'x0.

• Si f est constante sur I ⇔ pour tout x∈I, f 'x=0.

Théorème 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenu dans son ensemble de définition ^Df.

• Si f 'x0 pour tout x∈I (éventuellement, f ' peut s'annuler en un nombre fini de valeurs) alors f est strictement croissante sur I.

• Si f 'x0 pour tout x∈I (éventuellement, f ' peut s'annuler en un nombre fini de valeurs) alors f est strictement décroissante sur I.

• Si pour tout x∈I f 'x=0, alors f est constante sur I.

Exemple : Soit f définie sur ^ℝ par f(x)=(x²+2 x−15)². Déterminons ses variations.

Pour tout x∈ℝ, f(x)=u²(x) avec u(x)=x²+2 x−15⇒u'(x)=2 x+2.

f est dérivable sur ^ℝ par f(x)=2×u '(x)×u(x)=2×(2 x+2)×(x²+2 x−15). On cherche quand la dérivée s’annule afin d’en étudier le signe.

• 2 x+2=0⇔x=−1

• Pour ^x2+2x−15, Δ=2²−4×1×(−15)=64, il y a donc deux racines : x₁=−2−

√

2×1 =−5 ; x₂=−2+

√

2×1 =3

x – ∞ – 5 – 1 3 + ∞

2 x+2 – | – 0 + | +

x²+2 x−15 + 0 – | – 0 +

f '(x) – 0 + 0 – 0 +

f(x)

0

256

0 En effet,

• _{f(−5)=((−5)}²_{+2×(−5)−15)}²₌₀

• _{f(−1)=((−1)}²_{+2×(−1)−15)}²₌₂₅₆

• _f(3)=(3²_+2×3−15)²₌₀

III – Fonctions continues

a) Continuité d’une fonction

Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est continue sur I si et seulement si sa courbe représentative se trace d’un trait continu, « sans lever le crayon ».

Exemple : f n’est pas continue sur ^ℝ, car f est discontinue en x=2 (avec f(2)=2) :

Propriété ( admise ) : Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cette intervalle.

Conséquences : Les fonctions polynômes et exponentielle sont donc continues sur ^ℝ, la fonction inverse est continue sur ^]−∞;0[ et sur ^{]0 ;+∞[} .

Remarque : La réciproque est fausse ; par exemple, la fonction racine carrée est continue sur [0 ;+∞ [, mais est dérivable sur ^]0 ;+∞[ car non dérivable en 0.

b) Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (admis) : Soit f une fonction définie et continue sur [a;b]. Pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a;b].

Les solutions sont les abscisses des points d’intersection.

Conséquence (admise) :

Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur [a;b].

Pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet une unique solution dans ^[a;b]. La solution est l’abscisse du point d’intersection.

IV – Convexité et concavité

Dans cette partie, on considère une fonction f dérivable sur un intervalle I .

a) Définitions

Convexité Concavité

Définition : f est convexe sur I si et

seulement si sa représentation graphique est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

Définition : f est concave sur I si et

seulement si sa représentation graphique est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples :

Convexité Concavité

La fonction carré définie sur ^ℝ par f (x)=x² est convexe.

La fonction inverse définie sur ]−∞;0[ par f(x)=1

x est concave.

b) Lien avec la dérivée

Convexité Concavité

Propriété (admise) : La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa fonction dérivée f ' est croissante sur I .

Propriété (admise) : la fonction f est concave sur I si et seulement si sa fonction dérivée

f ' est décroissante sur I .

Remarque : Si f ' est également dérivable sur I, pour déterminer si elle est croissante ou décroissante, on peut étudier le signe de sa dérivée, c’est-à-dire le signe de f ' ', appelée dérivée seconde de f . À l’aide du théorème 1 du II a), on en déduit le résultat suivant.

Convexité Concavité

Propriété : Soit f une fonction deux fois dérivable sur I . f est convexe sur I si et seulement si pour tout x∈I f ''(x)⩾0.

Propriété : Soit f une fonction deux fois dérivable sur I. f est concave sur I si et seulement si pour tout x∈I f ''(x)⩽0.

c) Point d’inflexion

Définition : La représentation graphique de la fonction f présente un point d’inflexion si elle traverse sa tangente en ce point.

Théorème (admis) : Les quatre points suivants sont équivalents :

f présente un point d’inflexion en x=a La courbe de f passe de concave à convexe (ou l’inverse) en x=a

f ' change de sens de variation en x=a Si f '' existe, f '' s’annule et change de signe en x=a

Exemple :

La fonction f ci-dessous présente un point d’inflexion en x=a et est deux fois dérivable sur son ensemble de définition.

On a :

x – ∞ a + ∞

f ' '(x) – 0 +

f '(x)

Chapitre 3 – Évolutions discrètes

I – Rappels sur les suites numériques

a) Génération d’une suite

Les suites permettent de modéliser les phénomènes discrets (dont on peut numéroter les différentes étapes), à l’inverse des fonctions définies sur des intervalles, qui modélisent les phénomènes continus.

Une suite u peut aussi se noter (u_n)_n∈ℕ si son rang de départ est n=0. Si son rang de départ est un certain entier ⁿ0, on peut la noter ^(un)_n⩾n0.

Suites définies explicitement Suites définies par une relation de récurrence Pour tout ^n⩾n0, ^un se calcule en appliquant

une fonction f (définie sur ^[n0;+∞ [) à l’entier n : ^un=f(n).

Exemple : Soit f la fonction définie sur

[

[

^√

√

La suite (u_n)_n∈ℕ est bien définie.

On a :

• _{u2=f (2)=}

√

• _{u3=f (3)=}

√

√

• _{u4=f (4)=}

√

√

• _u50=f(50)=

√

√

On peut calculer n’importe quel terme.

Pour tout ^n⩾n0, ^un+1 se calcule à partir du terme précédent ^un en appliquant une fonction

f définie sur un intervalle I contenant ⁿ0 tel que pour tout x∈I f(x)∈I .

Exemple : Soit la suite (u_n)_n∈ℕ :

{

√

La fonction f est définie sur [−3;∞[. u₀=−2∈[−3;∞[. Si x∈[−3;∞ [, x+3∈[0;+∞[ ⇒

√

f(x)∈[−3;+∞ [.

La suite (u_n)_n∈ℕ est bien définie.

On a :

• _u1=f(u0)=

√

^√

• _u2=f(u1)=

√

^√

• _u3=f(u2)=

√

^√

^√

• _u4=f(u3)=

√

√ ^√

Pour calculer un terme, il faut nécessairement avoir calculé les précédents.

b) Sens de variation

Définition : Soit p∈ ℕ. Une suite (u_n) est strictement croissante à partir du rang p si pour tout entier naturel n⩾p, on a u_n<u_n+1.

Remarque : On peut adapter cette définition aux suites croissantes, strictement décroissantes, décroissantes. Une suite est monotone lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante.

Méthodes :

• On peut déterminer, pour tout n⩾p, le signe de la différence u_n+1−u_n .

• On peut comparer, pour tout n⩾p, le rapport ^un+1

u_n avec 1, après s'être assuré que u_n était de signe constant pour tout n⩾p.

II – Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison r et de premier terme ^u0

Suite géométrique de raison q≠0 et de premier terme ^u0≠0

Définition (par

récurrence) Pour tout entier n : ^un+1=u_n+r Pour tout entier n : ^un+1=u_n×q Expressions

explicites

Pour tous entiers n et p :

• u_n=u₀+n r

• u_n=u₁+(n−1)r

• u_n=u_p+(n−p)r

Pour tous entiers n et p :

• _un=u0×qⁿ

• _un=u1×qⁿ⁻¹

• _un=up×q^n−p

Sens de variation

• Si r>0, (u_n) est strictement croissante.

• Si r<0, (u_n) est strictement décroissante.

• Si r=0, (u_n) est constante.

• Si q>1 et ^u0>0, (u_n) est strictement croissante.

• Si q>1 et ^u0<0, (u_n) est strictement décroissante.

• Si 0<q<1et ^u0>0, (u_n) est strictement décroissante.

• Si 0<q<1 et ^u0<0, (u_n) est strictement croissante.

• Si q=1 la suite est constante.

• Si q<0, la suite n’est pas monotone.

Somme de termes consécutifs

Pour tout n∈ℕ, u₀+u₁+…+u_n=

∑

k=0 n

u_k=(n+1)u₀+u_n 2

Si q≠1, pour tout n∈ℕ, u₀+u₁+…+u_n=

∑

k=0 n

u_k=u₀1– qⁿ⁺¹ 1– q

Utilisation

Les variations absolues ^un+1−u_n entre deux termes consécutifs sont constantes : une suite arithmétique modélise un phénomène d’évolution linéaire.

Les variations relatives ^un+1−un

u_n entre deux termes consécutifs sont constantes : une suite géométrique modélise un phénomène d’évolution exponentielle.

III – Limite d’une suite

a) Notion de limite d’une suite

Définitions : On considère une suite (un) et L∈ ℝ.

• u diverge vers + ∞ (on note lim

n→+ ∞u_n=+ ∞ ) si pour tout seuil A∈ℝ aussi grand soit-il, l’intervalle ^{]A;+∞ [} contient tous les termes

u_n à partir d’un certain rang N .

• u diverge vers −∞ (on note lim

n→+ ∞u_n=−∞ ) si pour tout seuil A∈ℝ aussi petit soit-il,

l’intervalle ^]−∞;A[ contient tous les termes ^un à partir d’un certain rang N .

• u converge vers L (on note lim

n→+ ∞u_n=L) si tout intervalle ouvert I contenant L aussi petit soit-il contient tous les termes ^un à partir d’un certain rang N .

b

) Limites des suites de référence

Propriétés admises : Soit un entier k⩾1. On a :

n→+ ∞lim n^k=+ ∞ lim

n→+∞

√

n→+ ∞eⁿ=+ ∞

n→+∞lim 1

n^k=0 lim

n→+∞

1

√

n→+ ∞lim e⁻ⁿ=0

c ) Limite d’une somme

Propriétés admises : Soient u et v deux suites, L et L' deux réels. On a alors : Si ^lim

n→+ ∞u_n= L L L + ∞ + ∞ −∞

et ^lim

n→+ ∞v_n= L' + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

alors ^lim

n→+ ∞u_n+v_n= L+L ' + ∞ −∞ + ∞ F.I ^−∞

F.I signifie « Forme Indéterminée » : cela signifie que le tableau ne permet pas de conclure. En règne générale, il faut faire une transformation d’écriture.

Exemple : Pour tout n∈ℕ, soient ^un=n et v_n=−3 n. On a alors lim

n→+∞u_n=+∞ et lim

n→+∞v_n=−∞. Si l’on cherche la limite de ^un+v_n en +∞, on est dans le cas d’une forme indéterminée.

Cependant, comme u_n+v_n=−2 n, on a directement lim

n→+∞u_n+v_n=−∞.

d) Limite d’un produit

Propriétés admises : Soient u et v deux suites, L et L' deux réels. On a alors : Si ^lim

n→+ ∞u_n= L L≠0 L≠0 + ∞ + ∞ −∞ 0

et ^lim

n→+ ∞v_n= L' + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞ ±∞

alors ^lim

n→+ ∞u_n×v_n= L×L' + ∞ si

L>0

−∞ si L<0

−∞ si L>0 + ∞ si L<0

+ ∞ −∞ + ∞ F.I

Exemple : Pour tout n∈ℕ ∖{0}, soient ^un=1

n et v_n=n³+2 n. On a alors lim

n→+∞u_n=0 et comme lim

n→+∞n³=+∞ et lim

n→+∞2 n=+∞, le théorème relatif à la limite d’une somme donne lim

n→+∞v_n=+ ∞.

Si l’on cherche la limite de ^un×v_n en +∞, on est dans le cas d’une forme indéterminée.

Cependant, comme pour tout n∈ℕ ∖{0}, u_n×v_n=1

n×(n³+2 n)=n³ n +2 n

n =n²+2, on a

n→+∞lim n²=+∞ et lim

n→+∞2=2, donc le théorème relatif à la limite d’une somme donne lim

n→+∞u_n×v_n=+∞ . e) Limite d’un quotient

Propriétés admises : Soient u et v deux suites, L et L' deux réels. On a alors : Si ^lim

n→+ ∞u_n= L L L>0 L>0 L<0

et ^lim

n→+ ∞v_n= L'≠0 ±∞ 0 avec ^vn>0 0 avec ^vn<0 0 avec ^vn>0

alors lim

n→+ ∞

u_n

v_n= L

L '

0 ^{+ ∞ −∞ −∞}

Si ^lim

n→+ ∞u_n= L<0 0 ^{±∞ + ∞ −∞}

et ^lim

n→+ ∞v_n= 0 avec ^vn<0 0 ^±∞ L' L'

alors lim

n→+ ∞

u_n v_n=

+ ∞ F.I F.I

+ ∞ si L'>0

−∞ si L'<0

−∞ si L'>0 + ∞ si L'<0

f) Limites et inégalités

Propriétés admises : On considère trois suites u, v et w et N∈ ℕ.

• Théorème de minoration : Si pour tout entier naturel n⩾N u_n⩽v_n et ^lim

n→+ ∞u_n=+ ∞ , alors lim

n→+ ∞v_n=+ ∞.

• Théorème de majoration : Si pour tout entier naturel n⩾N u_n⩽v_n et lim

n→+ ∞v_n=−∞, alors lim

n→+∞u_n=−∞.

• Théorème des gendarmes : Si pour tout entier naturel n⩾N u_n⩽v_n⩽w_n et si u et w convergent vers le même réel L, alors lim

n→+ ∞v_n=L.

• Passage à la limite dans les inégalités : Si u converge vers L et v converge vers L' et si pour tout entier naturel ^{n⩾N u}n⩽v_n, alors L⩽L' .

g) Limite d’une suite géométrique

Propriété admise : Soit q∈ℝ ∖{0}. La suite (qⁿ) est géométrique, et on a :

• Si q>1, la suite (qⁿ) diverge vers + ∞.

• Si q=1, la suite (qⁿ) vaut toujours 1 et donc converge vers 1.

• Si 0<q<1, la suite (qⁿ) converge vers 0.

• Si −1<q<0, la suite (qⁿ) converge vers 0.

• Si q=−1, la suite (qⁿ) alterne les valeurs 1 et −1 donc diverge sans limite.

• Si q<−1, la suite (qⁿ) alterne des valeurs de signes contraires et de plus en plus grandes en valeur absolue, donc (qⁿ) diverge sans limite.

IV – Suites arithmético-géométriques

a) Définition

Définition : Une suite (u_n)_n∈ℕ est arithmético-géométrique si et seulement si il existe des réels a et b tels que, pour tout n∈ℕ, ^un+1=a u_n+b.

Remarque s : Si a=1, pour tout n∈ℕ, ^un+1=u_n+b donc u est arithmétique de raison b. Si b=0, pour tout n∈ℕ, ^un+1=a u_n donc u est arithmétique de raison a.

Si a≠1 et b≠0, u n’est ni arithmétique, ni géométrique.

b) Détermination du terme général d’une suite arithmético-géométrique

Contrairement aux suites arithmétique et géométrique, l’expression du terme général d’une suite arithmético-géométrique n’est pas au programme, cependant la méthode pour le déterminer est à connaître. Par la suite, (u_n)_n∈ℕ est arithmético-géométrique sans être arithmétique.

Méthode :

• 1^ère étape : On recherche le point fixe c de la fonction affine f(x)=a x+b, c’est-à-dire la solution x=c de l’équation x=a x+b.

• 2^ème étape : On considère la suite auxiliaire (v_n)_{n∈ ℕ} définie pour tout n∈ℕ par v_n=u_n−c et on justifie que cette suite est géométrique de raison a .

• 3^ème étape : On détermine le terme général de la suite v , puis celui de u.

Exemple : Pour tout n∈ℕ, soit u la suite définie par

{

• 1ère étape : On résout sur ^ℝ x=3 x−5⇔– 2 x=−5⇔x=5

2 . Le point fixe est c=5 2 .

• 2^ème étape : Pour tout n∈ℕ, on pose ^vn=u_n−5 2 . On a alors, pour tout n∈ℕ, vn+1=u_n+1−5

2=3 u_n−5−5

2=3 u_n−15

2 =3

(

)

v est donc géométrique de raison 3.

• 3^ème étape : v est géométrique de raison 3 et ^v0=u₀−5=4−5=−1 donc pour tout n∈ℕ, v_n=v₀×3ⁿ=−1×3ⁿ=−3ⁿ ; de plus pour tout n∈ℕ v_n=u_n−5

2⇔u_n=v_n+5

2=−3ⁿ+5 2 . On a donc déterminé le terme général de la suite arithmético-géométrique v :

pour tout n∈ℕ, u_n=5 2−3ⁿ.

Propriété : Si u n’est pas arithmétique, la suite v de l’étape 2 est géométrique de raison a. Preuve : u n’est pas arithmétique donc a≠1.

• 1^ère étape : On cherche le point fixe c : a x+b=x⇔a x−x=−b⇔x(a−1)=−b⇔

a≠1x=− b

a−1 donc c existe et c=− b a−1 .

• 2ème étape : Pour tout n∈ℕ, comme v_n=u_n−c on a : vn+1=un+1−c=a u

⏟

un+1

–(a c

⏟

c=a c+b

=a un+b – a c−b=a un– a c=a(un−c)=a vn donc v est géométrique de raison a.

Chapitre 4 – Évolutions continues

I – Limite d’une fonction

Dans cette partie, l et a sont des réels.

a) Lim ite d ' une fonction à l ' infini

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ^{[a;+∞ [} .

• On dit que f admet pour limite + ∞ en + ∞ lorsque les valeurs de f(x) sont aussi grandes que l’on veut dès que x est suffisamment grand. On note lim

x→+ ∞

f(x)=+ ∞ .

• On dit que f admet pour limite l en ^{+ ∞} lorsque les valeurs de f(x) sont aussi proches de l que l’on veut dès que x est suffisamment grand. On note lim

x→+ ∞

f(x)=l.

Remarque : On définit de même les limites en ^−∞ et les limites égales à ^−∞. b

) Limites à l’infini des fonctions de référence Propriétés admises : Soit un entier k⩾1. On a :

xlim→+ ∞

x^k=+ ∞ lim

x→−∞ x^k=+ ∞ si k est pair lim

x→−∞

x^k=−∞ si k est impair lim

x→+ ∞

√

x→+ ∞

1

x=0 lim

x→−∞

1 x=0 lim

x→+ ∞

1

√

1

x^k=0 lim

x→−∞

1 x^k=0

xlim→+ ∞

e^x=+ ∞ lim

x→−∞

e^x=0

c ) Interprétation graphique d’une limite finie à l’infini Soient f une fonction et l un réel tels que ^lim

x→+ ∞f(x)=l. Alors, on dit que la droite d'équation y=l est asymptote horizontale à la courbe de f en ^+∞.

Graphiquement, cela signifie que lorsque x devient très grand, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y=l. La situation est analogue en ^−∞.

Exemple : Soit f la fonction définie sur ^ℝ ci-dessous.

On constate que lim

x→+∞f(x)=4, c'est-à-dire que la droite y=4 est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞, et que lim

x→−∞f(x)=2, c'est-à-dire que la droite y=2 est asymptote horizontale à la courbe de f en −∞.

d

) Lim ite d’une fonction en un nombre réel

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert dont a est une borne.

On dit que f admet pour limite + ∞ en a lorsque les valeurs de f(x) sont aussi grandes que l’on veut, dès que x est suffisamment proche de a.

Remarques :

• La définition de la limite égale ^−∞ est analogue.

• Si f est définie sur ]−∞;a[∪]a;+ ∞[, on étudie les limites « à gauche » et « à droite » en a, notée respectivement lim

x→a x<a

f(x) et lim

x→a x>a

f(x) ou encore lim

x→a^-

f(x) et lim

x→a⁺

f(x).

• Si les limites à gauche et à droite sont égales, on ne précise pas de quel côté se fait la limite.

e ) Limite en zéro de certaines fonctions de référence Propriétés admises : Soit un entier k⩾1. On a :

lim

x→0 x<0

1

x=−∞ lim

x→0 x>0

1

x=+∞ lim

x→0

1

x^k=+ ∞ si k est pair limx→0

x<0

1

x^k=−∞ si k est impair lim

x→0 x>0

1

x^k=+ ∞ si k est impair lim

x→0

1

√

f ) Interprétation graphique d’une limite infinie en un réel Soient f une fonction et a un réel tels que lim

x→a f(x)=+∞ ou lim

x→a f(x)=−∞. Alors, on dit que la droite d'équation ^x=a est asymptote verticale à la courbe de ^f .

Graphiquement, cela signifie que lorsque x devient très proche de a, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation x=a.

Exemple : Soit f la fonction définie sur ]−∞;3[ ci-dessous.

On constate que lim

x→3f(x)=−∞, et donc la droite d'équation x=3 est asymptote verticale à la courbe de f .

g ) Opérations et théorèmes de comparaison

Les propriétés relatives aux opérations sur les limites et les théorèmes de comparaison pour les limites de suites restent valables pour celles des fonctions.

II – Primitives

a) Définition et premières propriétés

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On appelle primitive de f toute fonction ^F dérivable sur ^I telle que, pour tout ^x∈I, ^F'(x)=f(x).

Exemple : Soit f la fonction définie sur ^ℝ par f (x)=x³+5 x−8 . La fonction F définie sur ℝ par F(x)=x³

3 +5

2 x²−8 x+5 est une primitive de f puisque F est dérivable sur ℝ et que pour tout x∈ℝ, F '(x)=3 x³

3 +5

2×2 x−8×1+0=x³

3+5 x−8=f(x). Propriétés :

• Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I .

• Deux primitives diffèrent d’une constante, c’est-à-dire que si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors pour tout réel C, la fonction G définie sur I par G(x)=F(x)+C est aussi une primitive de f (puisque sa dérivée sur I est G'(x)=F '(x)+0=f(x)).

Conséquences : On déduit des propriétés ci-dessus que :

• Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une infinité de primitives sur I.

• Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I, ^x0∈I et y₀∈ℝ. Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x₀)=y₀ .

Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x⁵ . Cherchons la primitive F de f sur ^ℝ telle que F(1)=2.

f étant dérivable sur ^ℝ, ses primitives sur ^ℝ sont les fonctions F(x)=x⁶

6 +C avec C∈ℝ. Or F(1)=2 donc 1

6

6 +C=2⇔1

6+C=2⇔C=12 6 −1

6⇔C=11 6 . La primitive cherchée est la fonction F définie sur ℝ par F(x)=x⁶

6+11 6 .