Expériences répétées

premiers termes de la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme a, cette dernière vaut

(b−a+1)×a+b

II – Loi de Bernoulli

Définition : Soit p∈[0 ;1]. On considère une expérience aléatoire à deux issues :

– S (appelée succès) avec une probabilité p,

– S (appelée échec) avec donc une probabilité 1−p. Cette situation constitue une épreuve de Bernoulli.

Soit X la variable aléatoire prenant la valeur 1 si S est réalisé et 0 sinon.

La loi de probabilité de X est appelée loi de Bernoulli.

x 0 1

P(X=x) 1−p p

Exemple : Dans une usine, la probabilité qu'un article fabriqué présente un défaut est 0,02.

Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 si l'article présente un défaut et 0 sinon.

X suit une loi de Bernoulli de paramètre p=0,02.

Propriétés : Soit X une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p∈[0 ;1]. Alors :

• E(X)=p

• V(X)=p(1−p)

• σ (X)=

√

^p(1−p)

Preuves :

• E(X)=(1−p)×0+ p×1=p

• _V(X)=E(X²_)−E(X)²_=(1−p)×0²_{+ p×1}²_−p²_=p−p²_=p(1−p)

• σ(X)=

√

^V(X)=

√

^p(1−p)

Exemple : En reprenant l'exemple ci-dessus :

• E(X)=0,02

• V(X)=0,02(1−0,02)=0,02×0,98=0,0196

• σ(X)=

√

^0,0196=0,14

III – Loi binomiale

a) Schéma de Bernoulli

Définition : Lorsqu'on répète une même épreuve de Bernoulli n fois de façons indépendantes, on dit que l'on est en présence d'un schéma de Bernoulli.

Cette situation peut être résumée par un arbre qui possède 2ⁿ chemins.

b) Coefficients binomiaux

Définition : Soient n et k deux entiers naturels tels que 0⩽k⩽n.

(

^nk

)

est appelé coefficient binomial, et se lit « combinaison de k parmi n ».

(

^nk

)

donne le nombre de chemins de l'arbre correspondant à k succès parmi les n répétitions d'une épreuve de Bernoulli.

Remarques : Pour tout n∈ℕ,

•

(

ⁿⁿ

)

⁼¹, car un seul chemin représente n succès lors des n répétitions (c'est le chemin supérieur dans l'arbre).

•

(

ⁿ⁰

)

⁼¹, car un seul chemin représente ⁿ échecs lors des ⁿ répétitions (c'est le chemin inférieur dans l'arbre).

•

(

ⁿ¹

)

^{=n, car n} chemins représentent 1 succès lors des ⁿ répétitions : en effet, cet unique succès peut se produire à la première épreuve, ou à la deuxième, …, ou à la dernière épreuve.

Propriétés : Soient n un entier non nul, et k un entier.

• Si 0⩽k⩽n, on a

(

^nk

)

⁼

(

^n−nk

)

• Si 0⩽k⩽n−1, on a

(

^nk

)

⁺

(

^k+n1

)

⁼

(

^{n+k+ 11}

)

Preuves :

• Pour 0⩽k⩽n,

(

^kn

)

est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions.

Or, à chaque chemin contenant k succès, on peut associer un chemin contenant k échecs – il suffit pour cela d'inverser les notations « succès » et échecs » : le chemin

S₁−S₂– S₃– S₄−S₅ est donc associé à ^S1−S₂– S₃– S₄−S₅.

Il y a donc autant de chemins avec k succès qu'avec k échecs (soit n−k succès) :

(

^kn

)

⁼

(

^n−nk

)

^.

• Pour 0⩽k⩽n−1,

(

^kn++11

)

est le nombre de chemins réalisant k+ 1 succès pour n+1 répétitions. On peut partager ces chemins en deux catégories :

- Ceux qui commencent par un succès : il reste donc n épreuves, et parmi celles-ci il doit y avoir encore k succès. Ce qui fait donc

(

^kn

)

chemins possibles.

- Ceux qui commencent par un échec : il reste donc n épreuves, et parmi celles-ci il doit y avoir encore k+1 succès. Ce qui fait donc

(

^k+n1

)

chemins possibles.

On a donc

(

^kn

)

⁺

(

^k+n1

)

⁼

(

^n+k+11

)

^.

c) Le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un tableau qui donne les valeurs des coefficients binomiaux

(

^kn

)

^.

Comme 0⩽k⩽n, il a la forme d'un triangle. Il peut bien sûr être prolongé pour n=4, n=5, … et pour k=4, k=5, …

k=0 k=1 k=2 k=3

n=0

(

⁰⁰

)

n=1

(

¹⁰

) (

¹¹

)

n=2

(

²⁰

) (

²¹

) (

²²

)

n=3

(

³⁰

) (

³¹

) (

³²

) (

³³

)

Les remarques et propriétés précédentes permettent de calculer les coefficients :

• Pour n∈ℕ ,

(

ⁿ⁰

)

⁼¹ donc dans la colonne « k=0 » toutes les valeurs valent 1.

• Pour n∈ℕ ,

(

ⁿⁿ

)

⁼¹ donc dans la diagonale

(

⁰⁰

)

^,

(

¹¹

)

, … toutes les valeurs valent 1.

• Pour 0⩽k⩽n−1,

(

^kn

)

⁺

(

^k+n1

)

⁼

(

^n+k+11

)

donc la valeur de la case

(

^kn++11

)

s'obtient en ajoutant la case du dessus

(

^k+n1

)

avec la case à côté de cette dernière

(

^kn

)

^.

On obtient donc :

k=0 k=1 k=2 k=3

n=0 1

n=1 1 1

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1

Remarque : La calculatrice permet de calculer n'importe quel coefficient binomial.

d) Loi binomiale

Définition : On répète une même épreuve de Bernoulli de paramètre p∈[0 ;1] n fois de façons indépendantes (schéma de Bernoulli). Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de succès (c'est-à-dire le nombre de « 1 ») parmi les n expériences.

Alors, on dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p. On note X∼B(n; p). Exemple : Si on joue sept fois à un jeu dont la probabilité de gagner à chaque fois est 0,4, la variable aléatoire X représentant le nombre de fois où l'on gagne suit une loi binomiale

B(7;0,4).

Théorème (loi de probabilité d'une loi binomiale) : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n∈ ℕ et p∈[0 ;1] ( X∼B(n;p)).

Alors, pour k∈⟦0 ;n⟧, P(X=k)=

(

^nk

)

^{pk(1−p)n−k.}

Preuve : En utilisant l'arbre, on constate que X=k est réalisé si un chemin comporte k succès et donc n−k échecs. En faisant le produit des probabilités des branches, la probabilité d'un tel chemin est donc p^k(1−p)^n−k. Comme par définition il y a

(

^kn

)

chemins avec k succès, on a le résultat souhaité.

Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p.

• E(X)=n p

• V(X)=n p(1−p)

• _{σ (X)=}

√

^{n p(1−p)}

Exemple : Si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale B

(

^4;13

)

^{, alors :}

P(X=3)=

(

⁴³

) (

¹³

)

³

(

¹⁻¹³

)

⁴⁻³⁼⁴

(

¹³

)

³

(

²³

)

^{1=4×271 ×23=818}

E(X)=4×1 3=4

3 V(X)=4×1

3×2 3=8

9

σ(X)=

√

^V(X)=

√

⁸⁹⁼²

^√

³²

IV – Loi binomiale et échantillonnage

a) Représentation graphique d'une loi binomiale

On considère dans cette partie une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(15 ;0,3). On construit un diagramme représentant cette loi : en abscisse, ce sont les valeurs k de la variable aléatoire X (avec 0⩽k⩽15), et en ordonnée, les probabilités P(X=k).

On a E(X)=15×0,3=4,5. On remarque que les valeurs de X les plus probables sont centrées autour de l'espérance de X : pour des valeurs éloignées de E(X), la probabilité que X prenne ces valeurs est très faible.

En réalité, cette observation est vraie pour n'importe quelle loi binomiale.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

b) Intervalle de fluctuation et règle de décision

Dans une population, afin de pouvoir affirmer que la fréquence d’apparition d’un caractère est p, on met en place une règle de décision.

Définition : Soit X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p. Alors un intervalle de fluctuation au seuil 1−α (avec 0⩽α⩽1) de la fréquence ^F=X

n est I=

[

^kn1;kn2

]

^{où k1 et k2} sont les plus petits entiers vérifiant :

P(X⩽k₁) >α

2 et P(X⩽k₂)⩾1−α 2 . Remarque s :

• On a donc ^P(X<k1)<α

2 et P(X>k₂)<α 2 .

• On a ^P(k1⩽X⩽k₂)⩾1−α.

Règle de décision : Avec les notations précédentes, on formule l’hypothèse « Dans la

population, la proportion du caractère étudié est p ». On prélève un échantillon de taille n. Si la population est très grande, on peut assimiler le tirage à un tirage avec remise

indépendant. Soit ^fobs la fréquence observée du caractère.

• Si ^fobs∈I, alors on ne rejette pas l’hypothèse.

• Si ^fobs∉I, alors on rejette l’hypothèse (avec une probabilité α de la rejeter à tort).

Exemple : On cherche à savoir si la face 6 d’un dé est truquée.

On fait l’hypothèse qu’elle n’est pas truquée ; par conséquent, on fait l’hypothèse que la fréquence d’apparition de la face 6 est ^p=1

6 .

On lance 40 fois le dé. Soit X le nombre de fois où 6 apparaît. X suit une loi binomiale de paramètres 40 et ¹

6 .

On observe 7 apparitions de la face 6. On a donc ^fobs= 7 40 .

On cherche l’intervalle de fluctuation à 95 %, c’est-à-dire que 1−α=0,95⇔α=0,05. Par calculs, on détermine que les plus petits entiers ^k1 et ^k2 tels que P(X⩽k₁)>0,025 et

P(X⩽k1)⩾0,975 .

On obtient ^k1=2 et ^k2=12 . L'intervalle de fluctuation à 95 % pour la fréquence est I=

[

^{402 ;1240}

]

. Il y a donc 95 % de chances que X soit entre 2 et 12.

Comme ^fobs∈I, on ne rejette pas l’hypothèse que la face 6 est équilibrée.

Illustration graphique de l’exemple :

c) Intervalle de confiance et estimation

Dans une population, on cherche à estimer, à partir d’un échantillon, la proportion inconnue p d’un caractère donné.

Propriété (admise) : Soit X un variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p ( X∼B(n;p)) avec p inconnue et ^F=X_n la fréquence associée à X .

Alors, pour n suffisamment grand, p appartient à l’intervalle

[

^F−

^√

^1n;F+

^√

¹ⁿ

]

^{avec un}

probabilité supérieure ou égale à 95 %.

Exemple : Dans une très grande cuve, on a des boules rouges ou bleues indiscernables au toucher.

Le nombre de boules est tel qu’un tirage sans remise peut être assimilé à un tirage avec remise.

Lors d’un tirage de n=100 000 boules, on observe 35 559 rouges.

La fréquence observée ^fobs des boules rouges dans l’échantillon est donc ^fobs=0,355 59.

[

^fobs−

√

¹n;f_obs+ 1

√

n

]

⁼

[

^{0,355 59−}

√

100 000¹ ;0,355 59+ 1

√

100 000

]

^{=[0,354 59;0,356 59] est donc}

l’intervalle de confiance au niveau 95 % de la proportion p de boules rouges dans la cuve.

0

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