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Terminale S - Limites de suites - Exercice E4

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Academic year: 2022

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http://xmaths.free.fr TS − Suites − Exercices page 1 / 1

Exercice E4

On considère les suites ( u

n

) et (v

n

) définies par : u

0=

2 et pour tout n

∈

IN v

n=

2

u

n

et u

n+1=

u

n

+ v

n

2

1°) Calculer v

0

; u

1

; v

1

; u

2

; v

2

. Donner les résultats sous forme de fraction irréductible.

2°) En utilisant un tableur ou une calculatrice, donner un tableau de valeurs décimales approchées de u

n

et v

n

pour n variant de 1 à 5.

3°) Démontrer que les suites ( u

n

) et (v

n

) sont majorées par 2 et minorées par 1.

4°) Montrer que pour tout n

∈

IN u

n+1

- v

n+1=

( u

n

- v

n

)

2

2( u

n

+ v

n

) (1) 5°) Montrer que pour tout n

∈

IN u

n

³ v

n

.

6°) Montrer que ( u

n

) est décroissante et (v

n

) croissante.

7°) Montrer que pour tout n

∈

IN u

n

- v

n

£ 1 et en déduire que ( u

n

- v

n

)

2

£ u

n

- v

n

(2) 8°) Montrer que pour tout n

∈

IN u

n+1

- v

n+1

£ 1

4 ( u

n

- v

n

) (on pourra utiliser les relations (1) et (2) ) En déduire que pour tout n

∈

IN u

n

- v

n

£ 1

4

n

9°) Montrer que les suites ( u

n

) et (v

n

) sont convergentes et qu'elles ont la même limite l .

Une suite convergente de nombre rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ?

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