69 68 Exercices 67

(1)

242

Chapitre 10 Vecteurs, droites et plans de l’espace 4. Soit R la position de l’arbre et T la position de Kito.

On a : CR CRu ruu 4 1 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ et CT CTu ruu 7 74 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟. On remarque que CRCRu ruu

= 4 7CTu ruu

CT, les vecteurs CR et CT sont colinéaires et les points C, R et T sont alignés.

67 _{Partie A}

1. Le point M est tel que GM = xCG, les vecteurs GM et CG sont colinéaires et les points C, G et M sont alignés.

Les droites ( )FB et ( )GC sont parallèles par construction.

Les droites ( )FB et ( )GC sont donc coplanaires ainsi que les points M, G, C, F et B. On en déduit que les droites (MB) et ( )FG sont coplanaires.

2. De la même manière que la question précédente, on démontre que les droites (MD) et (HG) sont coplanaires.

3.

A B

C M

F G U V H

D E

Le polyèdre 3 est un pentaèdre.

Partie B

1. À faire à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique 3D.

2. a. Soit V_MVUG le volume du tétraèdre ayant pour base le triangle VGU rectangle isocèle en G.

D’après le théorème de Thalès, VG DC = MG

MC ⇔VG= DC×MG MC . Soit VG= x

1+x.

Ainsi, V_MVUG =

VG×GU 2 ×MG

3 =

1+xx× x 1+x

2 ×x

3 = x³

6 1+( x)² V_MVUG =

VG×GU 2 ×MG

3 =

1+xx× x 1+x

2 ×x

3 = x³

6 1+( x)² ^.

Soit V_MDBC le volume du tétraèdre ayant pour base le triangle CDB rectangle isocèle en C.

On a : V_MDBC =

DC×BC 2 ×MC

3 =

21×(1+x) 3 =1+x

6 . Soit V_CDBGVU le volume du pentaèdre.

On a V_CDBGVU =V_MDBC −V_MVUG =1+x 6 − x³

6 1( +x)² ⁼ ¹⁺

( x)³−x³

6 1( +x)² ⁼¹⁺^3x⁺^3x

2+x³−x³ 6 1( +x)² ⁼ ^3x

2+3x+1 6 1( +x)² V_CDBGVU =V_MDBC −V_MVUG =1+x

6 − x³

6 1+( x)² ⁼ ¹⁺

( x)³−x³

6 1+( x)² ⁼¹⁺^3x⁺^3x

2+x³−x³ 6 1+( x)² ⁼ ^3x

2+3x+1 6 1+( x)² V_CDBGVU =V_MDBC−V_MVUG =1+x

6 − x³

6 1( +x)² ⁼ ¹⁺

( x)³−x³

6 1( +x)² ⁼¹⁺^3x⁺^3x

2+x³−x³ 6 1( +x)² ⁼ ^3x

2+3x+1 6 1( +x)² ^. b. Le volume du cube est V_cube =1.

Le problème revient à trouver, sur l’intervalle [ ]0 ; 1^,

De même, le plan (IJK) coupe les plans parallèles (ABF) et (DCG) selon deux droites parallèles ; on trace alors le segment [ ]IM , parallèle au segment [ ]JK^.

On trace alors [ ]ML^.

La section du cube par le plan (IJK) est donc un pentagone IJKLM. L’affirmation 3 est vraie.

A B

C F

G

I J

L

M H K

D E

69 1. IJ = IF + FG + GJ =

IJuru

=IFu ru +FGu ruu

+GJu ru

= 2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

=2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

ÊF^{u r}ûu⁺^FB^{u r}ûu

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃ÊB^{u r}ûu⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃

(

ÊC^{u r}ûu⁻^BC^{u r}ûu

)

⁺^FG^{u r}^uu ⁼²₃

(

ÊC^{u r}ûu⁻^FG^{u r}ûu

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃^{EF + FG +}ÊC^{u r}ûu ⁺₃¹^FG^{u r}ûu

IJuru

=IFu ru +FGu ruu

+GJu ru

=2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

= 2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼²₃

(

+GJu ru

=2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

= 2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼²₃ÊB^{u r}ûu⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃

(

ÊC^{u r}ûu ⁻^BC^{u r}ûu

)

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼²₃^{(EF + GC}ÊC^{u r}ûu ⁺¹₃^FG^{u r}ûu^{) + FG =}

IJuru

=IFu ru +FGu ruu

+GJu ru

= 2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

=2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

)

(

)

⁺^FG^{u r}^uu ⁼²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃(EF + FB) + FG = ÊC^{u r}ûu ⁺₃¹^FG^{u r}ûu IJuru

=IFu ru +FGu ruu

+GJu ru

= 2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

=2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

)

(

)

⁺^FG^{u r}^uu ⁼²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃^{EB + FG}ÊC^{u r}ûu ⁺₃¹^FG^{u r}ûu

= IJuru

=IFu ru +FGu ruu

+GJu ru

= 2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

=2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

)

(

)

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃^{(EC – BC}ÊC^{u r}ûu⁺₃¹^FG^{u r}ûu⁾⁺^FG⁼

IJuru

=IFu ru +FGu ruu

+GJu ru

= 2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

=2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

ÊF^{u r}ûu ⁺^FB^{u r}ûu

)

(

)

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃^{(EC – FG}ÊC^{u r}ûu⁺₃¹^FG^{u r}ûu⁾⁺^FG⁼

IJuru

=IFu ru +FGu ruu

+GJu ru

=2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

= 2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼²₃ÊB^{u r}ûu⁺^FG^{u r}ûu ⁼ ²₃

(

)

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼²₃ÊCÊC^{u r}ûu⁺⁺¹₃^FG^{u r}ûu

IJuru

=IFu ru +FGu ruu

+GJu ru

=2 3EFu ruu

+FGu ruu +2

3GCu ruu

= 2 3 EFu ruu

+GCu ruu

( )

⁺^FG^{u r}^uu ⁼²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼²₃ÊB^{u r}ûu⁺^FG^{u r}ûu ⁼²₃

(

)

⁺^FG^{u r}^uu ⁼ ²₃

(

)

⁺^FG^{u r}ûu ⁼²₃ÊC^{u r}ûu ⁺¹₃^FG^FG^{u r}ûu

Il existe deux nombres réels x et y tels que IJ = xEC + yFG, les vecteurs IJ, EC et FG sont donc coplanaires.

^,

I

( )

0 ; 23;1^{, J}

(

²3; 0 ; 0

)

^.

b. FG FGu ruu 0 0

−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, IJ IJuru 23

−2 3

−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟ et EC ECu ruu 1

−1−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟.

(2)

Chapitre 10 Vecteurs, droites et plans de l’espace 243

c. Pour montrer que les vecteurs FG, IJ et EC sont copla- naires, il suffit de trouver deux nombres x et y tels que IJ = xEC + yFG.

Donc IJ = xEC + yFG IJuru

=x ECu ruu +yFGu ruu

⇔

23=x×1+y×0

−2

3=x× −1( )+y×0

−1=x× −1( )+y× −1( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

⇔ 23=x

−2 3= 2

3× −1( )

−1=2

3× −1( )−y

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇔ x= 2

3

−2 3= −2

3 y= 1

3

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

IJuru

⇔

23=x×1+y×0

−2

3=x× −1( )+y×0

−1=x× −1( )+y× −1( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

⇔ 23=x

−2 3=2

3× −1( )

−1= 2

3× −1( )−y

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇔ x=2

3

−2 3= −2

3 y= 1

3

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

IJuru

⇔

23=x×1+y×0

−2

3=x× −1( )+y×0

−1=x× −1( )+y× −1( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

⇔ 23=x

−2 3= 2

3× −1( )

−1= 2

3× −1( )−y

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇔ x=2

3

−2 3= −2

3 y= 1

3

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

.

Le système admet un couple solution

(

x;y

)

= 2 3; 13

( )

^.

Les vecteurs IJ, EC et FG sont donc coplanaires.

70 _1.

A B

C F K

I J P

H G

D E

2. • Le point P est le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (EH) ; le point H appartient au plan (EFG) donc la droite (EH) est contenue dans le plan (EFG).

On en déduit que P appartient à l’intersection des plans (IJK) et (EFG).

• Le point K appartient au plan (IJK) et la droite ( )FG qui est contenue dans le plan (EFG). On en déduit que K appartient à l’intersection des plans (IJK) et (EFG).

• Les plans (IJK) et (EFG) ne sont pas parallèles donc leur intersection est une droite. Les deux points P et K appar- tiennent à l’intersection des deux plans, donc l’intersection des deux plans (IJK) et (EFG) est la droite ( )PK .

71 _{1. AD}^{u r}_AD^uu ⁰₃⁻₋²₁ 7−5

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, soit AD u rADuu −2 2 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟.

BC BC u ruu 3−4

3−2 5−4

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, soit BC BCu ruu −1 1 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟.

On remarque que AD = 2BC, les vecteurs AD et BC sont coli- néaires et les droites (AD) et ( )BC sont donc parallèles.

2. AB ABu ruu 4−2 2−1 4−5

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, soit AB u rABuu 2 1

−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟.

AC AC u ruu 3−2

3−1 5−5

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, soit AC u rACuu 1 2 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟.

On cherche deux nombres réels x et y tels que AD = xAB + yAC.

Donc AD = xAB + yAC u rADuu

=x ABu ruu +y ACu ruu

⇔ −2=2x+y 2=x+2y 2= −x

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ −2=2× −2( )+y 2= −2+2y x= −2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ y=2 y=2 x= −2

⎧

⎨⎪

⎩⎪ u rADuu

=x ABu ruu +y ACu ruu

⇔ −2=2x+y 2=x+2y 2= −x

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ −2=2× −2( )+y 2= −2+2y x= −2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ y=2 y=2 x= −2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

u rADuu

= x ABu ruu +y ACu ruu

⇔ −2=2x+y 2=x+2y 2= −x

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ −2=2× −2( )+y 2= −2+2y x= −2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ y=2 y=2 x= −2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

Le système admet un couple solution

(

x;y

)

= −2 ; 2

( )

^{, donc}

AD = –2AB + 2AC.

3. La relation vectorielle précédente montre que les points A, B, C et D sont coplanaires.

4. Les points A, B, C et D sont coplanaires, les droites ( )AB et ( )CD le sont donc aussi. Puisque les droites ( )AB et ( )CD sont coplanaires et non parallèles, elles sont sécantes.

72 _{2. Pour m}₌_{0, on a :}

G₀E + G₀B – G₀G + G₀D = 0

⇔ G₀A + AE + G₀A + AB – G₀A – AG + G₀A + AD = 0

⇔ 2G₀A + AE + AB – AG + AD = 0.

Or, dans le cube, AG = AB + AE + AD, donc l’égalité vectorielle précédente devient : 2G₀A = 0 ⇔ G₀ = A.

3. a. G₁E + G₁G = 0 ⇔ G₁E = –G₁G.

b. De l’égalité vectorielle précédente on déduit que le point G₁ est le milieu de [ ]EG ^.

4. a. G_mE + (1 – m)G_mB + (2m – 1)G_mG + (1 – m)G_mD = 0

⇔ G_mA + AE + (1 – m)G_mA + (1 – m)AB + (2m – 1)G_mA + (2m – 1)AG + (1 – m)G_mA + (1 – m)AD = 0

⇔ 2G_mA + m(–AB + 2AG – AD ) = 0

⇔ 2G_mA + m(AE + AG ) = 0

Or, G₁A + AE + G₁A + AG = 0 ⇔ 2G₁A = –AE – AG ⇔ 2AG₁ = AE + AG.

Ainsi, 2G_mA + m(AE + AG) = 0 ⇔ 2G_mA + 2mAG₁ = 0

⇔ AG_m = mAG₁.

b. AG_m = mAG₁ montre que G_m appartient à la droite

(

AG₁

)

^.

Le réel m étant quelconque, G_m parcourt toute cette droite.

5. G₁ est le milieu de [ ]EG et I est le milieu de [ ]AC ^{. Par} construction, les droites ( )EG êt( )ÂC sont parallèles. Or, deux droites parallèles sont coplanaires, on en déduit donc que les droites ( )EG êt( )ÂC sont coplanaires et ainsi que les points A, G_m, E et I sont coplanaires.

73 _{1. a. C}(₁_;₁_{; 0}), E(0 ; 0 ; 1), I 1 ; 1 2 ; 0

( )

^{et J}

(

2¹ ; 1 ; 0

)

^.

b. CE CEu ruu −1

−1 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ et, comme M appartient au segment [ ]CE , alors il existe un réel t appartenant à l’intervalle [ ]0 ; 1 tel que CM = tCE

CMu ruu

=tCEu ruu

⇔

x_M −1= −t y_M −1= −t z_M =t

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔

x_M =1−t y_M =1−t z_M =t

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

(3)

244

Chapitre 10 Vecteurs, droites et plans de l’espace 2. a. Lorsque θ [ [0 ; π]^{, alors}^θ₂^[^⎡_⎣^{0 ;}^π₂^⎤_⎦^{. Or, sur}^⎡_⎣^{0 ;}^π₂^⎤_⎦^{, la} fonction sinus est croissante, donc θ et sin θ

( )

2 ont les mêmes variations et lorsque la mesure de θ est maximale, sin θ

( )

2 ^est maximal.

b. Soit H le projeté orthogonal de M sur ( )IJ . Comme MIJ est isocèle, alors H est le milieu de [ ]IJ et la longueur HI est constante quelle que soit la position de M. Ainsi, dans le triangle HIM rectangle en H, sin θ

( )

2 ⁼ IM^HI. Comme la fonction x ∞ HI

x est décroissante sur ]0 ; +`[, alors la valeur de sin θ

( )

2 , et donc celle de θ, est maximale lorsque IM est minimale.

c. f dérivable sur [ ]0 ; 1, f’( )t =6t−1 et f’( )t =0⇔t= 1 6. Ainsi, sur l’intervalle 0 ; 1

⎡ 6

⎣ ⎤

⎦, la fonction f est décroissante et, sur l’intervalle 1

6 ; 1

⎡⎣ ⎡

⎣, f est croissante.

Le minimum de la fonction f est donc atteint pour t= 1 6. d. Pour t= 1

6, M₀ 5 6 ; 1

6 ; 1

(

6

)

alors la valeur de IM² et donc de IM (car la fonction carré est croissante sur [0 ; +`[^{) est} minimale, et donc la valeur de θ est maximale. Ainsi, pour cette position M₀, la mesure de l’angle IMJ· est maximale.

74 _1.

A B

C F

J

J’

I

I’

G H

D E

2. AI = u rAIu

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EIu ru

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔EIu ru

= 1 8EFu ruu

+ 1 8EHu ruu

AB + u rAIu

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EIu ru

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔EIu ru

= 1 8EFu ruu

+ 1 8EHu ruu

AD + AE ⇔ AE + EI = u rAIu

= 1 8ABu ruu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EIu ru

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔EIu ru

= 1 8EFu ruu

+ 1 8EHu ruu

AB + u rAIu

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EIu ru

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔EIu ru

= 1 8EFu ruu

+ 1 8EHu ruu

AD + AE ⇔ EI =

u rAIu

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EIu ru

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔EIu ru

= 1 8EFu ruu

+ 1 8EHu ruu

EF + u rAIu

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EIu ru

= 1 8u rABuu

+ 1 8u rADuu

+u rAEuu

⇔EIu ru

= 1 8EFu ruu

+1 8EHu ruu

EH.

Les vecteurs EI, EF et EH sont coplanaires et le point I appartient donc à la face EFH du cube.

AJ = AJu ru

= 1 2u rABuu

+1 2u rADuu

+AEu ruu

⇔u rAEuu +EJu ru

= 1 2u rABuu

+1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔EJu ru

= 1 2EFu ruu

+ 1 2EHu ruu

AB + u rAJu

= 1 2u rABuu

+ 1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EJu ru

= 1 2u rABuu

+ 1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔EJu ru

= 1 2EFu ruu

+1 2EHu ruu

AD + AE ⇔ AE + EJ = u rAJu

= 1 2u rABuu

+ 1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EJu ru

= 1 2u rABuu

+1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔EJu ru

= 1 2EFu ruu

+1 2EHu ruu

AB + u rAJu

= 1 2u rABuu

+1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EJu ru

= 1 2u rABuu

+1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔EJu ru

= 1 2EFu ruu

+ 1 2EHu ruu

AD + AE

⇔ EJ = u rAJu

= 1 2u rABuu

+ 1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EJu ru

= 1 2u rABuu

+1 2u rADuu

+AEu ruu

⇔EJu ru

= 1 2EFu ruu

+1 2EHu ruu

EF + u rAJu

= 1 2u rABuu

+1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔u rAEuu +EJu ru

= 1 2u rABuu

+ 1 2u rADuu

+u rAEuu

⇔EJu ru

= 1 2EFu ruu

+1 2EHu ruu

EH.

Les vecteurs EJ, EF et EH sont coplanaires et le point J appartient donc aussi à la face EFH du cube.

3. I 1 8; 18;1

( )

^,^J

(

¹2; 12;1

)

^,^I^{’ 1; 3}

(

8; 18

)

^et^{J' 1}

(

2; 0 ; 18

)

^.

4. Voir la figure de la question 1.

5. II IIu ru’ ’ 1− 1

8 38− 1

8 81−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

, soit II IIu ru’ ’ 78 14

−7 8

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟ .

IJ IJuru 21− 1

8 21− 1 8 1−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟, soit IJ IJuru 38 38 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟.

IJ ’ IJu ru' 21− 1

8 0−1 8 81−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

, soit IJ ’ IJu ru' 38

−1 8

−7 8

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟ .

On cherche deux nombres réels x et y tels que II ’ = xIJ + yIJ ’.

Donc II IIu ru’’ = xIJ + yIJ ’

=x IJuru +yIJ’u ru

⇔ 78= 3

8x+3 8y 41= 3

8x− 1 8y

−7 8= −7

8y

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇔ 78= 3

8x+3 1 8

4= 3 8x−1 y=1 8

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

⇔ x= 4 x=13 y=1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

II’ u ru=x IJuru

+yIJu ru’

⇔ 78= 3

8x+3 8y 14= 3

8x− 1 8y

−7 8= −7

8y

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇔ 78= 3

8x+ 3 1 8

4= 3 8x−1 y=1 8

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

⇔ x= 4 x=13 y=1

⎧

⎨⎪

⎩⎪ .

Le système n’admet pas de couple solution.

Les vecteurs II ’, IJ et IJ ’ ne sont pas coplanaires.

6. De la question précédente, on déduit que les points I, I ’, J et J ’ ne sont pas coplanaires, les droites (II ’) et (JJ ’) ne sont donc ni parallèles, ni sécantes.

75 1. a. Le segment [KM] est parallèle au segment [ ]UV

car le plan (UVK) et le plan (SEF) contiennent deux droites parallèles ( )EF êt( )ÛV . Ces deux plans se coupent suivant la droite (KM) donc d’après le théorème du toit on en déduit que (KM)êt( )ÛV sont parallèles.

b. Le segment [ ]NP est parallèle au segment [ ]UK car le plan (UVK) coupe le plan (SOA) suivant la droite ( )UK , et le plan (BCG) suivant la droite ( )NP . Les plans (SOA)^et(^BCG)^sont verticaux, donc parallèles (du moins on doit le supposer) ; on en déduit alors que les droites ( )UK ^et( )^NP sont parallèles.

2. Les points E, S et K étant alignés, les vecteurs SK et SE sont colinéaires donc leurs coordonnées sont proportionnelles.

Or SK SKu ruu 1,2−0 y_K−0 z_K −3,5

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

et SE SEu ru 4 0

−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, donc le coefficient de propor- tionnalité est donné par les abscisses de ces vecteurs.

On trouve 0,3.

Donc on a bien SK = 0,3SE.

3. Grâce à l’égalité vectorielle ci-dessus, on en déduit les coor- données du point K.