Chapitre 10 : Droites et plans dans un repère de l’espace
Dans tout ce chapitre, l’espace est muni d’un repère O;~i ,~j , ~k.
I. — Représentations paramétriques d’une droite
Propriété 1
Soit A (xA;yA;zA) un point de l’espace et ~v(a;b;c) un vecteur non nul de l’espace. Alors, la droite ∆ passant par A et de vecteur directeur~v est l’ensemble des points M(x;y;z) de l’espace tels que (S)
x=xA+ta y=yA+tb z =zA+tc
oùt est un réel quelconque. Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de ∆ et le point de coordonnées (xA+ta;yA+tb;zA+tc) est appelé le point de paramètre t (pour cette représentation).
Remarque 2. Il existe une infinité de représentations paramétriques différentes pour une même droite (il suffit de changer de point A et/ou de vecteur directeur~v). Le paramètre d’un point dépend de la représentation choisie.
Exemple 3. Soit A et B les points de coordonnées respectives (1 ;−2 ; 3) et (0 ; 0 ; 1).
1. Déterminer une représentation paramétrique de (AB).
2. Les points C (−3 ; 6 ;−5) et D(2 ;−5 ; 5) appartiennent-ils à la droite (AB) ? 3. Déterminer une autre représentation paramétrique de (AB).
4. On considère la droite ∆ dont une représentation paramétrique est
(S0)
x=−1 + 2s y = 3s z = 2 +s
, s∈R.
Étudier les positions relatives de (AB) et ∆.
II. — Équations cartésiennes d’un plan
Propriété 4
Soit A un point de l’espace et ~n un vecteur non nul de l’espace. Alors, l’ensemble des points M de l’espace tels que −−−→
AM ·~n= 0 est l’unique plan passant par A et de vecteur normal~n.
~n
A M2
M1
Propriété 5
Soit A et B deux points distincts de l’espace. Alors, l’ensemble des points M de l’espace équidistants de A et B (i.e. tels que AM = BM) est un plan appelé plan médiateur de [AB].
A B
I M
Attention ! Dans le plan l’ensemble des points équidistants de 2 points distincts A et B est une droite (il s’agit de la médiatrice de [AB]) mais dans l’espace, c’est un plan.
Propriété 6
On munit l’espace d’un repère orthonorméO ;~i ,~j , ~k.
1. Un planP de l’espace ayant pour vecteur normal~n(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d= 0.
2. Réciproquement, étant donné des réels a, b, c et d avec a, b et c non tous nuls, l’ensemble des points M(x;y;z) de l’espace tels que ax+by+cz+d= 0 est un plan de vecteur normal~n de coordonnées (a;b;c).
Remarque7. Une équation cartésienne d’un plan n’est pas unique. Par exemple, six−2y+z+3 = 0 est une équation cartésienne d’un planP alors 2x−4y+ 2z+ 6 = 0 ou−x+ 2y−z−3 = 0 sont également des équations cartésiennes de P. En revanche, on peut affirmer que deux équations cartésiennes d’un même plan sont proportionnelles (essentiellement car deux vecteurs normaux à un même plan sont colinéaires...)
Dans l’espace, y= 2x+ 1 est l’équation cartésienne d’un plan car cette équation équivaut à 2x−y+ 0z+ 1 = 0 qui est bien de la forme précédente aveca= 2, b= −1, c= 0 et d= 1.
Exemple 8. L’espace est muni d’un repère orthonormé O ;~i ,~j , ~k. Soit P1 le plan passant par A (1 ;−2 ; 0) et de vecteur normal~n1(−2 ; 1 ; 3).
1. Déterminer une équation cartésienne deP1.
2. On considère le plan P2 d’équation cartésienne x−y+z = 0.
a. Déterminer un vecteur normal àP2.
b. Les plans P1 etP2 sont-ils sécants ? Sont-ils perpendiculaires ?
Exercice 9. On considère les points A (0 ; 1 ; 1), B (−1 ; 0 ; 1) et C (4 ; 1 ;−1). Démontrer que A, B et C ne sont pas alignés et déterminer une équation cartésienne de (ABC).
III. — Applications aux calculs de distances et aux pro- blèmes d’intersection
Exemple 10. L’espace est muni d’un repère orthonormé O ;~i ,~j , ~k. On considère les points A (−1 ; 1 ; 4), B (0 ; 1 ; 3) et C (−6 ;−1 ; 2).
1. Déterminer une représentation paramétrique de (AB).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la perpendiculaire à (AB) passant par C.
3. Déduire des questions précédentes les coordonnées du projeté H orthogonal de C sur (AB).
4. Déterminer la distance du point C à la droite (AB).
Exemple 11. L’espace est muni d’un repère orthonormé O ;~i ,~j , ~k. On considère les points A (2 ; 0 ; 1), B (0 ;−1 ; 1) et C (1 ; 0 ; 0).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Montrer que le vecteur~n(−1 ; 2 ; 1) est normal au plan (ABC).
3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
4. On considère le point D (2 ; 1 ; 3).
a. Montrer que D n’appartient pas à (ABC).
b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ orthogonale à (ABC) et passant par D.
c. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de D sur (ABC).
d. En déduire la distance du point D au plan (ABC).
Exercice 12. On considère les plans P1 :x+y−z+ 2 = 0 et P2 :x−y+z+ 1 = 0.
1. Montrer que les plansP1 etP2 sont sécants selon une droite ∆.
2. Déterminer une représentation paramétrique de ∆.
Exercice 13. L’espace est muni d’un repère orthonormé O ;~i ,~j , ~k. On considère les droites (D1) et (D2) de représentations paramétriques respectives :
(D1) :
x= 3 +t y= 1 +t z = 5 + 2t
t∈R et (D2) :
x= 2 + 2s y=−3−s z = 3 +s
s∈R
1. Étudier les positions relatives de (D1) et (D2).
2. Soit t et s deux réels, M le point de (D1) de paramètre t et N le point de (D2) de paramètre s.
Montrer queM N2 = 3Pt(s) oùPtest la fonction trinômePt:x7→2x2−2tx+ 2t2+ 6t+ 7.
3. En déduire que la distance minimale entre un point de (D1) et un point de (D2) est√ 3 et qu’il existe un unique point A∈(D1) et un unique point B∈(D2), dont on déterminera les coordonnées, tels que AB =√
3.
