Spécialité 1ère – Chapitre 10 Page 1
Chapitre 10 : Géométrie repérée
Dans tout ce chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé (; ⃗, ⃗). I- Vecteur normal à une droite
1) Définition Définition 1 :
Soit une droite de vecteur directeur ⃗.
Soit ⃗ un vecteur non nul du plan.
Le vecteur ⃗ est un vecteur normalvecteur normalvecteur normalvecteur normal à la droite si et seulement si ⃗. ⃗ = 0.
Exemple 1 :
Le vecteur ⃗ de coordonnées (21* est un vecteur directeur de la droite .
Le vecteur ⃗ a pour coordonnées ( 1−2*.
⃗. ⃗ = ,,- + //- = 2 × 1 + 1 × (−2) = 2 − 2 = 0 Le vecteur ⃗ est donc un vecteur normal à la droite .
2) Propriétés Propriété 1 :
Soient une droite et ⃗ un vecteur non nul du plan.
1) Si ⃗ est un vecteur normal à la droite , alors tout vecteur non nul colinéaire à ⃗ est un vecteur normal à la droite .
2) Tout vecteur normal à la droite est orthogonal à tout vecteur directeur de .
Démonstration de la propriété 1 :
1) Soit ⃗ un vecteur directeur de la droite .
Si ⃗ est un vecteur normal à la droite , alors, d’après la définition 1, ⃗. ⃗ = 0.
Un vecteur colinéaire à ⃗ peut se noter 8⃗ où 8 est un réel.
(8⃗). ⃗ = 8(⃗. ⃗) = 8 × 0 = 0
Ainsi 8⃗ est aussi un vecteur normal à la droite .
Tout vecteur colinéaire à ⃗ est donc aussi un vecteur normal à la droite .
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2) Soient ⃗ un vecteur directeur de la droite et ⃗ est un vecteur normal à la droite . D’après la définition 1, ⃗. ⃗ = 0, les vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc orthogonaux.
Les vecteurs choisis étant quelconques, on a bien démontré le résultat : tout vecteur normal à la droite est orthogonal à tout vecteur directeur de .
Exemple 2 :
Dans l’exemple précédent, les vecteurs −2⃗ (−24 * et >
?⃗ @ >?
−1A sont aussi des vecteurs normaux à la droite . En effet : −2⃗. ⃗ = −2 × 2 + 4 × 1 = 0 et >
?⃗. ⃗ = >?× 2 + (−1) × 1 = 0 Propriété 2 :
Soient une droite passant par un point B, ⃗ un vecteur normal à la droite et C un point quelconque du plan.
Le point C appartient à la droite si et seulement si les vecteurs BC⃗ et ⃗ sont orthogonaux.
Autrement dit : Le point C appartient à la droite si et seulement si BC⃗. ⃗ = 0.
Démonstration de la propriété 2 :
1) Le point C appartient à la droite ⇔ le vecteur BC⃗ est un vecteur directeur de la droite
⇔ BC⃗ est orthogonal à ⃗ ⇔ BC⃗. ⃗ = 0.
Exemple 3 :
Sur la figure ci-dessus, la droite passe par le point A de coordonnées (1; 1) et a pour vecteur normal ⃗ de coordonnées ( 2−1*.
Le point M a pour coordonnées (F? ; 4*. BC⃗. ⃗ = G52 − 1I × 2 +(4 − 1) × (−1) = 3
2 × 2 + 3 ×(−1) = 3 − 3 = 0 Le point M appartient donc à la droite .
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3) Équations cartésiennes d’une droite Propriété 3 :
Soient trois réels K, L et M tels que K et L ne sont pas nuls simultanément.
Une droite a pour équation cartésienne K, + L/ + M = 0 si et seulement si le vecteur ⃗ de coordonnées (KL* est un vecteur normal à la droite .
Démonstration de la propriété 3 :
Une droite a pour équation cartésienne K, + L/ + M = 0⇔ le vecteur ⃗ de coordonnées (−LK * est un vecteur directeur de .
Or ⃗. ⃗ = −L × K + K × L = −KL + KL = 0⇔⃗ est un vecteur normal à la droite d’après la propriété 1.
Autre démonstration possible : Soit B(,N; /N) un point de la droite .
D’après la propriété 3, C(,; /) appartient à si et seulement si BC⃗. ⃗ = 0 BC⃗. ⃗ = 0 ⇔ (, − ,N) × K + (/ − /N) × L = 0 ⇔ K, − K,N+ L/ − L/N = 0
⇔ K, + L/ + (−K,OPPPQPPPRN− L/N)
S
= 0
Exemple 4 : Revenons à la figure de l’exemple 3
Le vecteur ⃗ a pour coordonnées ( 2−1*. Ainsi K = 2 et L = −1.
Une équation cartésienne de est donc 2, − / + M = 0. Il reste à déterminer M.
Utilisons les coordonnées d’un point quelconque de : le point de coordonnées (2 ;3) par exemple.
2 × 2 − 3 + M = 0 ⇔ M = −1.
Ainsi une équation cartésienne de est 2, − / − 1 = 0. Remarque : le point de coordonnées (1 ;1) (entre
autres) nous aurait donné la même valeur de M : 2 × 1 − 1 + M = 0 ⇔ M = −1…
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II- Équations cartésiennes d’un cercle et d’une parabole
1) Équations cartésiennes d’un cercle Définition-propriété 1 :
Soit B(,N; /N) un point du plan et U un réel strictement positif.
L’ensemble des points C(,; /) du plan vérifiant l’égalité (, − ,N)?+ (/ − /N)? = U? est le cercle de centre B et de rayon U.
Cette égalité est une équation cartésienne du cercle V.
Démonstration :
C(,; /) appartient au cercle de centre A et de rayon R ⇔BC = U⇔BC? = U?
⇔ (, − ,N)?+ (/ − /N)? = U?
Exemple 5 :
1) On considère l’équation cartésienne (, − 3)?+ (/ + 2)? = 9. (, − 3)?+ (/ + 2)? = 9 ⇔ (, − 3)?+ X/ − (−2)Y? = 3?
C’est une équation cartésienne du cercle de centre B(3; −2) et de rayon 3.
2) On considère l’équation cartésienne ,? + 2, + /?− 6/ = 15
Elle est sous forme développée, il faut l’écrire sous forme factorisée (identité remarquable) pour en extraire les informations utiles :
,?+ 2, + /?− 6/ = 15
⇔ ,?+ 2, + [ − [ + /?− 6/ + \ − \ = 15
⇔ (, + 1)?+ (/ − 3)?− 10 = 15
⇔ (, + 1)?+ (/ − 3)? = 25
⇔ X, − (−1)Y?+ (/ − 3)? = 5?
C’est une équation cartésienne du cercle de centre B(−1; 3) et de rayon 5.
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2) Équations cartésiennes d’une parabole Définition-propriété 2 :
Soient trois réels K, L et M tels que K ≠ 0.
Soit ^ une fonction polynôme de degré 2 définie, pour tout réel ,, par ^(,) = K,?+ L, + M.
La courbe représentative de la fonction ^, qui a pour équation / = K,?+ L, + M, est une parabole.
Cette courbe admet :
1) pour axe de symétrieaxe de symétrieaxe de symétrie la droite d’équation , = −axe de symétrie ?cb ; 2) pour sommet le point S de coordonnées G−?cb ; ^ (−?cb*I.
Démonstration :
Écrivons ^(,) sous forme canonique :
^(,) = K @G, + L 2KI
?− Δ
4K?A (voir chapitre 1 pour les détails) On calcule les images par ^ de −?cb − e et −?cb + e pour tout e réel :
^ G− L
2K − eI = K @G− L
2K − e + L 2KI
?− Δ
4K?A = K G(−e)?− Δ
4K?I = K Ge?− Δ 4K?I
^ G− L
2K + eI = K @G− L
2K + e + L 2KI
?− Δ
4K?A = K Ge?− Δ 4K?I
^ G− L
2K − eI = ^ G− L
2K + eI pour tout réel e ∶ la droite d’équation , = − L
2K est bien un axe de symétrie de la courbe de ^.
, = − L 2K
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Exemple 6 :
1) Soit ^ la fonction définie sur ℝ par :
^(,) = −2,?+ 6, + 1 ,h = − L
2K = − 6
2 × (−2) = 6 4 =3
2
La courbe de ^ a pour axe de symétrie la droite d’équation , =i?
Son sommet a pour abscisse i
? et pour ordonnée
^ (i?* = −2 (i?*?+ 6 ×i?+ 1 =>>?
2) Soit j la fonction définie sur ℝ par : j(,) = ,?+ 4, − 2
,h = − L
2K = − 4
2 × 1 = −4
2 = −2
La courbe de j a pour axe de symétrie la droite d’équation , = −2
Son sommet a pour abscisse −2 et pour ordonnée j(−2) = (−2)?+ 4 × (−2) − 2 = −6
