Série 25

EPFL 11 mai 2009 Algèbre linéaire

1ère année 2008-2009

Série 25

L’exercice 1 est à rendre le 18 mai au début de la séance d’exercices.

Exercice 1. 1. Soit V un F-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, soit B une base orthonormale de V etS ∈L(V)une isométrie. Montrer que |det([S]_B)|= 1.

2. Montrer que toute isométrie de R² est soit une réflexion, soit une rotation dans le plan.

Exercice 2. 1. Montrer que toute réflexion dans R² (muni du produit scalaire euclidien) est diagonalisable.

2. SoitS ∈L(R³)une isométrie. Montrer qu’il existe un vecteur06=v ∈R³tel queS²v =v.

Exercice 3. SoitV unF-espace vectoriel de dimension n, muni d’un produit scalaire. Montrer ou donner un contre-exemple : si S ∈L(V) et il existe une base orthonormale (u₁, . . . , u_n) de V telle que kSu_ik= 1 pour touti, alors S est une isométrie.

Le but du prochain exercice est de démontrer la partie du théorème spectral réel pour un opérateur normal qui n’est pas prouvée dans le polycopié.

Exercice 4. Soit V unR-espace vectoriel de dimension n, et T ∈L(V)un opérateur normal.

1. Montrer que si n = 1 ou 2, alors il existe une base B de V telle que [T]_B est diagonale en blocs, où chaque bloc est de dimension 1×1 ou 2×2 de la forme

a_i −b_i bi ai

avec a_i, b_i ∈Ret b_i >0.

Indication : utiliser l’exercice 2 de la série 24 et l’exercice 2 de la série 23...

On admet le fait qu’il existe un sous-espace T-invariant U de V de dimension 1 ou 2 (voir le théorème 8.5 dans le polycopié).

2. Montrer par induction sur n qu’il existe base B de V telle que [T]_BB est diagonale en blocs, où chaque bloc est de dimension1×1ou2×2de la forme

a_i −b_i b_i a_i

aveca_i, b_i ∈R etb_i >0. Si T est une isométrie, montrer qu’il existeθ ∈Rtel quea_i = cosθ etb_i = sinθ.

Indication : utiliser 4 l’exercice de la série 24...

Exercice 5. Soient B la base canonique de R³, T ∈ L(R³) etS ∈L(R³) tel que [T]_B =A et [S]_B=B où

A= 1 4





3 1 √

6

1 3 −√

6

−√ 6 √

6 2





et

B =−1 3





−2 −1 2 2 −2 1

1 2 2





Montrer que T et S sont des isométries dont on déterminera la nature et les caractériser géométriquement. (Ex : pour une rotation on déterminera l’axe et l’angle, etc.)