Examen : Séries

S3M-MI-MP-ENSI 9 janvier 2009 Durée 3 heures

Examen : Séries

Calculatrice et document sont interdits.

Barème indicatif : 7+5+13

Exercice 1

1) Soitf la fonction de période 2π,impaire sur[−π, π],telle quef(x) =π−xsur]0,2π[.

a. Dessiner le graphe def.

b. Calculer la série de Fourier def.

c. Montrer queP

n≥1 sinn

n = ^π−1₂ ,en justifiant ce calcul.

2) Soitgla fonction de période 2π,impaire sur[−π, π],telle que

g(x) = (π−1)x sur]0,1], et g(x) =π−x sur]1, π].

a. Dessiner le graphe deg.

b. Montrer sans calcul que la série de Fourier degconverge normalement surRet a pour sommeg.

c. Calculer la série de Fourier deg.Retrouver à l’aide de ces coefficients, la convergence normale montrée dans la question précédente.

3) En utilisant les questions précédentes, montrer que X

n≥1

sinn

n =X

n≥1

sinn n

2

= π−1 2 .

Exercice 2

1) Déterminer les développements en série entière des fonctions définies par 1

1−x et 1

1−2x, on précisera pour quelles valeurs dexces développements sont valables.

2) En déduire, à l’aide d’une décomposition en élément simple, le développement en série entière de la fonction définie par −3 + 4x

1−3x+ 2x².

3) Préciser le domaine de définition de la fonctionf définie par f(x) = ln(1−3x+ 2x²).

4) Déduire des questions précédentes le développement en série entière de la fonctionf au voisinage de 0 et préciser lesxpour lesquels ce développement est valable.

Exercice 3

Soit∀t∈R+,∀k, n∈N, uk(t) = (−1)^k 2k+ 1 +t

Préambule : Énoncer le théorème des séries alternées, en précisant une majoration du reste d’ordre N.

Partie 1 :

a. Soitt∈R+fixé, montrer que la série numériqueP

|u_k(t)|diverge.

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b. Soitt∈R+fixé, montrer que la série numériqueP

u_k(t)converge.

Dans la suite on noteσ(t) =

∞

X

k=0

u_k(t)sa somme.

c. Montrer que la série de fonctionsP

u_kne converge pas normalement surR+. d. Montrer que la série de fonctionsP

ukconverge uniformément surR+. e. Montrer que la fonctionσdéfinie surR+est continue.

Partie 2 : Soitt∈R+fixé dans toute cette partie et soit la série entièreP

k≥0u_k(t)y^k.La variable de cette série entière est doncy. (test un paramètre)

a. Montrer que son rayon de convergenceR(t)est égal à 1.

b. Montrer que cette série converge uniformément sur[0,1].On note poury∈[0,1], S_t(y) =P∞

k=0u_k(t)y^k.

c. Montrer que la fonctiony→S_t(y)est continue sur[0,1]et quelim_y→1⁻S_t(y) =σ(t).

Partie 3 :

a. Écrire le développement en série entière au voisinage de0de la fonction _1+x¹ 2. b. Quel est le rayon de convergence de la série entière trouvée ?

c. La série entière converge-t-elle enx= 1?

d. Montrer que pourt≥0et0< y <1on a Z y

0

x^t

1 +x²dx=y^1+tS_t(y²).

e. En déduire que∀t∈R+, R1 0

x^t

1+x²dx=σ(t).

f. En déduire que ^π₄ =P∞ k=0

(−1)^k 2k+1.

g. Déduire de différentes questions du problème que :

t→0lim⁺ Z 1

0

x^t

1 +x²dx= Z 1

0

1 1 +x²dx