Calcul d'intégrales par développement en série de Fourier

Calcul d'intégrales par développement en série de Fourier

Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 2, page 282 Exercice : Calculer poura∈R^∗+ etn∈N,

In= 1 π

Z _2π

0

cosnx

cha−sinx dx et Jn= 1 π

Z _2π

0

sinnx cha−sinx dx

Soitf la fonction x7→ 1

cha−sinx. Pour a > 0, f est dénie sur R et 2π-périodique. Il s'agit de calculer ses coecients de Fourier. La fonctionf est de classeC¹ surR. Elle est donc égale à sa série de Fourier. Pour déterminer celle-ci, on exprimef(x)en fonction dee^ix et on utilise des développements en série entière.

On a, pour toutx∈R,

f(x) = 1

cha−_2i¹(e^ix−e^−ix) = 2ie^ix

−e^2ix+ 2ie^ixcha+ 1 On considère la fraction rationnelle F = 2iX

−X²+ 2iXcha+ 1 que l'on décompose en éléments simples.

On obtient

F = −2iX

(X−ie^a)(X−ie^−a) =− i sha

µ e^a

X−ie^a − e^−a X−ie^−a

¶

On en déduit que, pour tout réel x,

f(x) =− i sha

µ e^a

e^ix−ie^a − e^−a e^ix−ie^−a

¶

On développe chaque terme en série : e^a

e^ix−ie^a = i

1 +ie^−ae^ix =i X+∞

n=0

(−iee^ix)ⁿ =

+∞X

n=0

(−1)ⁿiⁿ⁺¹e^−nae^inx

car|ie^−ae^ix|=e^−a <1 et, de même, e^−a

e^ix−ie^−a = e^−ae^ix

1−ie^−ae^−ix =e^−ae^−ix X+∞

n=0

(ie^−ae^−ix)ⁿ=

+∞X

n=0

iⁿe^−(n+1)ae^−(n+1)ix

Finalement, on peut écrire, pour tout réel x,

f(x) = −i sha

à i+

+∞X

n=1

e^−na¡

iⁿ⁺¹(−1)ⁿe^inx−iⁿ⁻¹e^−inx¢!

= 1

sha Ã

1 +

+∞X

n=1

e^−naiⁿ¡

(−1)ⁿe^inx+e^−inx¢!

= 1

sha Ã

1 + X+∞

p=1

2e^−2pa(−1)^pcos 2px+

+∞X

p=0

2e^−(2p+1)a(−1)^psin(2p+ 1)x

!

Les sériesP

e^−2pa(−1)^pcos 2pxetP

e^−(2p+1)a(−1)^psin(2p+ 1)xsont normalement convergentes, car pour tout réel xet tout entier p, |e^−2pa(−1)^pcos 2px| et |e^−(2p+1)a(−1)^psin(2p+ 1)x| sont inférieurs à (e^−a)^2p avece^−a <1.

On en déduit que l'écriture précédente est le développement def en série de Fourier. D'où l'on tire, pour toutp∈N,

I0= 2

sha ; I2p= 2(−1)^pe^−2pa

sha sip≥1 ; I2p+1= 0 J2p= 0 et J2p+1=2(−1)^pe^−(2p+1)a

sha

1