novembre 2005 Terminale ES2 M.WEISLINGER
(suite du cours sur les limites)
4) Limite d’une fonction compos´ ee
Les lettresa, b, cpourront d´esigner un r´eel ,ou +∞, ou−∞.
Soitg une fonction d´efinie<<au voisinage>>dea. Soithune fonction d´efinie <<au voisinage>>deb. On suppose queg◦hest d´efinie<<au voisinage>>dea.
On admet alors le th´eor`eme suivant : Si lim
x→ah(x) =bet si lim
X→bh(X) =c alors lim
x→ag◦h(x) =c Pour s’entraˆıner se r´ef´erer aux exercices : 28-29-33 page 68-69
IV.) Formes ind´ etermin´ ees
1) Des exemples et des techniques
Dans le paragraphe pr´ec´edent nous avons rencontrer 4 formes ind´etermin´ees : a) Forme ind´etermin´ee du type <<∞ − ∞>>.
Un exemple :
• lim
x→+∞2x2−5x=? carf(x) = 2x2−5xest une forme ind´etermin´ee en effet :
x→+∞lim 2x2= +∞et lim
x→+∞−5x=−∞
• Pour lever l’ind´etermination,il suffit en g´en´eral de changer la forme def(x) : Ici on peut ´ecriref(x) = 2x2−5x=x2(2−5
x) pour toutx6= 0 en factorisant1 parx2. Or lim
x→+∞x2= +∞et lim
x→+∞2−5
x= 2 donc lim
x→+∞f(x) = +∞
b) Forme ind´etermin´ee du type <<0× ∞>>.
Un exemple :
• lim
x→+∞
1
x(x−1) =? carf(x) = 1
x(x−1) est une forme ind´etermin´ee en effet :
x→+∞lim 1
x= 0 et lim
x→+∞x−1 = +∞
• Pour lever l’ind´etermination,il suffit d’´ecrire : f(x) = 1
x(x−1) = x x−1
x = 1− 1
x pour toutx6= 0 . Or lim
x→+∞
1
x = 0 donc lim
x→+∞f(x) = lim
x→+∞1−1 x= 1 c) Forme ind´etermin´ee du type << ∞
∞ >>.
Un exemple :
• lim
x→+∞
x2+ 1
x−3 =? carf(x) = x2+ 1
x−3 est une forme ind´etermin´ee en effet :
x→+∞lim x2+ 1 = +∞et lim
x→+∞x−3 = +∞
• Pour lever l’ind´etermination,il suffit de factoriser par les termes dominants : f(x) = x2+ 2
x−1 =
x2(1− 1 x2) x(1− 3
x)
=
x(1− 1 x2) 1−3
x
pour toutx6= 3 .
Or lim
x→+∞(1−1
x2) = 1 et lim
x→+∞(1−3
x) = 1 donc lim
x→+∞
x(1− 1 x2) 1− 3
x
= 1 et comme lim
x→+∞x= +∞alors lim
x→+∞f(x) =
x→+∞lim
x(1− 1 x2) 1−3
x
= +∞
1Le choix de factoriser parx2est motiv´e par l’argument suivant :<<plusxest grand plusx2dominex >>
1
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d) Forme ind´etermin´ee du type << 0 0 >>.
Un exemple :
• lim
x→2
x2−4
x−2 =? carf(x) = x2−4
x−2 est une forme ind´etermin´ee en effet :
x→2limx2−4 = 0 et lim
x→2x−2 = 0
• Pour lever l’ind´etermination,il suffit de remarquer que l’on peut ´ecrire : f(x) = x2−4
x−2 =(x−2)(x+ 2)
x−2 =x+ 2 pour toutx6= 2 . Or lim
x→2x+ 2 = 4 alors lim
x→2f(x) = 4.
b) Limite en l’infini d’un polynˆ ome non nul
En s’insispirant de nombreux exemples on peut d´emontrer le th´eor`eme suivant en factorisant un polynˆome par son terme de plus haut degr´e car celui-ci<<domine les autres termes en l’infini>> :
Th´eor`eme :
La limite en +∞(respectivement −∞) d’une fonction polynˆome non nulle est ´egale `a limite en +∞(respectivement−∞) de son terme de plus haut degr´e.
Exemples : 1. lim
x→+∞2x2−5x= lim
x→+∞2x2= +∞
2. lim
x→−∞12x2+ 4x3+ 6 = lim
x→+∞4x3= +∞
c) Limite en l’infini d’une fonction rationnelle non nulle
En s’insispirant de nombreux exemples on peut d´emontrer le th´eor`eme suivant en factorisant le num´erateur et le d´enominateur par son terme de plus haut degr´e car celui-ci<<domine les autres termes en l’infini>>:
Th´eor`eme :
La limite en +∞(respectivement−∞) d’une fonction rationnelle non nullle est ´egale `a limite en +∞(respectivement−∞) du quotient de ses termes de plus haut degr´e.
Exemples : 1. lim
x→+∞
x2+ 1
3x−1 = lim
x→+∞
x2
3x = lim
x→+∞
x 3 = +∞
2. lim
x→+∞
3x2−5
20x−4x2 = lim
x→+∞
3x2
−4x2 = lim
x→+∞
3
−4 =−3 4 3. lim
x→−∞
2x3−7x
x4+ 9 = lim
x→−∞
2x3
x4 = lim
x→−∞
2 x= 0
Pour s’entraˆıner se r´ef´erer aux exercices : 24-25-26-27 page 67
V.) Th´ eor` emes de comparaisons
La lettreapourra d´esigner un r´eel ,ou +∞, ou−∞. I d´esignera un intervalle au<<au voisinage dea >>.
On admettra les th´eor`emes suivants : 1er Th´eor`eme de comparaison : Si lim
x→ag(x) = +∞et si f(x)>g(x) pour toutx∈I ,alors lim
x→af(x) = +∞
Voir une illustration graphique.
2imeTh´eor`eme de comparaison : Si lim
x→ag(x) =−∞et si f(x)6g(x) pour toutx∈I ,alors lim
x→af(x) =−∞
Voir une illustration graphique.
3imeTh´eor`eme de comparaison ( dit th`eor`eme des gendarmes : SoitLun r´eel.
Si g(x)6f(x)6h(x) pour tout x∈Iet si lim
x→ag(x) = lim
x→ah(x) =Lalors lim
x→af(x) =L Voir une illustration graphique.
Pour s’entraˆıner se r´ef´erer aux exercices : 39-40 page 69 puis exercices 43-44 page 70
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