G287 – Numismatique en Diophantie
Casse-tête de novembre 2013 proposé par www.diophante.fr Solution par Christian Boyer, 7 novembre 2013
Extrait de l’énoncé du casse-tête proposé par Philippe Fondanaiche
L’Institut Monétaire de la Diophantie dont la monnaie est l’ouro (Ŏ), soucieux d’éviter la prolifération des pièces de monnaie, a émis une série limitée de 12 pièces dont les valeurs faciales sont des entiers distincts d’ouros de telle sorte que n’importe quel montant entier de 1 ouro à N ouros (N fixé par décret ) peut être payé avec 8 pièces ou moins, tout ou partie de ces pièces pouvant avoir la même valeur faciale.
Déterminer le plus grand entier N tel qu’il existe au moins une série de 12 pièces distinctes telles que toute somme comprise entre 1 et N inclus peut être réglée avec au maximum 8 pièces pas nécessairement distinctes.
Si on n’était pas en Diophantie, mais en Normalie, la série de 12 pièces serait très certainement : {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000}
Le décret pour paiements avec maximum 8 pièces ne pourrait alors indiquer qu’un faible N = 887.
Payer 888 Ŏ nécessiterait hélas 9 pièces.
Un président, à la fois audacieux et raisonnable (mais est-ce possible ?), chercherait à augmenter ce N trop faible, mais sans que ce soit la révolution dans le pays : que pourrait-on obtenir si on osait changer une seule valeur faciale parmi la série ? La modification optimale serait alors de changer la pièce de 5000 Ŏ par une étrange pièce de 773 Ŏ :
{1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000 773} -> N = 5435 Des paiements casse-tête en perspective lors de l’utilisation de cette pièce…
L’opposition indiquerait qu’il serait plus judicieux, pour augmenter N, de simplement augmenter la limite du nombre de pièces acceptées au paiement, par exemple en autorisant jusqu’à 12 pièces, ce qui donnerait pour la même série standard de pièces un N encore meilleur, sans même avoir à faire la délicate réforme des 773 Ŏ :
{1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000} -> N = 13887
Il est intéressant de noter que l’optimisation pour changer une seule pièce serait alors totalement différente, ce serait une autre pièce, celle de 1000 Ŏ, qui en ferait les frais :
{1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000 8614, 2000, 5000} -> N = 40789
Mais quittons la Normalie pour revenir en Diophantie, avec le problème initial et sa limite de paiement à 8 pièces. L’article de Challis et Robinson, paru en 2010 dans le Journal of Integer Sequences, https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Challis/challis6.pdf, donne cette série optimale de 8 (et non 12) pièces pour des paiements limités à 8 pièces… qui sont des timbres dans l’article :
{1, 8, 13, 58, 169, 295, 831, 1036} -> N = 3485
Pour trouver un bon résultat assez rapidement, l’astuce est de partir de cette base et de la compléter. Si l’on ajoute deux pièces, la série optimale de 10 pièces est :
{1, 8, 13, 58, 169, 295, 831, 1036, 2325, 2490} -> N = 8132
Et si l’on rajoute à nouveau deux pièces à ces 10, la série optimale de 12 est celle-ci : {1, 8, 13, 58, 169, 295, 831, 1036, 2325, 2490, 6665, 7397} -> N = 18654
Sans avoir fait une recherche exhaustive de toutes les combinaisons de quatre pièces supplémentaires à la série de Challis-Robinson, on peut faire mieux avec :
{1, 8, 13, 58, 169, 295, 831, 1036, 1864, 3162, 7005, 8182} -> N = 19621
Le résultat optimum au problème :
• donne probablement un N supérieur à 20000,
• n’utilise probablement pas la série de huit de Challis-Robinson (même si on peut encore sûrement trouver quatre meilleures pièces complémentaires),
• mais sera très difficile à déterminer d’une façon sûre et certaine, sauf découverte d’un algorithme miraculeux.
