Universit´e Paris Dauphine Ann´ee 2012-2013 D´epartement MIDO
L3 - Statistique Math´ematique
Feuille de Travaux Dirig´ es 2
M´ ethode empirique et th´ eorie de l’information
Exercice 1.On rappelle que X qui suit une loiγ(p, λ) avec p >0 etλ >0 est une v.a. absolument continue de densit´e
f(x) = λp
Γ(p)exp(−λx)xp−11Ix>0 ∀x∈R, o`u Γ(x) =R∞
0 ux−1e−udupour x >0.
1. D´eterminer la densit´e de la loi appel´ee ”Gamma inverse” de param`etre (p, λ) suivie par la v.a.Y = 1/X par la m´ethode de la fonction muette (c.f. ”Rappels de probabilit´es” p.17).
2. Calculer E(X), Var(X), E(Y) et Var(Y). Comparer E(X) et 1/E(Y) et commenter en utilisant l’in´egalit´e de Jensen.
3. Soit X0 ∼ γ(p0, λ) ind´ependante de X et soit a > 0. D´eterminer la loi de X+X0 en utilisant le produit de convolution et de aX par la m´ethode de la fonction de r´epartition.
4. En d´eduire la loi de la moyenne empirique Xn issue d’un ´echantillon X1, . . . , Xn∼γ(p, λ).
5. Application : Quelle est la loi de la moyenne empirique d’un ´echantillon distribu´e selon :
– la loi exponentielleE(λ), λ >0,
– la loi du Chi 2 `a ddegr´es de libert´e χ2d.
Exercice 2.On consid`ere un ´echantillonX1, . . . , Xn∼ B(p) avec 0< p <1.
On cherche `a d´eterminer la loi de la variance empirique Sn2. D´eterminer la loi de Xi2 puis de nX2n. Montrer ensuite que Sn2 =X2n−(Xn)2 (formule de Huygens). Calculer la probabilit´e que Xn = 0, que X2n = 0 et que Xn=X2n= 0. Les v.a. (Xn)2 etX2nsont elles ind´ependantes ?
La loi de Sn2 est donc difficile `a d´eterminer dans le cas Bernoulli. En uti- lisant le cours, montrer toutefois que dans ce cas la loi asymptotique de
√n(Sn2−p(1−p)) vautN(0,4p(1−p)(p−1/2)2).
Exercice 3.SoitX une v.a. r´eelle normale centr´ee r´eduite et soitY une v.a.
ind´ependante de X, `a valeurs dans {−1,1} telle que P(Y = 1) = 0.5. On
consid`ere la v.a. Z =XY. D´eterminer la loi deZ, puis celle de X+Z. En d´eduire que la somme de 2 variables gaussiennes peut ne pas ˆetre gaussienne.
Quelle condition suffisante sur (X, Z) assure queX+Z soit une gaussienne ? Exercice 4.Soit (εt)t∈N une suite de v.a. iid gaussiennes centr´ees r´eduites.
Soita∈]−1,1[. On consid`ere la suite de v.a. (Xt)t∈Ntelle queX0 ∼ N(0,(1−
a2)−1),X0 ind´ependante de (εt)t∈N etXt+1=a·Xt+εt+1 pour toutt∈N. 1. D´eterminer par r´ecurrence que les Xi, 0≤i≤n, sont identiquement
distribu´es.
2. Calculer les termes de covariance Cov(X1, Xi) pour 2≤i≤n.
3. En d´eduire la loi du vecteur (X1,· · ·, Xn). Les v.a.Xi pour 1≤i≤n sont-elles ind´ependantes ?
4. D´eterminer la loi de la moyenne empiriqueXn.
Exercice 5.On a vu que d`es queX∈Rqest de carr´e int´egrable, la moyenne empirique issue de l’´echantillonX1. . . , Xn∼X satisfait
√nΣ−1(Xn−µ)−→ NL q(0q, Iq),
o`u Σ2 = Var(X). En utilisant le th´eor`eme de Cochran, d´eterminer la loi de la v.a.Y telle que
n(Xn−µ)TΣ−2(Xn−µ)−→L Y.
Exercice 6.SoitX une v.a. distribu´ee selon la loi de Laplace de param`etre θ >0 d´efinie par sa densit´e
f(x) = θ
2exp(−θ|x|) ∀x∈R.
V´erifier que f soit bien une densit´e. Quelles sont les limites p.s. des mo- ments empiriques d’ordre 1 et 2 not´esMn1 etMn2? Les calculer et en d´eduire la moyenne et la variance de l’approximation normale de la moyenne empi- riqueXn=Mn1.
Exercice 7. Pour chacun des mod`eles param´etriques suivants, d´eterminer en utilisant le th´eor`eme de factorisation si Tn = X1 +· · ·+Xn est une statistique exhaustive pourθ :
1. (B(θ),0< θ <1), 2. (E(θ),0< θ), 3. (N(θ,1), θ∈R),
4. (N(µ, σ2), θ= (µ, σ2)∈R×R∗+), 5. (P(θ), θ >0),
6. (U([0, θ]), θ >0).
Exercice 8 En reprenant les diff´erents mod`eles de l’exercice pr´ec´edent, d´eterminer l’information de Fisher du mod`ele et comparer la `a celle induite par la statistique Tn=X1+. . .+Xn.
