D196. Des lieux peu communs (6i` eme ´ episode)
E centre du cercle circonscrit `a ABD est le milieu de AB.
F centre du cercle circonscrit `a BCD est le milieu de BC.
Γ cercle circonscrit `a ABC a pour centre O, sur la m´ediatrice de BC.
γ cercle circonscrit `a EFO a pour centre I.
Soit B’ diam´etralement oppos´e `a B surΓ. Le quadrilat`ere BEOF est l’homoth´etique de BAB’C (centre B, rapport 1/2). γ est l’homoth´etique deΓ dans les mˆemes conditions.
I est sur AC si OI = OB/2 = OA/2. Le point I n’est r´eel que si OM (M milieu de AB) est inf´erieur ou ´egal `a OA/2.
Posons AM = a et MO = -b. Dans le rep`ere orthogonal form´e par AC et sa m´ediatrice, B est l’une des intersections de la droite y = b et deΓ, dont l’´equation estx2+ (y+b)2=a2+b2. L’´equation du lieu de B est donc : x2+ 3y2−a2= 0
C’est l’ellipse de grand axe AC et de demi-petit axe MP avecCAP\ = π/6.
Comme BAB\0 = π/2, le lieu de B’ est alors l’ellipse de petit axe AC et de demi-grand axe MQ (AQ⊥AP), qui a la mˆeme excentricit´e que la pr´ec´edente.
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