D195. Des lieux peu communs (5ème épisode) [*****]
Problème proposé par Dominique Roux
On donne 2 points A et C. Pour tout point B soit D sa projection orthogonale sur AC.
On désigne par I₁ , I₂ , I₃ , I₄ les centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés de ABC ; par E₁ , E₂ , E₃ , E₄ les centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés de ABD ; par F₁ , F₂ , F₃ , F₄ les centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés de BCD.
Pour chacun des 64 triplets ( Ix, Ey, Fz ) on cherche le lieu des points B tels que le cercle (Ix, Ey, Fz ) soit tangent à AC.
1) Montrer que ces 64 lieux sont des réunions, à isométries près, de portions de courbes algébriques.
2) Quel est le nombre de ces courbes ? 3) Quels sont leurs degrés ?
Nota: à deux mots près ("tangent à" au lieu de "centré sur"), on retrouve l'énoncé du problème D192
Solution proposée par l'auteur
Adoptons pour désigner les 12 centres des cercles tangents aux trois triangles ABC,ABD et BCD les notations classiques données par la figure ci-après réalisée lorsque D est entre A et C.
Plaçons nous dans le repère orthonomé d'origine O, milieu de [AC], tel que les coordonnées de A et C soient A( ‒ 1,0) et C(1,0). Posons B(X,Y). Appelons p et q les pentes de AI et CI.
Alors B est l'intersection des droites AB: (1 ‒ p²)Y = 2p(X + 1) (I) et
BC: (1 ‒ q²)Y = 2q(X ‒ 1) (II)
Pour qu'un cercle tel que (I,E,F) soit tangent à AC, il faut et il suffit qu'il existe deux réels u et v tels que:
0 u 2vY 2uX
Y X
0 u 2vY 2uX
Y X
0 u 2vY 2uX
Y X
2 F F
2 F 2 F
2 E E
2 E 2 E
2 I I
2 I 2 I
Il faut éliminer u et v entre ces 3 équations. Cela peut se faire avec les bases de Gröebner ou plus simplement avec la fonction "Eliminate" de Mathematica.
L'expression obtenue est de degré 6; en remplaçant les coordonnées des points I,E,F par leurs expressions en fonction de p et q, on obtient la relation entre p et q d'où va découler l'équation du lieu de B en tenant compte des relations (I) et (II). L'élimination est très lourde.
Comme le problème est au départ invariant par les symétries qui conservent le segment [AC] nous trouverons naturellement des courbes isométriques, d'où la réduction du problème en considérant le groupe K formé de Id, de S₁ = symétrie par rapport à la médiatrice de [AC], de S₂ = symétrie par rapport à la droite AC et de S₀ = S₁0S₂ = S₂0S₁ qui est la symétrie par rapport au point O.
S₁ se traduit sur les paramètres p et q par (p,q) →( ‒ q, ‒ p), S₂ se traduit par (p,q) →(‒ p, ‒ q), et S₀ par (p,q) →(q,p).
Ici il faut remarquer que l'action d'un élément du groupe K sur I se répercute par l'action du même élément, c'est à dire de la même symétrie sur B.
Mais il existe un autre groupe, également groupe de KLEIN qui va permettre de réduire l'étude des 64 lieux. C'est le groupe K' engendré par t : (p,q) → (‒1/p,q) et t': (p,q) →(p, ‒1/q) avec t't = tt' qui se traduisent par l'échange des deux bissectrices de l'angle en A ou des deux bissectrices de l'angle en C. Cette fois-ci, B est invariant mais l'équation en p et q de la courbe est modifiée.
On pourra donc utiliser tous les éléments du groupe K'.K qui sont Id, S₁, S₂, S₀, t, tS₁, tS₂, tS₀, t', t'S₁, t'S₂, t'S₀, t't, t'tS₁, t'tS₂, t'tS₀.
En effet , S₂ commute avec tous les élements et tS₁ = S₁t' et t'S₁ = S₁t.
On vérifie alors aisément que l'on ne peut pas former d'autres composés que ces 16 . On vérifie également que le groupe K'.K opère sur l'ensemble des 64 triplets (Ix,Ey,Fz) et que le stabilisateur d'un triplet est d'ordre 1 ou2.
Par suite les orbites sont d'ordre 16 ou 8. Nous allons voir qu'il y a 2 orbites à 16 éléments et 4 orbites à 8 éléments.
La célèbre "formule des classes" de BURNSIDE s'écrit donc ici : 64 = 2x16 + 4x8.
Comme dans D192, nous utilisons 6 orbites, donc 6 courbes contenant par morceaux le lieu de B.
Pour présenter les résultats, nous utilisons à nouveau les tableaux ci-dessous:
Pour cela introduisons les notations:
et notons U , V ,Wles tableaux symétriques par rapport à une médiane de ces carrés (horizontale ou verticale).
Le résultat final se présente en plaçant dans les 4 quarts du tableau T les éléments de U,V,W, U, V,W de la façon suivante:
I
U V W V
V W V U
V U V W I
aU V
V W
I
bIc
Ce qui de façon plus détaillée donne ci-après le TABLEAU DES 64 LIEUX:
Conclusion: on trouve 6 courbes de degrés 13, 8, 20, 24, 13 et 17.
Courbe G₁ de degré 13
8x² - 40x⁴ + 80x⁶ - 80x⁸ + 40x¹⁰ - 8x¹² + 16y - 104x² y + 257x⁴ y - 308x⁶ y + 182x⁸ y - 44x¹⁰ y + x¹² y - 64y² + 216x² y² - 240x⁴ y² + 64x⁶ y² + 48x⁸ y² - 24x¹⁰ y² + 96x² y³ - 356x⁴ y³ + 428x⁶ y³ - 172x⁸ y³ + 4x¹⁰ y³ + 64y⁴ - 160x² y⁴ + 112x⁴ y⁴ - 16x⁸ y⁴ + 224y⁵ - 304x² y⁵ + 326x⁴ y⁵ - 252x⁶ y⁵ + 6x⁸ y⁵ + 64y⁶ - 96x² y⁶ + 16x⁴ y⁶ + 16x⁶ y⁶ + 96x² y⁷ - 164x⁴ y⁷ + 4x⁶ y⁷ - 64y⁸ + 24x² y⁸ + 24x⁴ y⁸ + 16y⁹ - 40x² y⁹ + x⁴ y⁹ + 8x² y¹⁰ = 0
Courbe G₂ de degré 8
7 - 28x² + 42x⁴ - 28x⁶ + 7x⁸ + 48x y - 144x³ y + 144x⁵ y - 48x⁷ y - 132y² + 396x² y² - 396x⁴ y² + 132x⁶ y² - 208x y³ + 416x³ y³ - 208x⁵ y³ - 534y⁴ + 300x² y⁴ + 234x⁴ y⁴ + 208x y⁵ - 208x³ y⁵ - 132y⁶ + 132x² y⁶ - 48x y⁷ + 7y⁸ = 0
Courbe G₃ de degré 20
64 - 640x² + 2880x⁴ - 7680x⁶ + 13440x⁸ - 16128x¹⁰ + 13440x¹² - 7680x¹⁴ + 2880x¹⁶ - 640x¹⁸ + 64x²⁰ + 1792x y - 14080x³ y + 48128x⁵ y - 93184x⁷ y + 111104x⁹ y - 82432x¹¹ y + 35840x¹³ y - 7168x¹⁵ y - 256x¹⁷ y + 256x¹⁹ y - 3152y² + 20688x² y² - 57152x⁴ y² + 85568x⁶ y² - 74592x⁸ y² + 38752x¹⁰ y² - 13888x¹² y² + 5952x¹⁴ y² - 2768x¹⁶ y² + 592x¹⁸ y² + 23680x y³ - 134144x³ y³ + 308736x⁵ y³ - 361472x⁷ y³ + 213760x⁹ y³ - 46080x¹¹ y³ - 6656x¹³ y³ + 1024x¹⁵ y³ + 1152x¹⁷ y³ - 28663y⁴ + 121048x² y⁴ - 178020x⁴ y⁴ + 80040x⁶ y⁴ + 43926x⁸ y⁴ - 47256x¹⁰ y⁴ + 8668x¹² y⁴ - 1384x¹⁴ y⁴ + 1641x¹⁶ y⁴ + 104720x y⁵ - 353136x³ y⁵ + 373328x⁵ y⁵ - 54576x⁷ y⁵ - 117456x⁹ y⁵ + 44464x¹¹ y⁵ + 880x¹³ y⁵ + 1776x¹⁵ y⁵ - 105020y⁶ + 237668x² y⁶ - 101356x⁴ y⁶ - 49676x⁶ y⁶ - 12852x⁸ y⁶ + 23340x¹⁰ y⁶ + 6492x¹² y⁶ + 1404x¹⁴ y⁶ + 215344x y⁷ - 293536x³ y⁷ - 8368x⁵ y⁷ + 25920x⁷ y⁷ + 70864x⁹ y⁷ - 10400x¹¹ y⁷ + 176x¹³ y⁷ - 209930y⁸ + 170812x² y⁸ + 14954x⁴ y⁸ + 76488x⁶ y⁸ + 3434x⁸ y⁸ + 11068x¹⁰ y⁸ - 1290x¹² y⁸ + 219664x y⁹ - 16976x³ y⁹ + 99488x⁵ y⁹ - 13472x⁷ y⁹ - 23984x⁹ y⁹ - 2576x¹¹ y⁹ - 246604y¹⁰ - 38596x² y¹⁰ - 30840x⁴ y¹⁰ - 51976x⁶ y¹⁰ + 11012x⁸ y¹⁰ - 3444x¹⁰ y¹⁰ + 96720x y¹¹ - 6336x³ y¹¹ - 67744x⁵ y¹¹ - 19392x⁷ y¹¹ - 3248x⁹ y¹¹ - 169143y¹² - 99908x² y¹² - 63338x⁴ y¹² + 11388x⁶ y¹² - 2583x⁸ y¹² + 3552x y¹³ - 43680x³ y¹³ - 7264x⁵ y¹³ - 1760x⁷ y¹³ - 63520y¹⁴ - 33568x² y¹⁴ + 7840x⁴ y¹⁴ - 864x⁶ y¹⁴ - 6528x y¹⁵ - 1280x³ y¹⁵ - 384x⁵ y¹⁵ - 10368y¹⁶ + 2304x² y¹⁶ - 128x⁴ y¹⁶ = 0
Courbe G₄ de degré 24
-256x² + 2752x⁴ - 13440x⁶ + 39360x⁸ - 76800x¹⁰ + 104832x¹² - 102144x¹⁴ + 71040x¹⁶ - 34560x¹⁸ + 11200x²⁰ - 2176x²² + 192x²⁴ - 256y - 2752x² y + 32128x⁴ y - 125120x⁶ y + 259072x⁸ y - 312704x¹⁰ y + 206080x¹² y - 34688x¹⁴ y - 55040x¹⁶ y + 47168x¹⁸ y - 16000x²⁰ y + 2112x²² y - 5056y² + 4400x² y² + 144016x⁴ y² - 707520x⁶ y² + 1610944x⁸ y² - 2151520x¹⁰ y² + 1781472x¹² y² - 892736x¹⁴ y² + 233600x¹⁶ y² - 10064x¹⁸ y² - 8944x²⁰ y² + 1408x²² y² - 27840y³ + 128856x² y³ - 192344x⁴ y³ + 29280x⁶ y³ + 170400x⁸ y³ - 86192x¹⁰ y³ - 75216x¹² y³ + 18144x¹⁴ y³ + 87520x¹⁶ y³ - 67560x¹⁸ y³ + 14952x²⁰ y³ - 45776y⁴ - 17864x² y⁴ + 817375x⁴ y⁴ - 2030776x⁶ y⁴ + 1704292x⁸ y⁴ + 341800x¹⁰ y⁴ - 1552742x¹² y⁴ + 1004984x¹⁴ y⁴ - 218060x¹⁶ y⁴ - 7648x¹⁸ y⁴ + 4415x²⁰ y⁴ - 185344y⁵ + 474952x² y⁵ - 84528x⁴ y⁵ - 585616x⁶ y⁵ + 272272x⁸ y⁵ + 258688x¹⁰ y⁵ - 115088x¹² y⁵ + 3472x¹⁴ y⁵ - 83920x¹⁶ y⁵ + 45112x¹⁸ y⁵ - 172928y⁶ - 324800x² y⁶ + 1895236x⁴ y⁶ - 1701980x⁶ y⁶ + 11284x⁸ y⁶ - 345548x¹⁰ y⁶ + 1182540x¹² y⁶ - 570388x¹⁴ y⁶ + 18908x¹⁶ y⁶ + 7676x¹⁸ y⁶ - 519488y⁷ + 355264x² y⁷ + 526352x⁴ y⁷ + 51552x⁶ y⁷ - 113552x⁸ y⁷ - 513536x¹⁰ y⁷ + 109808x¹² y⁷ + 28384x¹⁴ y⁷ + 75216x¹⁶ y⁷ - 338528y⁸ - 1155952x² y⁸ + 1455034x⁴ y⁸ + 390356x⁶ y⁸ - 99706x⁸ y⁸ + 330856x¹⁰ y⁸ - 704986x¹² y⁸ + 49396x¹⁴ y⁸ + 7994x¹⁶ y⁸ - 771136y⁹ - 476928x² y⁹ + 44624x⁴ y⁹ - 438736x⁶ y⁹ - 159520x⁸ y⁹ + 514912x¹⁰ y⁹ + 163344x¹² y⁹ + 74864x¹⁴ y⁹ - 358592y¹⁰ -
1615408x² y¹⁰ - 753612x⁴ y¹⁰ - 780020x⁶ y¹⁰ - 286904x⁸ y¹⁰ - 484248x¹⁰ y¹⁰ + 46724x¹² y¹⁰ + 4988x¹⁴ y¹⁰ - 636416y¹¹ - 794008x² y¹¹ - 235864x⁴ y¹¹ + 321488x⁶ y¹¹ + 618128x⁸ y¹¹ + 157896x¹⁰ y¹¹ + 44488x¹² y¹¹ - 195536y¹² - 924168x² y¹² - 624545x⁴ y¹² - 195852x⁶ y¹² - 183574x⁸ y¹² + 20700x¹⁰ y¹² + 1727x¹² y¹² - 276160y¹³ - 321288x² y¹³ + 146560x⁴ y¹³ + 305200x⁶ y¹³ + 65536x⁸ y¹³ + 14616x¹⁰ y¹³ - 43008y¹⁴ - 166144x² y¹⁴ - 26112x⁴ y¹⁴ - 30720x⁶ y¹⁴ + 3584x⁸ y¹⁴ + 256x¹⁰ y¹⁴ - 49152y¹⁵ - 18432x² y¹⁵ + 55296x⁴ y¹⁵ + 10240x⁶ y¹⁵ + 2048x⁸ y¹⁵ = 0
Courbe G₅ de degré 13
-144 - 48x + 800x² + 224x³ - 1840x⁴ - 400x⁵ + 2240x⁶ + 320x⁷ - 1520x⁸ - 80x⁹ + 544x¹⁰ - 32x¹¹ - 80x¹² + 16x¹³ + 103y + 332x y - 514x² y - 1348x³ y + 1081x⁴ y + 2072x⁵ y - 1244x⁶ y - 1448x⁷ y + 841x⁸ y + 412x⁹ y - 322x¹⁰ y - 20x¹¹ y + 55x¹² y - 176y² + 672x y² + 688x² y² - 2464x³ y² - 864x⁴ y² + 3264x⁵ y² + 224x⁶ y² - 1728x⁷ y² + 272x⁸ y² + 160x⁹ y² - 144x¹⁰ y² + 96x¹¹ y² + 764y³ + 1456x y³ - 2508x² y³ - 2592x³ y³ + 2296x⁴ y³ + 576x⁵ y³ + 8x⁶ y³ + 800x⁷ y³ - 692x⁸ y³ - 240x⁹ y³ + 132x¹⁰ y³ - 32y⁴ + 464x y⁴ + 128x³ y⁴ - 192x⁴ y⁴ - 1504x⁵ y⁴ + 512x⁶ y⁴ + 768x⁷ y⁴ - 288x⁸ y⁴ + 144x⁹ y⁴ + 1066y⁵ + 1224x y⁵ - 2616x² y⁵ + 120x³ y⁵ + 124x⁴ y⁵ + 1208x⁵ y⁵ - 760x⁶ y⁵ - 504x⁷ y⁵ + 138x⁸ y⁵ + 32y⁶ - 464x y⁶ + 32x² y⁶ - 592x³ y⁶ + 224x⁴ y⁶ + 912x⁵ y⁶ - 288x⁶ y⁶ + 144x⁷ y⁶ + 764y⁷ + 1456x y⁷ - 980x² y⁷ + 320x³ y⁷ - 428x⁴ y⁷ - 240x⁵ y⁷ + 132x⁶ y⁷ + 176y⁸ - 672x y⁸ - 160x² y⁸ + 448x³ y⁸ - 144x⁴ y⁸ + 96x⁵ y⁸ + 103y⁹ + 332x y⁹ - 102x² y⁹ - 20x³ y⁹ + 55x⁴ y⁹ + 144y¹⁰ + 48x y¹⁰ - 80x² y¹⁰ + 16x³ y¹⁰ = 0
Courbe G₆ de degré 17
-256 - 256x + 1280x² + 1024x³ - 2672x⁴ - 1232x⁵ + 3040x⁶ - 224x⁷ - 2000x⁸ + 1680x⁹ + 576x¹⁰ - 1344x¹¹ + 240x¹² + 336x¹³ - 288x¹⁴ + 32x¹⁵ + 80x¹⁶ - 16x¹⁷ + 272y - 96x y - 432x² y + 1168x³ y - 2041x⁴ y - 3988x⁵ y + 7054x⁶ y + 5964x⁷ y - 8647x⁸ y - 3976x⁹ y + 4756x¹⁰ y + 520x¹¹ y - 855x¹² y + 636x¹³ y - 146x¹⁴ y - 228x¹⁵ y + 39x¹⁶ y - 1248y² - 224x y² + 4304x² y² + 848x³ y² - 4800x⁴ y² - 2896x⁵ y² + 304x⁶ y² + 6080x⁷ y² + 2976x⁸ y² - 5888x⁹ y² - 1104x¹⁰ y² + 2128x¹¹ y² - 1024x¹² y² + 48x¹³ y² + 592x¹⁴ y² - 96x¹⁵ y² + 2080y³ + 1504x y³ + 984x² y³ - 1776x³ y³ - 13244x⁴ y³ - 224x⁵ y³ + 11332x⁶ y³ - 1344x⁷ y³ + 3176x⁸ y³ + 1600x⁹ y³ - 4544x¹⁰ y³ + 1584x¹¹ y³ - 12x¹² y³ - 1344x¹³ y³ + 228x¹⁴ y³ - 1760y⁴ + 1184x y⁴ + 512x² y⁴ - 720x³ y⁴ + 2768x⁴ y⁴ + 1040x⁵ y⁴ + 3328x⁶ y⁴ - 5408x⁷ y⁴ - 6464x⁸ y⁴ + 4416x⁹ y⁴ - 128x¹⁰ y⁴ - 272x¹¹ y⁴ + 1744x¹² y⁴ - 240x¹³ y⁴ + 3680y⁵ + 3008x y⁵ + 7936x² y⁵ + 1696x³ y⁵ - 1910x⁴ y⁵ + 1352x⁵ y⁵ - 8376x⁶ y⁵ - 584x⁷ y⁵ - 5604x⁸ y⁵ - 136x⁹ y⁵ + 1672x¹⁰ y⁵ - 3288x¹¹ y⁵ + 554x¹² y⁵ - 1408y⁶ + 2752x y⁶ + 144x² y⁶ + 4000x³ y⁶ - 5072x⁴ y⁶ - 544x⁵ y⁶ - 7728x⁶ y⁶ + 3232x⁷ y⁶ + 3216x⁸ y⁶ - 928x⁹ y⁶ + 2656x¹⁰ y⁶ - 320x¹¹ y⁶ + 2368y⁷ + 2880x y⁷ + 7216x² y⁷ - 1568x³ y⁷ - 3548x⁴ y⁷ - 4816x⁵ y⁷ + 596x⁶ y⁷ - 3488x⁷ y⁷ + 3916x⁸ y⁷ - 4272x⁹ y⁷ + 716x¹⁰ y⁷ - 1792y⁸ + 1216x y⁸ - 3312x² y⁸ - 1184x³ y⁸ - 3056x⁴ y⁸ - 48x⁵ y⁸ + 4528x⁶ y⁸ - 1152x⁷ y⁸ + 2224x⁸ y⁸ - 240x⁹ y⁸ - 112y⁹ + 160x y⁹ + 2128x² y⁹ - 3440x³ y⁹ + 4103x⁴ y⁹ - 3412x⁵ y⁹ + 3786x⁶ y⁹ - 3108x⁷ y⁹ + 519x⁸ y⁹ - 1440y¹⁰ - 480x y¹⁰ - 736x² y¹⁰ - 752x³ y¹⁰ + 2288x⁴ y¹⁰ - 656x⁵ y¹⁰ + 976x⁶ y¹⁰ - 96x⁷ y¹⁰ - 352y¹¹ - 288x y¹¹ + 1592x² y¹¹ - 1008x³ y¹¹ + 1696x⁴ y¹¹ - 1200x⁵ y¹¹ + 200x⁶ y¹¹ - 288y¹² - 96x y¹² + 368x² y¹² - 144x³ y¹² + 176x⁴ y¹² - 16x⁵ y¹² + 288x² y¹³ - 192x³ y¹³ + 32x⁴ y¹³ = 0
Remarque n°1: Les orbites associées à G1, G2, G3, G4 sont de longueur 8 et les orbites associées à G5 et G6 sont de longueur 16.
Remarque n°2: Il est extraordinaire qu'à partir d'un problème de géométrie élémentaire aussi simple on obtienne des courbes de degrés aussi élevés; Leurs épouvantables équations peuvent avoir plus de 100 termes et leurs coefficients ( qui sont tous des entiers) dépassent 100 000.
Remarque n°3: De façon semblable au problème D193 nous avons la propriété suivante:
Un cercle (I,E,F) passe par B si et seulement si ce cercle correspond à un triplet (I,E,F) de l'orbite de longueur 8 associée à la courbe G₂, qui est de degré 8.
