Le problème de Helmholtz pour des obstacles peu réguliers

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Preprint submitted on 15 Mar 2010

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Le problème de Helmholtz pour des obstacles peu réguliers

Carole Erba, Régine Weber, Michel Zinsmeister

To cite this version:

Carole Erba, Régine Weber, Michel Zinsmeister. Le problème de Helmholtz pour des obstacles peu

réguliers. 2009. �hal-00463794�

Le probl`eme de Helmholtz pour des obstacles peu r´eguliers

Carole Erba, R´ egine Weber, Michel Zinsmeister 11 octobre 2009

1 Abbridged english version

:

In the theory of permanent incompressible flow of a perfect fluid in a domain Ω a flow is determined by a holomorphic function f : Ω → C whose imaginary part is constant on the boundary. The real and imaginary parts of f are usually denoted by Φ, Ψ and are called respectivelly the potential and the current function. The level lines of Ψ are the flow lines while the level lines of Φ (the orthogonal trajectories) are the equipotentials. If Ω ⁰ is another domain of the complex plane which is conformally equivalent to Ω via a conformal mapping h : Ω ⁰ → Ω then, if f is a flow in Ω, we can define a flow g in Ω ⁰ by g = f ◦ h. In particular the natural flow f (z) = z in the domain Ω = C \[−1, 1] transfers into a flow past an obstacle consisting in a connected full compact set K . If this flow is natural for the horizontal segment [−1, 1], it is not for the vertical segment : in this case it is more natural to model the flow with a wake behind the obstacle. Helmholtz built up such a model of wake : it is made of two curves joining the extremities of the obstacle to infinity in such a way that the conformal mapping h sending C \ R + onto the complement of the wake and infinity to infinity is such that |h ⁰ | = V ₀ on the part of R ⁺ corresponding to the free boundary of the wake ( R ⁺ must be doubled to take care of the two branches). Normalizing, one can always assume that V ₀ , which is the scalar velocity of the flow at infinity, is equal to 1 so that h is actually a parametrization of the free boundary of the wake by arc-length. Viewed in this way the problem of Helmholtz can be viewed as a Riemann mapping problem with free boundary. This problem has been studied by Leray [L] who gave existence and uniqueness results in the case of an obstacle of class C ^1+α with α > 1/2. We propose here in the symmetric case a different approach in the spirit of Coifman-Meyer approach to Riemann mapping theorem [CM], where much less regularity is needed. Before we state the theorem we need to introduce a few definitions : if I is an interval of the real line, the space BM O(I) is the space of functions b ∈ L ¹ _loc (I) such that

kbk ∗ = sup

J⊂I

1

|J|

Z

J

b(x) − 1

|J | Z

J

b(t)dt

dx < ∞

A Lavrentiev or chord-arc curve passing through ∞ is a locally rectifiable Jordan arc whose arc- length parametrization s 7→ z(s) satisfies

1. lim _s→∞ |z (s)| = ∞

2. ∃ C > 0/ ∀s ₁ , s ₂ ∈ R , |s ₁ − s ₂ | ≤ C |z (s ₁ ) − z (s ₂ )|

The link between chord-arc curves and the space BM O has been given in [CM] : if Γ is a chord-arc curve then z ⁰ (s) = e ^iα(s) a.e. with α ∈ BM O( R ). Conversely, if α ∈ BM O( R ) is a real function with small norm then z(s) = R s

0 e ^iα(t) dt is the parametrization of a chord-arc curve passing through infinity.

We prove the following

Th´ eor` eme 1.1. There exists ₀ > 0 such that if α is a function in BM O( R + with a norm < ₀ then { R t

0 e ^iα(s) ds, t ≥ 0} can be extended to a chord arc curve Γ passing through ∞ which is such that there exists a conformal mapping F from the upper half-plane onto the domain on the left of Γ such that F (0) = 0, F (∞) = ∞ and F | _R

is a parametrization of the free boundary by arc-length.

The authors wish to thank the referee whose comments allowed to correct a mistake in the first version and moreover to present a stronger version of the main theorem.

2 Introduction et ´ enonc´ e du r´ esultat

Dans la th´ eorie du fluide parfait incompressible plan, un ´ ecoulement permanent dans un domaine Ω est donn´ e par une fonction holomorphe f : Ω −→ C dont la partie imaginaire est constante au bord.

Les parties r´ eelles et imaginaires de f sont usuellement not´ ees Φ et Ψ et sont appel´ ees respectivement fonction potentiel et fonction courant.

Les lignes de niveau de Ψ ne sont autres que les lignes de courant du fluide. Les trajectoires orthogno- nales ` a ces lignes de courant sont les ´ equipotentielles {Φ = cste}.

La d´ eriv´ ee ω(z) = f ⁰ (z) est appel´ ee vitesse complexe. Si l’on munit le plan complexe de sa structure euclidienne canonique, la vitesse de l’´ ecoulement, qui n’est autre que V ~ = ∇Φ, est encore ´ egale ` a ¯ ω.

Si maintenant Ω ⁰ est un autre domaine de C conform´ ement ´ equivalent ` a Ω, alors la donn´ ee d’une repr´ esentation conforme h : Ω ⁰ −→ Ω permet de d´ efinir un ´ ecoulement g dans Ω ⁰ par g = f ◦ h.

Ainsi l’´ ecoulement uniforme f (z) = z dans le demi-plan sup´ erieur R ² + = {x + iy ; y > 0} permet de d´ efinir un ´ ecoulement naturel dans tout domaine ` a gauche d’une courbe de Jordan Γ = {z = γ (t) , t ∈ R } avec |γ(t)| → ∞ quand |t| → +∞, par g (ξ) = f (h (ξ)) o` u h est une repr´ esentation conforme du do- maine ` a gauche de Γ sur R ² + telle que h (∞) = ∞.

Vue sous cet angle, la th´ eorie des fluides parfaits plan apparaˆıt comme ´ equivalente ` a la th´ eorie de la repr´ esentation conforme de Riemann.

Un autre exemple illustrant cette hypoth` ese est celui d’un ´ ecoulement autour d’un obstacle.

Cet obstacle est un compact K connexe plein du plan et C \K peut ˆ etre transform´ e conform´ ement en C \[−1, 1] par une transformation pr´ eservant ∞.

On peut alors transf´ erer l’´ ecoulement uniforme f (z) = z sur C \[−1, 1] en un ´ ecoulement sur C \K via cette repr´ esentation confome.

On pourrait ainsi fabriquer un ´ ecoulement autour d’un segment vertical orthogonal ` a la vitesse ` a l’in- fini. Mais il est clair qu’un tel ´ ecoulement ne correspondrait pas ` a la r´ ealit´ e. Quiconque s’est attard´ e ` a observer le passage de l’eau autour d’un pilier de pont a pu observer l’existence d’un sillage entourant une zone de fluide mort.

Helmholtz a construit un tel mod` ele de sillage : il est d´ elimit´ e par deux courbes joignant les points de d´ ecollement qui doivent ˆ etre connus, et le domaine constitu´ e du compl´ ementaire de la zone bord´ ee par le sillage est l’image d’une repr´ esentation conforme h d´ efinie sur C \ R <sup>+</sup> qui est telle que sur les deux segments correspondant aux deux branches du sillage (il faut voir R + comme d´ edoubl´ e, c’est ` a dire avec un bord sup´ erieur et un bord inf´ erieur ) la repr´ esentation h v´ erifie |h ⁰ | = V ₀ , la vitesse scalaire ` a l’infini.

On peut toujours normaliser le probl` eme de sorte que V <sub>0</sub> = 1. L’hypoth` ese peut alors se paraphraser en disant que h r´ ealise une param´ etrisation par la longueur d’arc des deux branches du sillage.

Naturellement il n’est pas clair que ce probl` eme ait une solution. Nous l’appellerons probl` eme de Helm-

holtz et ce probl` eme peut ˆ etre vu comme un probl` eme de Riemann avec fronti` ere libre.

Ce probl` eme a ´ et´ e ´ etudi´ e math´ ematiquement en 1935 [L] par J.Leray qui a obtenu des r´ esultats d’exis- tence pour des obstacles de classe C ^1+α avec α > 1

2 .

Nous proposons ici une approche diff´ erente dans un cadre simplifi´ e en utilisant l’approche de Coifman et Meyer [CM] du th´ eor` eme de Riemann.

Cette approche nous permettra de r´ eduire les hypoth` eses de r´ egularit´ e sur l’obstacle.

Afin de comprendre la simplification que nous op´ erons, consid´ erons le rˆ ole de l’origine 0 dans le probl` eme de Helmholtz.

Dans la repr´ esentation conforme, ce point correspond au point de s´ eparation de l’obstacle, les lignes de courant aboutissant au dessus de ce point glissent vers le haut le long de l’obstacle tandis que les autres glissent vers le bas. Ce point ne peut ˆ etre fix´ e arbitrairement et il s’agit d’une des difficult´ es du probl` eme. Il est n´ eanmoins un cas o` u ce point est clairement d´ efini : c’est le cas d’un obstacle sym´ etrique par rapport ` a R . Le point de s´ eparation est alors l’intersection de l’obstacle avec l’axe r´ eel et la ligne de courant s´ eparante est la demi droite n´ egative issue de ce point.

En rempla¸cant l’obstacle par la r´ eunion de l’obstacle et de cette ligne de courant s´ eparante, on est alors ramen´ e ` a un probl` eme simplement connexe. C’est dans ce contexte que nous nous placerons. On rap- pelle qu’une courbe de Lavrentiev passant par l’infini est une courbe de Jordan localement rectifiable dont la repr´ esentation par la longueur d’arc z(s), s ∈ R v´ erifie

1. lim s→∞ |z (s)| = ∞

2. ∃ C > 0/ ∀s ₁ , s ₂ ∈ R |s ₁ − s ₂ | ≤ C |z (s ₁ ) − z (s ₂ )|

Nous appellerons norme de la courbe la plus petite constante C > 0 telle que (2) soit v´ erifi´ ee. Avant de poursuivre il nous faut discuter de quelques pr´ eliminaires.

Soit I un intervalle ferm´ e de R . L’espace BM O (I) est l’espace des fonctions b ∈ L ¹ _loc (I) telles que k b k _∗ = sup

J⊂I

1

|J|

Z

J

b(x) − 1

|J | Z

J

b(t)dt

dx < ∞ Muni de k . k _∗ , cet espace est un espace de Banach modulo les constantes.

Il est clair que si b ∈ BM O ( R ) alors b | I ∈ BM O (I).

R´ eciproquement, si b ∈ BM O ( I ), comment peut-on la prolonger en une fonction de BM O ( R ) ? Int´ eressons nous plus sp´ ecialement au cas de I = R + .

Soit a une fonction d´ efinie sur R ⁺ . Consid´ erons trois extensions possibles ` a R :

(i) ˜ a (x) =

( a (x) , si x ≥ 0 0 , si x < 0

(ii) a _pair (x) =

( a (x) , si x ≥ 0 a (−x) , si x < 0

(iii) a _impair (x) =

( a (x) , si x ≥ 0

−a (−x) , si x < 0

Notons que a _pair +a _impair = 2 ˜ a . Par ailleurs il est facile de se rendre compte que a _pair ∈ BM O ( R ) d` es que a ∈ BM O ( R + ).

On en d´ eduit imm´ ediatement que ˜ a ∈ BM O ( R ) ⇐⇒ a _impair ∈ BM O ( R ). Mais cette condition n’est pas obligatoirement satisfaite, comme le montre l’exemple a(x) = ln(x), x ≥ 0.

Nous d´ esignons par E l’espace des fonctions a ∈ BM O ( R + ) telles que ˜ a ∈ BM O ( R ), muni de la norme k ˜ a k _∗ . En d’autres termes, E est isom´ etrique ` a l’espace des fonctions b ∈ BM O ( R ) qui s’an- nulent sur R ⁻ , qui est clairement un ferm´ e de BM O ( R ). On peut aussi voir E comme le sous-espace de BM O( R ) des fonctions impaires.

Revenons au courbes de Lavrentiev. Si z(s) est la param´ etrisation par longueur d’arc de l’une d’entre elles, alors on peut montrer ([CM]) qu’il existe α ∈ BM O ( R ) telle que

z ⁰ (s) = e ^iα(s) , s ∈ R et que r´ eciproquement si kα k _∗ est assez petit alors z(t) =

Z t

0

e ^iα(s) ds param´ etrise une courbe de La- vrentiev de norme proche de 1.

Nous sommes maintenant en mesure d’´ enoncer le r´ esultat principal de ce travail :

Th´ eor` eme 2.1. Il existe ₀ > 0 tel que si α ∈ BM O( R + ) et k α k _∗ < ₀ alors Γ _α se prolonge en une courbe Γ de Lavrentiev de norme proche de 1 et qui est telle qu’il existe F : R ² + −→ Ω (le domaine

`

a gauche de Γ), une repr´ esentation conforme telle que F (0) = 0, F (∞) = ∞ et F | ]−∞,0[ est une param´ etrisation de Γ\Γ _α par longueur d’arc.

3 Preuve du th´ eor` eme

Supposons le probl` eme r´ esolu. Alors (voir [Z]) log |F ⁰ | ∈ BM O ( R ) et donc, puisque |F ⁰ | = 1 sur R ⁻ , log(F ⁰ )| _R

∈ E . Par ailleurs z et F repr´ esentent deux param´ etrisations de Γ α par R ⁺ : on passe donc de l’une ` a l’autre par composition par un hom´ eomorphisme de R + , soit F (x) = z (h (x)).

On a donc h ⁰ = |F | et log h ⁰ ∈ E. On a aussi

ArgF ⁰ = α ◦ h sur R ⁺ (1)

Appelons H la transform´ ee de Hilbert sur R normalis´ ee de sorte que pour une fonction holomorphe dans R ² + , la partie imaginaire au bord soit la transform´ ee de Hilbert de la partie r´ eelle. En particulier

ArgF ⁰ = H(log |F ⁰ |) et (1) devient

H (log h ⁰ ) | _R

= α ◦ h (2)

Posons θ = h ⁻¹ et d´ esignons par V _θ l’op´ erateur : b 7−→ b ◦ θ qui est un isomorphisme de BM O ( R ) et donc aussi de E puisque V _θ et V _h fixent E. Comme h ⁰ = 1

θ ⁰ ◦ θ ⁻¹ , l’´ equation (2) devient

α = −V _θ HV _θ ⁻¹ (log θ ⁰ ) | _R

(3)

Pour faire la synth` ese, on raisonne comme dans ([CM]). α ´ etant donn´ e , si l’on parvient ` a r´ esoudre (3) c’est ` a dire ` a trouver log θ ⁰ ∈ E pour lequel (3) est v´ erifi´ e alors

F (x) = Z x

0

exp {log h ⁰ (u) + iH(log h ⁰ )} du

est la fonction cherch´ ee (ou plutˆ ot sa trace sur R ). Pour r´ esoudre (3), on reprend l’id´ ee de ( [CM]) (qui est d´ ej` a celle de [L]) : on se ram` ene ` a un probl` eme de point fixe. Pour le faire, nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme 3.1. L’op´ erateur T : b 7−→ 1 [0,∞[ H(b) est un isomorphisme de E sur BM O( R ⁺ ).

Preuve du lemme

Montrons que T est injectif : si b ∈ E est tel que T (b) = 0, alors b H(b) est identiquement nulle et donc (b + i H (b)) ² est une fonction r´ eelle , donc constante puisque valeur au bord d’une fonction holomorphe. Donc b + iH(b) est aussi constante et donc nulle puisque b = 0 sur R ⁻ et Hb = 0 sur R ⁺ . Pour montrer que T est surjectif, donnons nous β ∈ BM O( R + . On cherche a ∈ E tel que T (a) = β.

Consid´ erons la transform´ ee de Cauchy de a. C’est une fonction holomorphe sur C \ R ⁺ et les formules de Plemmelj ([Z]) montrent que cette fonction a pour valeur au bord positive sur R + , ¹ ₂ (a + iHa) et pour valeur au bord n´ egative, ¹ ₂ (−a + iHa).

Mais si ζ 7−→ F (ζ) est une fonction holomorphe sur C \ R ⁺ , alors z 7−→ F (z ² ) est holomorphe sur R ² + . On en d´ eduit qu’il existe une fonction holomorphe sur R ² + dont les valeurs au bord sont

1

2 a x ²

+ iHa x ²

, x ≥ 0 1

2 −a x ²

+ iHa x ²

, x < 0 Posons alors

A (x) =

( a x ²

, si x > 0

−a x ²

, si x ≤ 0 et

B (x) =

( Ha x ²

, si x ≥ 0 Ha x ²

, si x < 0 et l’on a A = −H(B) , B = H(A).

Pour effectuer la synth` ese posons maintenant B (x) =

( β x ²

, si x ≥ 0 β x ²

, si x < 0 et

A (x) = −H (B) , a (x) = A √ x

, x > 0.

Le fait que A soit impaire et dans BM O prouve que a ∈ E car f 7−→ (x 7→ f( √

x)) pr´ eserve

BM O ( R ) ([Z]). Enfin le fait que B = H(A) prouve que β = T (a).

Revenons ` a la preuve du th´ eor` eme. On peut r´ e´ ecrire (3) sous la forme

α = −V _θ T V _θ ⁻¹ (log θ ⁰ ) (4)

Posons F (b) = −V _θ T V _θ ⁻¹ (b) o` u log θ ⁰ = b.

Si k b k _∗ est assez petit, V _θ est alors un isomorphisme de BM O ([Z]). Posons encore (b) = F (b) + T (b).

Alors (4) ´ equivaut ` a −T (b) + (b) = α ou encore

−T ⁻¹ (α) + T ⁻¹ o (b) = b (5)

Posons alors Λ(b) = −T ⁻¹ (α) + T ⁻¹ ((b)). On a

k Λ(b) − Λ(β) k _∗ ≤ C k (b) − (β) k _∗ , et

k(b) − (β)k ∗ = k T − V θ T V _θ ⁻¹

(b − β) − V θ T V _θ ⁻¹ (β) + V ζ T V _ζ ⁻¹ (β) k ∗ , o` u log ζ ⁰ = β

≤ C (kbk _∗ + kβk _∗ ) kb − βk _∗ par les r´ esultats de ([CM]) qui s’appliquent par restriction.

Fixons alors r > 0 tel que si k b k _∗ , k β k _∗ < r alors kΛ(b) − Λ(β)k _∗ ≤ 1

2 kb − βk _∗ .

Pour conclure, il suffit de montrer qu’il existe ₀ > 0 tel que si k α k _∗ ≤ ₀ alors la boule ferm´ ee de E de centre 0 et de rayon r est invariante par Λ.

Mais k (b) k _∗ ≤ C k b k ² _∗ par ([CM]), et il suffit de choisir ₀ tel que C ₀ + C ⁰ r ² ≤ r ,

ce qui est possible si C ⁰ r < 1 et ₀ ≤ r(1 − C ⁰ r)

C .

Ce qui pr´ ec` ede s’applique en particulier au cas d’un obstacle de type di´ edral sym´ etrique par rapport

`

a l’axe r´ eel dont l’intersection avec le demi plan sup´ erieur est donn´ ee par {y = f(x)} o` u f est une fonction lipschitzienne de petite norme sur [0, 1] nulle en 0 et > 0 sur ]0, 1]. Il suffit pour s’en convaincre d’appliquer ce qui vient d’ˆ etre vu ` a la demi-courbe de Jordan d´ efinie par le demi axe r´ eel n´ egatif prolong´ e par le graphe de la fonction f . Le cas du di` edre correspond ` a f(x) = x tan θ. Dans ce cas, la solution est explicite et donn´ ee par F (z) = λΨ(z/λ) o` u λ est tel que |λΨ(1)| est ´ egal ` a la longueur du cˆ ot´ e du di` edre et

Ψ ⁰ (z) =

√

√ z

z − 1 − i

.

3.1 R´ ef´ erences

[CM] Coifman, R. ; Meyer,Y : Le th´ eor` eme de Calderon par des m´ ethodes de variable r´ eelle. CRAS Paris, S´ er. A, t.289, p.425-428.

[L] Leray,J. : Le probl` eme de repr´ esentation conforme d’Helmholtz : th´ eorie des sillages et des proues.

Comm. math. Helv. vol. 8, no 1, 1935, p.250-263.

[Z] Zinsmeister,M : Les Domaines de lavrentiev. Publ. Math. d’Orsay, 1985.

Carole Erba ( ^1,2 ), R´ egine W´ eber ( ² ), Michel Zinsmeister ( ^1,3 ).

1. MAPMO, UMR 6628, Universit´ e d’Orl´ eans, BP 6759 Orl´ eans Cedex 2.

2. PRISME, Polytech’Orl´ eans, 45072 Orl´ eans Cedex 2.

3. PMC, UMR 7643, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau.