Régularité du problème de Kelvin-Helmholtz pour l'équation d'Euler 2D

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations

URL:http://www.emath.fr/cocv/ DOI : 10.1051/cocv:2002052

R´ EGULARIT´ E DU PROBL` EME DE KELVIN–HELMHOLTZ POUR L’´ EQUATION D’EULER 2D

Gilles Lebeau

Abstract. We prove that for any solutionulocally defined in time of the Kelvin–Helmholtz problem for the Euler 2d equation in the plane, then the curve of discontinuity of u and the density of the vortex sheet are analytic (under holdera prioriestimates for the curve of discontinuity). We also give a partial result for a solutionudefined in a half interval [O, T[.

R´esum´e. Nous prouvons que pour toute solutionudu probl`eme de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillons pour l’´equation d’Euler bi-dimensionnelle, d´efinie localement en temps, la courbe de saut deuet la densit´e de tourbillon sont analytiques (sous une hypoth`ese de r´egularit´e Holderienne de la courbe de saut). Nous donnons ´egalement un r´esultat de r´egularit´e partielle de la trace deusurt= 0 lorsqueuest d´efinie sur un demi-interval [O, T[.

Classification Math´ematique. 35Q05, 35Q23, 35Q24, 35Q35, 35Q57.

Re¸cu le 14 janvier 2002. R´evis´e le 12 mars 2002.

1. Introduction et r´ esultats

L’´equation d’Euler des fluides parfaits incompressibles

∂u

∂t +u.∇u=−∇p , div(u) = 0 (1.1)

o`uu(t, x, y)∈R<sup>2</sup>est un champ de vecteur dans le plan et o`up(t, x, y)∈Rd´esigne la pression, d´ecrit l’´evolution temporelle de la vitesse u(t, x, y) de la particule qui `a l’instanttoccupe la position (x, y).

Dans (1.1), le termeu.∇d´esigne le champ de vecteuru_x∂_x+u_y∂_yo`u (u_x, u_y) sont les coordonn´ees cart´esiennes deu. La condition d’incompressibilit´e div(u) = 0 permet de r´e´ecrire le termeu.∇usous la forme

u.∇u=

∂_x(u²_x) +∂_y(u_xu_y)

∂_x(u_xu_y) +∂_y(u²_y) (1.2)

Mots-cl´es et phrases :Euler equation, vortex sheets, Kelvin–Helmholtz instability, paradifferential calculus.

1Centre de Math´ematiques, ´Ecole Polytechnique, France ; e-mail : lebeau@polytechnique.fr

c EDP Sciences, SMAI 2002

ce qui permet de d´efinir des solutions faibles de l’´equation d’Euler sous la seule condition de r´egularit´e u∈L^∞_loc(t, L²_loc(R²)).

Les quantit´es formellement conserv´ees pour (1.1) sont

• l’´energie cin´etique : ¹₂

R

R²|u|²dxdy ;

• le tourbillonω(t, x, y) =∂_xu_y−∂_yu_xqui est constant le long des trajectoires des particules,i.e. v´erifie

∂_tω+u.∇ω= 0. (1.3)

Le probl`eme de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillon consiste `a comprendre la structure des solutions de (1.1) dont la donn´ee `at= 0, u₀(x, y) =u(0, x, y) v´erifie

rot(u₀) =ω₀=g₀(s)δ_Σ0 divu₀= 0 (1.4) o`u Σ<sub>0</sub> est une courbe ferm´ee simple dans le plan, orient´ee dans le sens direct, param´etr´ee par l’abscisse curvi- lignes,δ<sub>Σ0</sub> d´esignant la mesure d’int´egration sur Σ<sub>0</sub>, et o`u la densit´eg₀(s) v´erifie

∃c0>0 ∀s c₀≤g₀(s)≤1/c₀. (1.5)

En notantu^±₀ les restrictions deuaux composantes connexes deR²\Σ (le signe + ´etant associ´e `a la composante non born´ee) qui v´erifient ∆u^±₀ = 0, et par [u_⊥],[u_//] les sauts des composantes perpendiculaires et tangentielles deule long de Σ₀ on a

[u_⊥] = 0, [u_//] =g₀=u⁺_//−u⁻_//. (1.6) Rappelons deux r´esultats connus sur ce probl`eme : existence de solutions faibles et persistence de la structure nappes de tourbillons en temps petit si les donn´ees sont analytiques.

Th´eor`eme 1.1 (Delort 1990). L’´equation (1.1) avec donn´ee de Cauchy u₀ ∈ L² tel que ω₀ = rot(u₀)

∈H⁻¹∩ M+ admet au moins une solution faible (M+ d´esigne l’espace des mesures positives).

Th´eor`eme 1.2 (Bardoset al. 1981). Soit u<sub>0</sub> v´erifiant ω<sub>0</sub> = rot(u<sub>0</sub>) =g<sub>0</sub>(s)δ<sub>Σ0</sub>, o`uΣ₀ et g₀ sont analytiques.

Alors il existeT_∗>0tel que (1.1) poss`ede une unique solutionu(t, x, y),t∈]−T_∗, T_∗[, t.q. rot(u(t, .)) =g(t, .)δ_Σt avec{(t, x, y); (x, y)∈Σ_t} etg analytiques.

Remarque : Le th´eor`eme 2 prouve la conjecture de Garrett–Birkhoff ; on trouvera aussi dans [2] la preuve du r´esultat analogue en dimension 3.

Le r´esultat suivant indique que le probl`eme de Kelvin–Helmholtz est mal pos´e au sens de Hadamard dans la cat´egorie des nappes de tourbillons,i.e. ses seules solutions sont celles d´ecrites par le th´eor`eme 2.

Th´eor`eme 1.3. Soit Σ ⊂(]T<sub>−</sub>, T<sub>+</sub>[×R<sup>2</sup>) une hypersurface de R<sup>3</sup> de la forme Σ = {t,(x, y)∈ Σ<sub>t</sub>} o`u Σ_t est une courbe ferm´ee simple de R². On supposeΣde classe C^1+ρ0 pour unρ₀∈]0,1[.

Soit u∈L^∞_loc(]−T, T[;L²_loc(R²))une solution faible de (1.1) v´erifiant

(

rot(u) =ω(t, x, y) =g(t, s)δ_Σt;

|x,y|→∞lim u(t, x, y) = 0 (1.7)

o`u la densit´eg v´erifie

∃c0>0 ∀(t, s) c₀≤g(t, s)≤1/c₀. (1.8) AlorsΣ etg sont analytiques.

La preuve du th´eor`eme 3 s’obtient en ´etudiant l’´equation de Garrett–Birkhoff suivante, qui d´ecrit l’´evolution de la courbe Σ<sub>t</sub>, param´etr´ee par (t, λ), o`uλest la densit´e de tourbillon d´efinie parg(t, s) =^∂λ_∂s(t, s).

∂m¯

∂t (t, λ) = 1 2iπ

Z

− dλ⁰

m(t, λ)−m(t, λ⁰)· (1.9)

Le point cl´e consiste `a v´erifier que les hypoth`eses du th´eor`eme 3 entraˆınent que (1.9) est une ´equation non- lin´eaire elliptique. Il est alors naturel d’attendre ´egalement une condition de compatibilit´e pour les traces en t = 0 des solutions de (1.9) de classeC<sup>1+ρ0</sup> sur un intervalle [0, T<sub>0</sub>]. Le r´esultat suivant va dans ce sens, mais ne d´ecrit qu’au premier ordre la contrainte que doit satisfaire la donn´ee initiale ent= 0 pour qu’il existe une solution classique au probl`eme des nappes de tourbillons dans un petit intervalle [0, T₀].

Th´eor`eme 1.4. Soitρ₀>0etm(t, λ)∈C^1+ρ0([0, T₀]×R/2πZ;C)v´erifiant l’´equation de Garrett–Birkhoff (1.9) sur]0, T₀[×R/2πZet

∃c0>0 ∀t, λ, λ⁰ |m(t, λ)−m(t, λ⁰)| ≥c₀ dist (λ, λ⁰). (1.10) Soit n(λ) =m(0, λ) la trace de m en t= 0,g(s) = (_dλ^ds)⁻¹ >0 la densit´e de tourbillon en t= 0, s d´esignant l’abscisse curviligne sur la courbe n, et ^dn_ds = e^iθ(s). On a

θ(s) + logg(s)∈C^ν (1.11)

pour toutν < ν₀= min[1 +ρ₀,2ρ₀].

Remarque : Dans [5] Duchon et Robert ont prouv´e que pour toute perturbation assez petite de la droitey= 0, il existe une densit´e de tourbillon initiale proche de 1, pour laquelle le probl`eme de Kelvin–Helmholtz poss`ede une solution globalement d´efinie et analytique pourt∈]0,+∞[. Leur r´esultat fournit donc (implicitement) une relation de compatibilit´e compl`ete assurant l’existence danst >0 pour des donn´ees proches d’un ´etat constant.

Il serait bien sˆur tr`es int´eressant de pouvoir d´ecrire les relations pseudodiff´erentielles non-lin´eaire compl`etes reliant la courbe de saut et le tourbillon pour assurer l’existence sur des intervalles{±t∈]0, ε[}.

L’article est organis´e comme suit. Dans la section 2, nous montrons que le noyau de Garrett–Birkhoff qui intervient dans (1.9) peut s’´ecrire comme un op´erateur de type pseudodiff´erentiel lin´eaire agissant surmmodulo un reste plus r´egulier dans les espaces de H¨older. Pour v´erifier ce point, nous utilisons une variante de la m´ethode de paralin´earisation de Bony [3]. La versionC^∞ du th´eor`eme 1.3 et le th´eor`eme 1.4 sont alors obtenus comme cons´equence de la th´eorie elliptique standard dans les sections 3 et 4 . On v´erifie l’analyticit´e de Σ etgdans la section 5. Enfin, l’appendice A est consacr´e `a la d´erivation de l’´equation de Garrett–Birkhoff, et l’appendice B `a des rappels de calcul pseudodiff´erentiel `a coefficients peu r´eguliers. Les notations que nous utiliserons concernant les o.p.d. et les d´ecompositions de Littlewood–Paley sont explicit´ees dans l’appendice B.

2. Le noyau de Garrett–Birkhoff

Nous utiliserons dans cette section les notations et r´esultats de l’appendice B.

SoitI =]a, b[ un intervalle de Ret m(t, x) une fonction de classeC^1+ρ0 surI×R/2πZ, `a valeurs dans C, avecρ₀>0 non entier, et v´erifiant

∃c₀>0 ∀t, x, x⁰ |m(t, x)−m(t, x⁰)| ≥c₀ dist (x, x⁰). (2.1)

SoitK(m)(t, x) la fonction K(m)(t, x) =

Z

− dx⁰

m(t, x)−m(t, x⁰) = lim

ε→0

Z

|x−x⁰|>ε

dx⁰

m(t, x)−m(t, x⁰) (2.2) qui est bien d´efinie d’apr`es (2.1).

Soit (t₀, x₀) ∈ I ×R/2πZ et θ(t, x) ∈ C₀^∞, `a support dans un petit voisinage de (t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>), ´egal `a 1 pr`es de (t₀, x₀). L’objet de ce paragraphe est de prouver la

Proposition 2.1. Pour toutδ∈]¹₂,1[, on a au voisinage de(t₀, x₀) K(m) =

∞

X

j=0

S_jδ

 −πθ (∂_xm)²

‹

∆_j(|Dx|θm) +r_δ (2.3) avec r_δ ∈C^µ pr`es de(t₀, x₀), pour tout

µ <min(2δρ₀,1 +ρ₀) =µ₀. (2.4) D´emonstration. Remarquons d’abord que si Qest l’op´erateur sur R² d´efini par

Q(f) =

∞

X

j=0

S_jδ

 −πθ (∂_xm)²

‹

∆_jf (2.5)

on a Q∈Σ⁰_ρ0,δ, et d’apr`es les lemmes B.2 et B.3,Q(|D_x|θm)∈C^ρ0 ; comme on a suppos´e 2δ >1, le termer apparaˆıt comme un reste dans (2.3).

Soit (α, β) = ∇m(t0, x₀) ; il existe f ∈ C₀^1+ρ0 `a support compact, aveckf;C¹k 1, et un voisinageV de (t₀, x₀), tels qu’on ait, pour (t, x)∈V

m(t, x) =m(t₀, x₀) +α(t−t₀) +β[(x−x₀) +f(t, x)]. (2.6) Soient θ₁, θ₂ ∈C₀^∞ deux fonctions `a support dans V, ´egales `a 1 pr`es de (t₀, x₀), avec θ₂ ≡1 au voisinage du support de θ₁. On a

θ₁(t, x)K(m) =

Z

− θ₁(t, x)θ₂(t, x⁰) m(t, x)−m(t, x⁰)dx⁰+

Z

−θ₁(t, x)(1−θ₂(t, x⁰))

m(t, x)−m(t, x⁰) dx⁰. (2.7) Dans (2.7), le deuxi`eme terme du membre de droite appartient `aC^1+ρ0 de sorte qu’en posant

G(t, x, x⁰) = θ₁(t, x)θ₂(t, x⁰) β[1 +f(t,x)−f(t,x⁰)

x−x⁰ ] ∈C^ρ0. (2.8)

On a

θ₁(t, x)K(m)≡

Z

−G(t, x, x⁰)

x−x⁰ dx⁰ (modulo C^1+ρ0). (2.9)

Dans (2.8), on peut remplacer f(t,x)−f(t,x⁰) x−x⁰ par

u(t, x, x⁰) =θ₃(t, x, x⁰)f(t, x)−f(t, x⁰)

x−x⁰ ∈C^ρ0 (2.10)

avecθ₃∈C₀^∞`a support proche de (t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>), ´egal `a 1 au voisinage du support deθ₁(t, x)θ₂(t, x⁰). Pourλ >0, on d´ecompose alorsusous la forme

u=u¹_λ+u²_λ ; u¹_λ=S_λδ(u), u²_λ=u−u¹_λ. (2.11) On a alors, uniform´ement enλ≥1

|∂_z^αu¹_λ|ρ0 ≤C_α^te2^λδ|α|; |u²_λ|ρ0−σ≤C_σ^te2^−λδσ,0< σ < ρ₀. (2.12) La formule de Taylor `a l’ordre 1 pourF(τ) = _1+τ¹ fournit, avecz= (t, x, x⁰)

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

F(u) =F_λ¹+F_λ²

F_λ¹(z) =F(u¹_λ) +u²_λF⁰(u¹_λ) =F(u¹_λ)−u¹_λF⁰(u¹_λ) +uF⁰(u¹_λ) F_λ²(z) = (u²_λ)²

Z 1 0

F⁰⁰(u¹_λ+tu²_λ)(1−t)dt

(2.13)

et on a

|∂_z^αF^(j)(u¹_λ)|ρ0 ≤C_j,α^te 2^λδ|α| (2.14)

|F_λ²|ρ0−σ≤C_σ^te2^−2λδσpour 0< σ < ρ₀. (2.15) Fixons un entier N₀, et d´ecomposonsθ₁K(m) sous la forme

θ₁K(m)≡A₀+A₁+A₂ (modulo C^1+ρ0) (2.16) avec

A₀(t, x) =

X

p<N0

χ_p(D)[θ₁K(m)] +

X

p≥N0

χ_p(D)

•Z

− θ₁θ₂

β(x−x⁰)(F(u¹_p)−u¹_pF⁰(u¹_p))dx⁰

˜

(2.17)

A₁(t, x) =

X

p≥N0

χ_p(D)

•Z

− θ₁θ₂

β(x−x⁰)F⁰(u¹_p)f(t, x)−f(t, x⁰) x−x⁰ dx⁰

˜

(2.18)

A₂(t, x) =

X

p≥N0

χ_p(D)

•Z

− θ₁θ₂

β(x−x⁰)F_p²dx⁰

˜

. (2.19)

Soitv_p =F(u¹_p)−u¹_pF⁰(u¹_p). On a pour toutN,|vp|ρ0+N ≤C_N^te2^pδN. L’op´erateur g(t, x, x⁰)7→(Bg)(t, x) =

Z

− θ₁θ₂

(x−x⁰)g(t, x, x⁰)dx⁰ est borne de C^ρ0+N dans C^ρ00+N pour ρ⁰₀ < ρ₀. Les fonctions w_p =

−R_β(x−x^θ1θ20)v_pdx⁰ v´erifient donc |wp|_ρ⁰_0+N

≤C_N^te2^pδN, d’o`u|χ_p(D)w_p|∞≤C_N^te2^−p(ρ00+N)2^pδN. Comme on aδ <1, on en d´eduitA₀∈C^∞.

On a |F_p²|ρ0−σ ≤ C_σ^te2^−2pδσ, donc pour 0 < σ < ρ⁰₀ < ρ₀ les fonctions r_p =

−R_β(x−x^θ1θ20)F_p²dx⁰ v´erifient

|rp|ρ⁰₀−σ ≤ C_ρ^te0

0,σ2^−2pδσ. Il en r´esulte |χp(D)r_p|∞ ≤ C_ρ^te0

02^−2pδρ00 pour ρ⁰₀ < ρ₀. On a donc A₂ ∈ C^µ pour µ <2δρ₀.

On a

A₁(t, x) =

X

p≥N0

χ_p(D)

Z

− 1

x−x⁰g_p(t, x, x⁰)f(t, x)−f(t, x⁰) x−x⁰ dx⁰

o`u g<sub>p</sub>(t, x, x<sup>0</sup>) = <sup>θ1</sup><sub>β</sub><sup>θ2</sup>F<sup>0</sup>(u<sup>1</sup><sub>p</sub>)(t, x, x<sup>0</sup>) est `a support compact et v´erifie|∂_z^αg_p|ρ0 ≤C_α^te2^δp|α|. Soitχ(z)∈ S(R³) ; tel que ˆχ(ζ) soit `a support dans la boule{|ζ| ≤c<sub>0</sub>1}et ´egal `a 1 pr`es de 0. On d´ecomposeg_psous la forme

g_p=a_p+b_p ; a_p(z) = 2^3p

Z

χ(2^p(z−z⁰))g_p(z⁰)dz⁰. (2.20) On a alors

support (a^Ò_p(ζ))⊂ {|ζ| ≤c₀2^p} (2.21)

|∂_z^αa_p|ρ0 ≤C_α2^δp|α| (2.22)

|z|≥Rsup0

|z^α∂^β_za_p|L^∞∈ Oα,β(2^−p∞) (R₀ assez grand) (2.23)

sup

z |z^α∂_z^βb_p|L^∞∈ Oα,β(2^−p∞). (2.24) Les fonctionsu_p(z) =f(t,x)−f(t,x⁰)

x−x⁰ b_p(t, x, x⁰) v´erifient|(1 +|z|²)u_p|ρ0 ∈ O(2^−p∞), d’o`u il r´esulte

X

p≥N0

χ_p(D)

Z

− 1

x−x⁰u_p(t, x, x⁰)dx⁰ ∈C^∞. (2.25) Pour ´etudier

P

p≥N0

χ_p(D)

−R_x−x¹ 0a_p(t, x, x⁰)f(t,x)−f(t,x⁰)

x−x⁰ dx⁰, on introduit la d´ecomposition de Littlewood–Paley def,f =

P

q≥−1f_q, avec support ( ˆf_q)⊂C_q, et on pose v_p,q =

Z

− 1

x−x⁰a_p(t, x, x⁰)f_q(t, x)−f_q(t, x⁰)

x−x⁰ dx⁰. (2.26)

On a (avecζ= (τ, ξ)∈R²)

support (v^d_p,q(ζ))⊂ {ζ=ζ⁰+ζ⁰⁰, ζ⁰ ∈C_q,|ζ⁰⁰| ≤√

2c₀2^p} · (2.27)

Comme on a √

2c₀1, il en r´esulte

χ_p(D)(v_p,q)≡0 pourq≤p−2. (2.28)

On ´ecrit alorsa_p=a¹_p+a²_p avec

a¹_p=a_p(t, x, x), a²_p(t, x, x+s) =s

Z 1 0

∂_x⁰a_p(t, x, x+su)du. (2.29) On a

|a²_p(t, x, x+s)|µ+|1

sa²_p(t, x, x+s)|µ≤C_µ^k2^{pδ[µ+1−ρ0]+} .

En posant w_p,q = ¹_sa²_p(t, x, x+s)[f_q(t, x) −f_q(t, x+s)] on a donc pour µ > 0 petit en utilisant |f_q|µ

≤C_µ^k2^qµ2^−q(1+ρ0)

|sw_p,q|µ+|w_p,q|µ≤C_µ^te

”

2^qµ2^−q(1+ρ0)2^{pδ[1−ρ0]+}+ 2^−q(1+ρ0)2^{pδ[µ+1−ρ0]+}

—

. (2.30)

D’o`u avecv²_p,q=

−R¹_sw_p,q(t, x, s)ds, pour 0< ε < µ, en utilisant (2.23) pour les grandes valeurs des

|v_p,q² |_µ−ε≤C_ε,µ^te

”

2^qµ2^−q(1+ρ0)2^{pδ[1−ρ0]+}+ 2^−q(1+ρ0)2^{pδ[µ+1−ρ0]+}

—

. (2.31)

D’o`u pourε >0

X

q≥p−2

χ_p(D)v_p,q²

∞≤C_ε2^{−p(1+ρ0)+pδ[1−ρ0]++pε}. (2.32)

Il en r´esulte X

p

X

q≥p−2

χ_p(D)v_p,q² ∈C^µ pourµ < µ₀. On a donc d’apr`es ce qui pr´ec`ede pourµ < µ₀

θ₁K(m)≡ ^X

p≥−1

χ_p(D)[a_p(t, x, x)π|Dx|f] (moduloC^µ) (2.33) puisque

Z

−f_q(t, x)−f_q(t, x⁰)

(x−x⁰)² dx⁰=π|Dx|fq(t, x). (2.34) Pour |p−q| ≤ 2, on a|a_p−a_q|L^∞ ∈ O(2^−pδρ0). L’op´erateur Σ_pχ_p(D)a_p−a_pχ_p(D) =

P

|p−q|≤2

χ_p(a_p−a_q)χ_q envoie doncC^ρ0 dans C^ρ0+δρ0. Siθ∈C₀^∞ vaut 1 pr`es de (t₀, x₀), on a donc dans un voisinageW de (t₀, x₀), avecr_δ ∈C^µ, µ < µ₀.

K(m) =

X

p

πa_p(t, x, x)χ_p(D)[|D_x|θf] +r_δ (2.35)

(on utilise ici les estim´ees des Lems. B.2 et B.3 sur les commutateurs [Σa_pχ_p, θ] et [|Dx|, θ] ainsi queρ₀+ 1− δ[1−ρ₀]₊≥µ₀).

D’apr`es (2.6), siθ est `a support assez petit on a θf ≡ _β¹θm (modulo C^∞) et il reste `a v´erifier que pourW petit voisinage de (t₀, x₀) on a

a_p(t, x, x) β +S_pδ

 θ (∂_xm)²

‹

L^∞(W)

∈ O(2^−pδρ0). (2.36)

D’apr`es (2.11) on a|u<sup>1</sup><sub>p</sub>(z)−u(z)|<sub>∞</sub>∈ O(2<sup>−pδρ0</sup>), et d’apr`es (2.20)|ap(z)−gp(z)|_∞∈ O(2^−pδρ0), donc|^ap(t,x,x)_β +

1

β² 1

(1+(∂xf))²|L^∞(W) ∈ O(2^−pδρ0). On a aussi |Spδ(_(∂^θ

xm)²)− _(∂ ¹

xm)²|L^∞(w) ∈ O(2^−pδρ0) et (2.36) r´esulte de

∂_xm=β(1 +∂_xf).

3. R´ egularit´ e C

Soitρ₀>0 etm(t, x)∈C_loc^1+ρ0(]a, b[×R/2πZ,C) v´erifiant 2.1 et l’´equation de Garrett–Birkhoff.

∂

∂tm(t, x) =¯ 1 2iπ

Z

− dx⁰

m(t, x)−m(t, x⁰)· (3.1)

L’objet de ce paragraphe est de v´erifier le

Th´eor`eme 3.1. m(t, x)est C^∞ sur]a, b[×R/2πZ.

La preuve va ˆetre cons´equence de la proposition 2.1 qui entraˆıne que l’´equation (3.1) est une ´equation non lin´eaire elliptique.

On conserve les notations de la section 2. D’apr`es (2.3) on a pour toutµ < µ₀

∂

∂tm¯ − 1

2iπQ(|D_x|θm)∈C_(t^µ

0,x0). (3.2)

On r´e´ecrit (3.2) sous la forme d’un syst`eme 2×2 pourm₁=Re(m), m₂=Im(m), la d´ecompositionQ=Q₁+iQ₂

´etant associ´ee par (2.5) `a la d´ecomposition en parties r´eelles et imaginaires de −πθ(∂xm)⁻². On obtient



A B

C D

‹

m₁ m₂

‹

∈C_(t^µ

0,x0) (3.3)

avecA=∂_t−_2π¹ Q₂(|Dx|θ),B=C=⁻¹_2πQ₁(|Dx|θ),D=∂_t+_2π¹Q₂(|Dx|θ). Les op´erateurs A,B,C,D envoientC_∗^r dansC_∗^r−1d’apr`es les r´esultats de l’appendice B. Soitψ∈C<sub>0</sub><sup>∞</sup>, ´egal `a 1 pr`es de (t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>), `a support petit. D’apr`es les lemmes B.2 et B.3, les commutateurs [ψ , A],· · ·,[ψ , D] envoientC<sup>1+ρ0</sup> dans C<sup>1+ρ0−ν</sup> pourν > δ[1−ρ<sub>0</sub>]<sub>+</sub>. On a 1 +ρ<sub>0</sub>−δ[1−ρ<sub>0</sub>]<sub>+</sub>≥µ<sub>0</sub>, d’o`u avecn_j=ψm_j ∈C₀^1+ρ0(R²)



A B

C D

‹

n₁ n₂

‹

∈C^µ(R²). (3.4)

En multipliant (3.4) par



D −B

−C A

‹

, et en r´eutilisant les lemmes de commutateurs, on obtient (on peut supposer θψ≡ψ)

P n_j∈C^µ−1(R²) ; P =∂_t²− 1

4π²(Q²₁+Q²₂)|Dx|². (3.5) L’int´erˆet de (3.5) est qu’on a maintenantP ∈Σ²_ρ0,δ car|Dx|²est un op´erateur diff´erentiel. Or les symboles des op´erateurs de Σ²_ρ0,δ appartiennent `a la classe de H¨ormander S_1,δ² , etP est elliptique en (t₀, x₀) dansS_1,δ² car son symbole est

σ(P) =−τ²−^X∞

j=0

p_j(t, x)χ(2^−j(τ, ξ))ξ² (3.6)

avec|∂^αp_j|∞≤2^δj|α|et lim

j→∞p_j(t, x) = ¹₄θ²|∂_xm|⁻⁴.

Donc (3.5) entraˆıne n_j ∈ C_(t^µ+1

0,x0), c’est-`a-dire m ∈ C_(t^1+ρ0+α

0,x0) avec 0 < α < µ₀−ρ₀. Comme (t₀, x₀) est arbitraire, il vientm∈C_loc^1+ρ0+α(]a, b[×R/2πZ) donc par it´erationm∈C^∞.

4. R´ egularit´ e des traces

Soitρ₀>0 etm(t, x)∈C^1+ρ0([0, T₀]×R/2πZ;C) v´erifiant (2.1) et l’´equation de Garrett–Birkhoff (3.1) sur ]0, T₀[×R/2πZ. On pose

n(x) =m(0, x)∈C^1+ρ0. (4.1)

On s’int´eresse dans ce paragraphe `a d´ecrire au premier ordre l’´equation de compatibilit´e que doit v´erifier la tracen(x) ; cette ´equation de compatibilit´e sera obtenue en ´ecrivant les projecteurs de Calderon associ´es `a la paralin´earisation de l’´equation de Garrett–Birkhoff.

Dans toute la suite, on notera ˜m(t, x) une extensionC^1+ρ0(Rt×R/2πZ;C) demsatisfaisant 2.1.

Nous utiliserons ici un calcul pseudo diff´erentiel tangentiel : pourδ∈]0,1[,Σ^em_ρ0,δ d´esignera la classe des o.p.d.

tangentiels de symbolep(t, x, ξ) v´erifiant

∀α, β,∃Cα,β∀ξ∈Rk∂_t,x^α ∂_ξ^βp(., ξ);C^ρ0(R²_t,x)k ≤C_α,β(1 +|ξ|)^{m−|β|+δ|α|} (4.2) avec la quantification

p(t, x, D_x)f(t, x) = 1 2π

Z

e^ixξp(t, x, ξ) ˆf(t, ξ)dξ (4.3) o`u ˆf(t, ξ) d´esigne la transform´ee de Fourier partielle.

Nous noterons ˜φ(ξ)∈ C₀^∞(R) une fonction paire v´erifiant ˜φ(ξ)≡ 1 pour|ξ| ≤1/c,φ(ξ) = 0 pour˜ |ξ| ≥c, c∈]1,√

2[, χ(ξ) = ˜ˆ φ(ξ/2)−φ(ξ), ˜˜ S_λ(f)(t, x) =F_x⁻¹( ˜φ(2^−λξ) ˆf(t, ξ)), o`uF_x et ˆf(t, ξ) sont les transform´ees de Fourier partielles en x, ˜∆_j(f)(t, x) =F_x⁻¹( ˜χ(2^−jξ) ˆf(t, ξ)), ∆˜₋₁(f) = ˜S₀(f). La d´ecomposition de Littlewood–

Paley partielle s’´ecrit

f(t, x) =

X

j≥−1

( ˜∆_jf)(t, x). (4.4)

Pourµ >0 non entier etf ∈C_t,x^µ , on a

|∆˜_jf|_L^∞_(t,x)≤C2^−jµkfkµ. (4.5) Pourµ∈R, nous noteronsW^µ l’espace desf(t, x)∈C⁰(Rt,D⁰_x) v´erifiant

∃A ∀j |∆˜_jf(t, x)|L^∞(t,x)≤A2^−jµ. (4.6) On a donc l’injection C_t,x^µ ,→ W^µ pour µ > 0 non entier. Les op´erateurs P ∈ Σ^em_ρ0,δ sont born´es de W^µ dansW^µ−m et les commutateurs [P, Q], P ∈ Σ^em_ρ0⁰_,δ, Q ∈Σ^em_ρ0⁰⁰_,δ sont born´es de W^µ dans W^µ−m+1+ν pour tout ν > δ[1−ρ₀]₊.

Le r´esultat de compatibilit´e sur la tracen(x) =m(0, x) des solutions de l’´equation de Garrett–Birkhoff de classeC^1+ρ0 d´efinies sur [0, T₀] est le suivant :

Th´eor`eme 4.1. Pourν < ν₀= min[1 +ρ₀,2ρ₀] on a

Im[log(∂_xn)e^−iπ/4]∈C^ν. (4.7)

On notera que (4.7) est ind´ependant du choix de la d´etermination du logarithme ; sisest l’absisse curviligne sur la courbe initiale, g(s)>0 la densit´e de tourbillon, et ^dn_ds = e^iθ(s), l’´equation (4.7) ´equivaut `a la condition du th´eor`eme 1.4

θ(s) + logg(s)∈C^ν.

Pour v´erifier le th´eor`eme 4.1, on commence par d´eduire de la proposition 2.1 dont nous conservons les notations une repr´esentation tangentielle du noyauK.

Lemme 4.1. Pour tout δ∈]1/2,1[, on a au voisinage de (t₀, x₀)

K( ˜m) =

∞

X

j=0

S_jδ

 −πθ (∂_xm)˜ ²

‹

∆˜_j(|Dx|θm) +r_δ (4.8)

avec r_δ ∈W^µ pour tout µ < µ₀.

D´emonstration. Dans (4.8), les op´erateurs de lissage S_jδ op`erent sur les variables (t, x) ; la seule diff´erence entre (2.3) et (4.8) est le remplacement de ∆_j par ˜∆_j. Il s’agit donc de v´erifier pourf ∈C_(t,x)^ρ0

X

j

a_j(t, x)(∆_j−∆˜_j)(f)∈W^µ pourµ < µ₀ (4.9)

lorsque les{a_j} v´erifient

spectre (a_j)⊂ {|τ, ξ| 2^j}; |∂^αa_j|∞≤C_α2^jδ|α|

|aj+`−a<sub>j</sub>|∞≤C2<sup>−δρ0j</sup>(C ind´ependant dej, et `≥0). (4.10) On a en utilisant les conditions de localisation spectrale

X

j

a_j∆_j(f) =

X

k,j

∆˜_k(a_j∆_j(f)) =

X

j≥k−2

∆˜_k(a_j∆_j(f)) =

X

j≥k−2

∆˜_k(a_k∆_j(f)) +

X

j≥k−2

∆˜_k((a_k−a_j)∆_j(f)) (4.11) et de mˆeme

X

j

a_j∆˜_j(f) =

X

k,j

∆˜_k(a_j∆˜_j(f)) =

X

j≥k−2

∆˜_k(a_k∆˜_j(f)) +

X

j≥k−2

∆˜_k((a_k−a_j) ˜∆_j(f)). (4.12)

Pourj≥k−2 etf ∈C_t,x^ρ0, on a

|(ak−a_j)∆_j(f)|∞+|(ak−a_j) ˜∆_j(f)|∞∈ O(2^−kδρ02^−jρ0).

Les deux op´erateurs

P

j≥k−2

∆˜_k(a_k−a_j){∆_j,∆˜_j}envoient doncC^ρ0 dansW^ρ0+δρ0. Le lemme r´esulte alors de

X

j≥k−2

∆˜_k(a_k∆_j(f)) =

X

k

∆˜_k(a_kf) =

X

j≥k−2

∆˜_k(a_k∆˜_j(f)). (4.13)

On ´ecrit maintenant l’´equation de Garrett–Birkhoff sous forme d’un syst`eme tangentiel. Avec u₁ = Re(m), u₂=Im(m), on a

u=



u₁ u₂

‹

∈C^1+ρ0([0, T₀]×R/2πZ;R²)

8

<

:

∂_tu+M|Dx|u=f ∈W^µ([0, T₀]) (pour toutµ < µ₀) M = ¹₂Σ_jS_jδ



Im(p) Re(p) Re(p) −Im(p)

‹

˜

χ(2^−jξ)p= (∂_xm)˜ ⁻². (4.14)

Dans (4.14), l’op´erateur M appartient `a la classe Σ<sup>e0</sup><sub>ρ0,δ</sub>(Rt×R/2πZ). (On remarquera que si g(t, x) ∈ C<sup>µ</sup> est 2πp´eriodique enx, les lissagesS<sub>jδ</sub>(g) sont 2π-p´eriodiques, et les op´erateurs ˜χ(2<sup>−j</sup>ξ) et|Dx| conservent le caract`ere 2πp´eriodique.)

Soient e_±(t, x)∈(C^ρ0)² les vecteurs propres normalis´es de la matrice



Im(p) Re(p) Re(p) −Im(p)

‹

associ´es aux valeurs propres±|p|(t, x) et Q=

X

j

S_jδ([e₊],[e₋]) ˜χ(2^−jξ)∈Σ˜⁰_ρ0,δ (4.15)

L=

X

j

S_jδ(|p|) ˜χ(2^−jξ)∈Σ˜⁰_ρ0,δ. (4.16)

L’op´erateurQest elliptique ; soitQ⁻¹∈Σ˜⁰_ρ une param´etrix deQ(i.e. Q◦Q⁻¹−Id∈ ∩mΣ˜^m_ρ0,δ, Q⁻¹◦Q−Id

∈ ∩mΣ˜^m_ρ0,δ).

Alorsv=Q⁻¹u∈W^1+ρ0([0, T₀]) v´erifie,

∂_tv+



L 0

0 −L

‹

|D_x|v=g (4.17)

g= [∂_t, Q⁻¹]u+Q⁻¹M|Dx|(QQ⁻¹−Id)u+Q⁻¹f+Q⁻¹M[Q,|Dx|]v+

•

L 0

0 −L

‹

−Q⁻¹M Q

˜

|Dx|v.

(4.18) On a [Q,|Dx|]v et [∂_t, Q⁻¹]udans W^µ pour µ < µ₀. Pour a∈ C^ρ0, on a |Sjδ(a)(t, x)−S˜_j−N0(a(t, .))(x)|∞

∈ O(2^−jδρ0). En notantT^e_a le paraproduit tangentiel `atfix´e, l’op´erateurT^e_a−ΣS_jδ(a) ˜χ(2^−jξ) envoie doncW^µ dansW^µ+δρ0.