D192. Des lieux peu communs 3

D192. Des lieux peu communs 3^ème épisode [*****]

Problème proposé par Dominique Roux

On donne 2 points A et C. Pour tout point B soit D sa projection orthogonale sur AC.

On désigne par I1 , I2 , I3 , I4 les centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés de ABC ; par E1 , E2 , E3 , E4 les centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés de ABD ; par F1 , F2 , F3 , F4 les centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés de BCD.

Pour chacun des 64 triplets ( Ix, Ey, Fz ) on cherche le lieu des points B tels que le cercle (Ix, Ey, Fz ) soit centré sur AC.

1) Montrer que ces 64 lieux sont des réunions, à isométries près, de portions de courbes algébriques.

2) Quel est le nombre de ces courbes ? 3) Quels sont leurs degrés ?

D193. Des lieux peu communs. 4ème épisode. [****]

Problème proposé par Dominique Roux

Montrer que parmi les 64 cercles ( Ix, Ey, Fz ) de l'énoncé D192 (3ème épisode ) il en existe 8 qui passent toujours par B.

Pour chacun de ces 8 cercles on cherche le lieu des points B tels que le centre du cercle soit sur AC.

Montrer que l'on obtient 8 lieux qui, à une isométrie près, sont composés de morceaux d'une seule et même courbe algébrique que l'on précisera.

Quelles sont les asymptotes réelles de cette courbe ?

Solution des deux problèmes proposée par l'auteur

Adoptons pour désigner les 12 centres des cercles tangents aux trois triangles ABC,ABD et BCD les notations classiques données par la figure ci-après réalisée lorsque D est entre A et C.

Plaçons nous dans le repère orthonomé d'origine O, milieu de [AC], tel que les coordonnées de A et C soient A( ‒ 1,0) et C(1,0). Posons B(X,Y).

Appelons p et q les pentes de AI et CI.

Alors B est l'intersection des droites AB: (1 ‒ p²)Y = 2p(X + 1) (I) et

BC: (1 ‒ q²)Y = 2q(X ‒ 1) (II)

Pour qu'un cercle tel que (I,E,F) soit centré sur AC, il faut et il suffit que :

0 1 X Y X

1 X Y X

1 X Y X

I 2 I 2 I

F 2 F 2 F

E 2 E 2 E









Or E et F vérifient Y² = (X ‒XD)², ce qui après développement et factorisation donne deux possibilités:

F

E X

X  (III)

0 X X 2X ) X X .(X 2X Y

X²_I  _I²  _{I E}  _F _D  _{E F}  ²_D  (IV)

avec des relations analogues pour tous les triplets du type (I_x,E_y,F_z)

Les équations (III) et (IV) donnent pour chaque triplet une relation entre p et q qui jointe aux équations (I) et (II) permettront, par double élévation au carré, d'obtenir une équation en (X,Y) qui sera l'équation d'une courbe contenant le lieu de B. Les calculs peuvent être très longs, la fonction Groebner Basis du logiciel Mathematica permet d'aller beaucoup plus vite.

Comme le problème est au départ invariant par les symétries qui conservent le segment [AC] nous trouverons naturellement des courbes isométriques, d'où la réduction du problème en considérant le groupe K formé de Id, de S₁ = symétrie par rapport à la médiatrice de [AC], de S₂ = symétrie par rapport à la droite AC et de S₀ = S₁⁰S₂ = S₂⁰S₁ qui est la symétrie par rapport au point O.

S₁ se traduit sur les paramètres p et q par (p,q) →( ‒ q, ‒ p), S₂ se traduit par (p,q) →(‒ p, ‒ q), et S₀ par (p,q) →(q,p).

Ici il faut remarquer que l'action d'un élément du groupe K sur I se répercute par l'action du même élément, c'est à dire de la même symétrie sur B.

Mais il existe un autre groupe, également groupe de KLEIN qui va permettre de réduire l'étude des 64 lieux. C'est le groupe K' engendré par t : (p,q) → (‒1/p,q) et t': (p,q) →(p, ‒1/q) avec t't = tt' qui se traduisent par l'échange des deux bissectrices de l'angle en A ou des deux bissectrices de l'angle en C.

Cette fois-ci, B est invariant mais l'équation en p et q de la courbe est modifiée.

On pourra donc utiliser tous les éléments du groupe K'.K qui sont Id, S₁, S₂, S₀, t, tS₁, tS₂, tS₀, t', t'S₁, t'S₂, t'S₀, t't, t'tS₁, t'tS₂, t'tS₀.

En effet , S₂ commute avec tous les élements et tS₁ = S₁t' et t'S₁ = S₁t.

On vérifie alors aisément que l'on ne peut pas former d'autres composés que ces 16 . On vérifie également que le groupe K'.K opère sur l'ensemble des 64 triplets (I_x,E_y,F_z) et que le stabilisateur d'un triplet est d'ordre 1 ou2.

Par suite les orbites sont d'ordre 16 ou 8. Nous allons voir qu'il y a 2 orbites à 16 éléments et 4 orbites à 8 éléments.

La célèbre "formule des classes" de BURNSIDE s'écrit donc ici : 64 = 2x16 + 4x8.

Il est temps de regarder quelles sont les courbes obtenues.

Tout d'abord il y a celle provenant de l'équation (III).

Dans 32 cas l'équation

z

y F

E X

X  est impossible, ce sont les cas où les points E_yet F sont sur une même bissectrice de l'angle droit D. _z

Dans les 32 autres l'équation en p et q se ramène toujours, grâce à l'action du groupe K'.K à l'équation p = q + 2 qui donne la cubique d'équation : X²(Y + 2) = 2(Y+ 1)².Nous la noterons C₃. Y = ‒ 2 est asymptote.

Ensuite il y a les courbes provenant de l'équation (IV).

Le cas le plus simple est celui de la réciproque du problème D179, lorsque D est entre A et C.Les calculs donnent p

q q X_I p



  ,

p q Y_I 2pq

  ,

pq) p)(1 (q

pq) q)(1 X_D (p







  (qui au passage est une expression invariante par les éléments de K'),

1 p

p X_E X^D



  ,

q 1

q X_F X^D



  . On remarque que X_EX_F X_DX_Idonc (IV) s'écrit Y_I²X²_I 2X_E.X_FX²_D0 qui donne finalement

0 = p²q² + 2pq ‒ p² ‒ q² ‒2q + 2p ‒ 1, qui se factorise:

0 = (pq + p ‒ q + 1)(pq + p ‒ q ‒ 1)

L'un des facteurs donne le résultat trivial ABAC ou BCAC.

L'autre pq + p ‒ q + 1 = 0 entraine ABBC car 1 q 1 . 2q p 1

2p

2

2 



 s'écrit:

4pq + (1‒p²)(1‒q²) = 0 soit (pq + p ‒ q + 1).(pq ‒ p + q + 1) = 0.

Donc B est sur le cercle de diamètre [AC] noté C₂.

Remarque importante

Les conditions (III) ou (IV) sont des conditions nécessaires mais pas suffisantes. Cela veut dire que les courbes obtenues ne sont décrites par B que par morceaux (éventuellement vides). Ainsi C₂ n'est parcouru qu'à moitié.

Puis dans le cas (I,E, Fc) l'équation en p et q est : pq + 3 = p + q qui conduit à l'équation cartésienne:

3 ‒ 6X² + 3X⁴ ‒ 8XY + 8X³Y ‒ 10Y² + 10X²Y² + 8XY³ + 3Y⁴ = 0 qui est une quartique admettant O comme centre de symétrie. Nous la noterons C₄.

La pente t des asymptotes s'obtient par l'équation bicarrée 3 + 8t + 10t² + 8t³ + 3t⁴ = 0 qui n'a comme racine réelle que la racine double t = ‒ 1.

L'asymptote double passe par O et est inclinée dà 45° sur AC.

Voici les autres courbes rencontrées dans les 64 lieux:

- La septique C_7A qui vérifie 1 + p² ‒ 3q ‒ 2pq + p²q + 2q² = 0 d'équation:

0 = ‒ 4 ‒ 4X + 12X² + 12X³ ‒ 12X⁴ ‒12X⁵ + 4X⁶ + 4X⁷ ‒11Y + 2XY + 19X²Y‒ 4X³Y ‒ 5X⁴Y + 2X⁵Y ‒ 3X⁶Y ‒ 4Y² + 4XY² + 8X²Y² ‒ 8X³Y²

‒ 4X⁴Y² + 4X⁵Y² ‒ 6Y³ + 36XY³ ‒ 16X²Y³ ‒ 4X³Y³ ‒ 10X⁴Y³ + 4Y⁴ ‒ 4XY⁴ ‒ 4X²Y⁴ ‒ 11Y⁵ + 2XY⁵ ‒ 3X²Y⁵ + 4Y⁶ + 4XY⁶.

- La septique C_7B qui vérifie 2 + p + p² + 2pq + pq² + p²q² = 0 d'équation:

0 = 4 ‒ 4X ‒ 12X² + 12X³ + 12X⁴ ‒12X⁵ ‒ 4X⁶ + 4X⁷ + 7Y ‒ 10XY ‒ 15X²Y‒ 20X³Y + 9X⁴Y + 10X⁵Y ‒ X⁶Y + 4Y² ‒ 4XY² + 8X²Y² ‒ 8X³Y²

‒ 12X⁴Y² + 12X⁵Y² + 18Y³ + 12XY³ + 16X²Y³ + 20X³Y³ ‒ 2X⁴Y³ ‒ 4Y⁴ + 4XY⁴ ‒ 12X²Y⁴ + 7Y⁵ + 10XY⁵ ‒ X²Y⁵ ‒ 4Y⁶ + 4XY⁶.

Enfin deux courbes de degré 10:

- C_10A qui vérifie 2 ‒ 2p + 2p² ‒ 2q + 7pq ‒ 4p²q + p³q + 2q² ‒ 4pq² + 4p²q² + pq³ + p³q³ = 0 d'équation :

‒ 72 + 296X² ‒ 464X⁴ + 336X⁶ ‒ 104X⁸ + 8X¹⁰ ‒ 24XY + 96X³Y ‒ 144X⁵Y + 96X⁷Y ‒ 24X⁹Y ‒ 213Y² + 132X²Y² + 434X⁴Y² ‒ 412X⁶Y² + 59X⁸Y²

‒ 128XY³ + 160X³Y³ + 64X⁵Y³ ‒ 96X⁷Y³ ‒ 242Y⁴ ‒ 234X²Y⁴ ‒ 406X⁴Y⁴ + 114X⁶Y⁴ ‒ 208XY⁵ ‒ 192X²Y⁵ ‒ 112X⁵Y⁵ ‒ 101Y⁶ ‒ 166X²Y⁶ + 75X⁴Y⁶

‒ 88XY⁷ ‒ 40X³Y⁷ ‒ 16Y⁸ +16X²Y⁸ = 0

- C_10B qui vérifie 2 ‒ 2p + 2p² + 2q + 3pq + p³q + 2q² + 4p²q² + pq³ + p³q³ = 0 d'équation :

‒ 72 + 296X² ‒ 464X⁴ + 336X⁶ ‒ 104X⁸ + 8X¹⁰ + 24Y ‒ 96X²Y + 144X²Y ‒ 96X⁶Y + 24X⁸Y ‒ 233Y² + 212X²Y² + 314X⁴Y² ‒ 332X⁶Y² + 39X⁸Y² +136Y³ ‒ 184X²Y⁴ ‒ 40X⁴Y³ + 88X⁶Y³ ‒ 262Y⁴ ‒ 238X²Y⁴ + 70X⁶Y⁴ + 200Y⁵ + 208X²Y⁵ + 104X⁴Y⁵ ‒ 121Y⁶ ‒ 126X²Y⁶ + 54X⁴Y⁶+ 88Y⁷ + 40X²Y⁷ ‒ 16Y⁸ +16X²Y⁸ = 0

On pourrait donc penser qu'il faut 7 courbes pour couvrir, à isométries près, les 64 lieux. En réalité 6 courbes sont nécessaires et suffisantes.

Introduisons les courbes C'₅ = C₂ + C₃, C₇ = C_7A,C'₁₀ = C_7B+ C₃, C₁₀ = C_10A ,C'₁₃ = C_10B + C₃. En effet les courbes C₄, C₇, C₁₀ ne sont jamais associées à C₃. alors que C₂, C7B et C_10B sont toujours associées à C₃. Il y a donc 6 courbes fondamentales C₄, C'₅ , C₇, C'₁₀, C₁₀, C'₁₃ (en indice, on a leurs degrés)

Pour trouver cela point n'est besoin de calculer les 64 lieux. Six lieux suffisent, par exemple (I,E,F), (I,E,F_c), (I,E,F_b),(I,E,F_d), (I,E_b ,F_b) et (I,E_b,F_d) puis de se servir des éléments de K et K'.

Pour présenter les résultats, utilisons pour chaque centre I, Ia , Ib , Ic la grille ci-après que l'on va remplir par les courbes correspondant aux lieux respectifs.

Pour cela introduisons les notations:

U = C

^'₅

C

₄

V = C

₇

C

₁₀^'

W = C

₁₃^'

C

₁₀

C

4

C

₅^'

C

₁₀^'

C

₇

C

₁₀

C

₁₃^'

et notons U, V,Wles tableaux symétriques par rapport à une médiane de ces carrés (horizontale ou verticale).

Le résultat final se présente en plaçant dans les 4 quarts du tableau T les éléments de U,V,W, U, V,W de la façon suivante:

I

U V W V

V W V U

V U

V W I

a

U V

V W

I

b

I

c

Ce qui de façon plus détaillée donne ci-après le TABLEAU DES 64 LIEUX:

I

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

' 10 7

10 '

13

d d b

d c

d d

7 '

10 '

13 10

d b b

b c

b b

4 '

5 '

10 7

d a b

a c

a a

' 5 4

7 '

10

d b

c

' 1 3 1 0

7 '

1 0

d d b

d c

d d

1 0 '

1 3 '

1 0 7

d b b

b c

b b

7 '

1 0 '

5 4

d a b

a c

a a

' 1 0 7

4 '

5

d b

c

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

I

a

I

b

I

c

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

C C C

C

F E F E F E F E

' 5 4

7 '

10

d d b d c

d d

4 '

5 '

10 7

d b b

b c

b b

7 '

10 '

13 10

d a b a c

a a

' 10 7

10 '

13

d b

c

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

C C

C

C

F E F E F E F E

' 10 7

4 '

5

d d b

d c

d d

7 '

10 '

5 4

d b b

b c

b b

10 '

13 '

10 7

d a b

a c

a a

' 13 10

7 '

10

d b

c

Toutes les symétries diagonales proviennent de l'action des groupes K et K'.

Nous savons que sous l'action du groupe K'.K, les 64 triplets (I_x,E_y,F_z ) se répartissent dans 2 orbites de longueur 16 et 4 orbites de longueur 8. les courbes correspondantes sont pour l'une des orbites de longueur 16 la courbe C₇ et pour l'autre la courbe C'₁₀ (toujours à isométries près). Autrement dit, ce sont les deux septiques avec ou sans la cubique C₃. De même chaque orbite de longueur 8 est associée à une seule des 4 courbes C₄, C'₅ ,C₁₀, C'₁₃.

Présentation des différentes courbes Courbe C₄

Courbes C₃ + C_7B= C'₁₀

Courbe C_7A

Courbe C_10A

Courbe C_10B

Remarques concernant les courbes

1) Les courbes C₂, C₃, C₄ , C_7A,C_7B passent toutes par A et C. Par contre les courbes C_10A et C_10B ne passent pas par A et C mais passent en ( ‒ 3,0) et (3,0)

2) L'orbite associée à la courbe C₄ se compose des 8 triplets suivants: (I,E,Fc), (I,E_a,F), (I_a,E,F_b), (I_a,E_a,F_d), (I_b,E_b,F_d), (I_b,E_d,F_b), (I_c,E_b,F), (I_c,E_d,F_c).

On vérifie élémentairement par les angles que les 8 cercles définis par ces triplets passent tous par B et que ce sont les seuls à vérifier cette propriété parmi les 64.

Il y donc équivalence entre:

- le cercle (I_x,E_y,F_z) passe par B et

- le lieu (I_x,E_y,F_z ) est inclus dans une quartique (qui est alors C₄) 3) Les courbes C₂,C₃,C_10B ont un axe de symétrie: la médiatrice de [AC]

Les courbes C₂, C₄,C_10A ont un centre de symétrie qui est O.

Les deux septiques C_7A et C_7B sont les seules sans élément de symétrie.

4) La septique C_7A est particulièrement remarquable.

Lorsqu'on pose X = 1 + T, sa grande équation donne une relation entre Y et T dans laquelle il n'y a plus de terme constant, plus de partie homogène de degré 1, plus de partie homogène de degré 2, la partie homogène de degré 3 est 64T³ ‒ 48T²Y. Donc en C il y a une tangente double X = 1 et une tangente oblique Y = 4(X ‒ 1)/3. La courbe "passe trois fois" par C.

Pour l'étude à l'infini, on pose Y = tX, la partie homogène de plus haut degré conduit à l'équation réciproque 4t⁶ ‒ 3t⁵ + 4t⁴ ‒ 10t³ + 4t² ‒ 3t + 4 = 0 qui donne t = 1 comme racine double.

Puis on pose Y = X + p, les X⁷ et les X⁶ disparaissent, le coefficient des X⁵ donne 28p² ‒ 56 = 0. d'où p = +/‒ 2, d'où 2 asymptotes obliques Y = X+/‒ 2en plus de l'asymptote X = ‒ 1

On rermarque que ces trois asymptotes sont tangentes au cercle de diamètre [AC]

5) B ne décrit que des portions des courbes ci-dessus qui sont des réunions d'arcs éventuellement vides, par exemple (Ic,E,Fb). Savoir quels sont,selon chaque cas, les arcs parcourus est une question délicate non abordée ici.