D197 ‒ Des lieux peu communs

D197 ‒ Des lieux peu communs

Problème proposé par Dominique Roux

Étant donnés deux points A et C, pour tout point B que l'on projette en D sur AC on considère les centres des cercles circonscrits aux triangles (ABC), (ABD), (BCD). Quel est le lieu des points B tels que le cercle passant par ces trois centres soit tangent à AC ?

Solution analytique par Patrick Gordon

On prend l'origine en A et AC pour unité. On note (x, y) les coordonnées de B.

On appelle O, P, Q les centres des cercles circonscrits aux triangles (ABC), (ABD), (BCD).

Avec ces notations, les points suivants ont pour coordonnées :

A (0, 0) B (x, y) C (1, 0) D (x, 0) P (x/2, y/2) Q ((1+x)/2, y/2)

Pour les coordonnées de O (qu'on notera a, b), il suffirait d'écrire que OA² = OB² = OC² Mais on gagne du temps en remarquant que O est sur la médiatrice de AC, donc a = ½.

Comme le cercle circonscrit au triangle (ABC) passe par l'origine A, on a : x² + y² − 2ax – 2by = 0, ce qui, connaissant a = ½ donne :

b = (x² + y² − x) / 2y.

Donc :

O (1/2, (x² + y² − x) / 2y).

On veut que le cercle passant par O, P, Q soit tangent à AC, c’est-à-dire à l'axe des x.

Notons qu'il faut que l'angle ABC soit aigu, faute de quoi O, P, Q ne seraient pas du même côté de AC.

Pour que ce cercle soit tangent à AC, il faut que son équation soit de la forme : X² + Y² − 2uX – 2vY + u² = 0

Ce cercle passant par O, P, Q est centré sur la médiatrice de PQ et u, abscisse de son centre, vaut donc (1+2x) / 4. Son équation s'écrit donc :

X² + Y² − X (1+2x) / 2 – 2vY + (1+2x)² / 16 = 0.

Écrivons qu'il passe par P (x/2, y/2) :

x²/4 + y²/4 − x (1+2x) / 4 – vy + (1+2x)² / 16 = 0.

Soit encore en multipliant par 16 :

4x² + 4y² − 4x (1+2x) – 16vy + (1+2x)² = 0.

4y² – 16vy + 1 = 0.

v = (4y² + 1) / 16y

Écrivons qu'il passe par O (1/2, (x² + y² − x) / 2y) :

1/4 + (x² + y² − x)² / 4y² − (1+2x) / 4 – v (x² + y² − x) / y + (1+2x)² / 16 = 0.

Soit encore en multipliant par 16y² :

4y² + 4(x² + y² − x)² − 4y²(1+2x) – 16y v (x² + y² − x) + y² (1+2x)²

4y² + 4(x⁴ + y⁴ + x² − 2x³ − 2xy² + 2x²y²) − 4y² − 8xy² – 16y v (x² + y² − x) + y² (1+4x+4x²) 16y v (x² + y² − x) = 4y² + 4(x⁴ + y⁴ + x² − 2x³ − 2xy² + 2x²y²) − 4y² − 8xy² + y² (1+4x+4x²) D'où :

v = (4x⁴ + 4y⁴ + 4x² − 8x³ − 12xy² + 12x²y² + y²) / 16y(x² + y² − x) En rapprochant de l'expression précédente de v :

v = (4y² + 1) / 16y

il vient :

4x⁴ + 4y⁴ + 12x²y² − 8x³ − 12xy² + 4x² + y²

= (4y² + 1) (x² + y² − x)

= 4y²x² + 4y⁴ – 4xy² + x² + y² − x 4x⁴ + 8x²y² − 8x³ − 8xy² + 3x² +x = 0 4x³ + 8xy² − 8x² − 8y² + 3x + 1 = 0

y² = (4x³ − 8x² + 3x + 1) / 8(1−x)

Le numérateur s'annule pour x = 1. On peut donc écrire : y² = (− 4x² + 4x + 1) / 8

8y² + 4x² − 4x = 1

C'est l'équation d'une ellipse, qui peut s'écrire :

(x – ½)² / ½ + y² / ¼ = 1

Elle est donc centrée au milieu de AC, a pour grand axe 1/2 et pour petit axe ½.

Elle a donc A et C pour foyers.

On notera que cette ellipse est extérieure au cercle de diamètre AC et que, par conséquent, l'angle ABC est toujours aigu.