D197. Des lieux peu communs (7` eme ´ episode)
E et F, milieux de AB et BC, sont les centres des cerclesz }| {
ABD etz }| { BCD.
O, centre du cercleΓ1circonscrit `a ABC, est commun aux m´ediatrices des cˆot´es, celle de BC ´etant fixe. Γ0 cercle circonscrit `a BEF est tangent en T `a AC.
Le quadrilat`ere BEOF a 2 angles droits en E et F, donc Γ0 a BO comme diam`etre. BEF est homoth´etique de BAC (centre B, rapport 1/2) et Γ0 est homoth´etique deΓ1dans la mˆeme relation :
⇒la bissectrice int´erieure deABC\ passe par T et K, milieu de l’arc AC deΓ1
ne contenant pas B.
En exprimant la puissance de A et de C par rapport `aΓ0, on trouve : AB∗AE = 1/2 AB2=AT2 et CB∗CF = 1/2 CB2=CT2
⇒AB+BC =√ 2 AC
Le lieu de B est l’ellipse de foyers A et B et d’excentricit´e√
2/2. Elle passe par les points L et son sym´etrique sur la m´ediatrice de AC tels que ML = MA.
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