D196 ‒ Des lieux peu communs (6ème épisode)
Problème proposé par Dominique Roux
Étant donnés deux points A et C, pour tout point B que l'on projette en D sur AC on considère les centres des cercles circonscrits aux triangles (ABC), (ABD), (BCD). Quel est le lieu des points B tels que le cercle passant par ces trois centres soit centré sur AC ?
Solution analytique
Prenons la droite AC comme axe des abscisses, l'origine au milieu de AC et AC/2 pour unité.
Notons x et y les coordonnées de B et z l'ordonnée de O.
Appelons I et J les milieux de BA et BC.
Avec ces notations, les coordonnées des points de la figure sont :
A (– 1, 0) B (x, y) C (+ 1, 0) D (x, 0)
I ((x–1)/2, y/2) J ((x+1)/2, y/2) O (0, z)
Calculons tout d'abord z en fonction de x et y.
Il suffit d'écrire que OB² = OA², soit : x² + (z–y)² = z² + 1
soit :
1) z = (x² + y² – 1) / 2y
Les cercles circonscrits aux triangles (ABC), (ABD), (BCD) ont respectivement pour centres O, I, J.
Si le cercle passant par ces 3 points O, I, J est centré sur AC1, son centre (notons le ) est à l'intersection de AC et de la bissectrice de IJ (I et J ont même ordonnée) et a donc :
- pour ordonnée 0,
- pour abscisse la moyenne de celles de I et J, soit x/2.
Le carré de la distance O est (x/2)² + z².
Le carré de la distance I2 est : ((x–1)/2–x/2)² + (y/2)² soit (1 + y²) / 4.
Soit donc à satisfaire l'équation : (x/2)² + z² = (1 + y²) / 4, en se rappelant que (1) :
z = (x² + y² – 1) / 2y D'où :
x² + (x² + y² – 1)² / y² = (1 + y²) Soit, en simplifiant :
x² + 3y² = 1
Le lieu des points B répondant à la question est donc une ellipse de grand axe a = 1, passant par A et C et de petit axe b = 1/√3.
1 Ce n'est pas le cas sur la figure.
2 La distance wJ est la même.
